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Hallo. ich habe mal eine wichtige Frage. ich soll die Ableitung der Funktion [mm] \bruch{1}{x}:\IR\backslash\{0\}\to\IR [/mm] , [mm] x\to\bruch{1}{x} [/mm] direkt über die Definition der Diff'barkeit bestimmen.
Also gut. Die Definition lautet ja: Eine Funktion f: [mm] I\to\IR [/mm] heißt diff'bar, wenn... [mm] f'(x_0)=\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] existiert. [mm] f'(x_0) [/mm] heißt dann die Ableitung von f in [mm] x_0. [/mm] Und man nennt f diff'bar, wenn es in allen [mm] x_0 \in [/mm] I diff'bar ist.
Ich habe ja nun kein Intervall gegeben. Weiß aber, dass f auf ganz [mm] \IR [/mm] diff'bar ist, außer in Null, da der Nenner ja nicht zu Null werden darf. Mein Problem ist nun leider das nun auch mittels dieser Definition zu beweisen. Denn nur argumentieren bringt mich hier nicht weit.
MFG domenigge135
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:16 Mi 11.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
1) Du hast den Differenzenquotienten falsch hingeschrieben (bzw. wird falsch angezeigt - im Quelltext haste ihn richtig hingeschrieben, wie ich sehe).
2) Setz' doch einfach ein und form' um.
[mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0} \bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\limes_{x\rightarrow\ x_0} \bruch{\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x_0}}{x-x_0}=...
[/mm]
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Hm. Okay versteh das noch nicht so ganz. Was genau soll ich dort nun umformen???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:51 Mi 11.06.2008 | | Autor: | Blech |
Was würde Dir bei [mm] $\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}$ [/mm] denn so spontan einfallen an Umformungen?
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Naja aufn gemeinsamen Nenner bringen oder nicht???
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Hi dommenigge,
> Naja aufn gemeinsamen Nenner bringen oder nicht???
Ja, aber na sicher, rechne einfach mal los... 
LG
schachuzipus
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Okay. Hab mir nun eine weile Gedanken darüber gemacht. ich habe wie wir jetzte berechnet haben, [mm] \limes_{x\rightarrow\x_0} \bruch{\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x_0}}{x-x_0}.
[/mm]
Ich bringe den Zähler nun folgendermaßen auf einen gemeinsamen Nenner, [mm] \limes_{x\rightarrow\x_0} \bruch{\bruch{x_0}{xx_0}-\bruch{x}{xx_0}}{x-x_0} [/mm] und das kann ich ja schreiben zu, [mm] \limes_{x\rightarrow\x_0} \bruch{(x_0-x)}{xx_0(x-x_0)}. [/mm] Ich hoffe ich habe das bis hierhin jetzt richtig gemacht. Sorry wenn das nicht richtig ist. ABer ich bin wirklich gerade ein wenig überfordert.
MFG domenigge135
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:06 Mi 11.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
Ist doch richtig. Jetzt kannste [mm] (x-x_o) [/mm] kürzen (vorher musste -1 ausklammern). Dann kannste den Grenzübergang vollziehen (also mit x gegen [mm] x_0 [/mm] gehen).
Du weisst ja was rauskommen sollte: [mm](\bruch{1}{x})'=\bruch{-1}{x^2}[/mm].
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Gut dann habe ich es endlich raus. boah ich danke euch für eure Hilfe.
Wie sieht es jetzt eigentlich mit der h-Methode aus??? Die ist doch äquivalent zu jener die ich gerechnet habe oder???
Und noch eine einzige Frage...
Ich soll nun noch zu einer weiteren Aufgabe, nehmen wir mal [mm] g(x)=\bruch{cosx}{\wurzel{1-x^2}}...
[/mm]
1. den natürlichen Definitionsbereich bestimmen
2. in welchen Punkten diese diff'bar sind bestimmen
3. gegebenfalls die Ableitung in diesen Punkten bestimmen
Ich würde dort jetzt wie folgt rangehen...
zu 1. die Wurzel im Nenner darf nicht negativ und nicht zu Null werden. Also bleibt für mich das Intervall [0,1[
zu 2. Wie sieht es jetzt zu ner Differenzierbarkeit im Intervall aus??? Was muss ich dort prüfen???
MFG domenigge135
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 Mi 11.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Gut dann habe ich es endlich raus. boah ich danke euch für
> eure Hilfe.
>
> Wie sieht es jetzt eigentlich mit der h-Methode aus??? Die
> ist doch äquivalent zu jener die ich gerechnet habe
> oder???
>
Ja, ist äquivalent.
> Und noch eine einzige Frage...
>
> Ich soll nun noch zu einer weiteren Aufgabe, nehmen wir mal
> [mm]g(x)=\bruch{cosx}{\wurzel{1-x^2}}...[/mm]
>
> 1. den natürlichen Definitionsbereich bestimmen
> 2. in welchen Punkten diese diff'bar sind bestimmen
> 3. gegebenfalls die Ableitung in diesen Punkten bestimmen
>
> Ich würde dort jetzt wie folgt rangehen...
>
> zu 1. die Wurzel im Nenner darf nicht negativ und nicht zu
> Null werden. Also bleibt für mich das Intervall [0,1[
(-1,1) ist richtig.
>
> zu 2. Wie sieht es jetzt zu ner Differenzierbarkeit im
> Intervall aus??? Was muss ich dort prüfen???
Leite die Funktion mit Quotienten- und Kettenregel ab. Dann schauste dir die Ableitung an und prüfst nach, ob die kritischen Werte von ihr in deinem ursprünglichen Definitionsbereich sind.
>
> MFG domenigge135
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Ja stimmt. ist natürlich das Intervall ]-1,1[. Also gut ich leite nun die Funktion [mm] g(x)=\bruch{cosx}{\wurzel{1-x^2}}= \bruch{cosx}{(1-x^2)^{\bruch{1}{2}}} [/mm] wie folgt ab:
[mm] \bruch{xcos(x)+(x^2-1)sin(x)}{(1-x^2)^{\bruch{3}{2}}}
[/mm]
Demnach wären die kritischen Werte drin sofern ich diese durch probieren einsetze. Und die Funktion wäre demnach nicht diff'bar für eine Zahl x außerhalb des Intervalls ]-1,1[. Weiß aber nicht, ob das so jetzt im groben richtig ist. Bin mir auch bei der Ableitung nicht so ganz sicher. Wäre net wenn das nochmal jmd. kontrollieren könnte. Dankeschön schonmal im Voraus.
MFG domenigge135
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Hallo domenigge135
Deine Ableitung ist ok. Da die Funktion nur auf dem offenen Intervall ]-1;1[ definiert ist, kann sie *dort* auch nur differenzierbar sein!
Die Nullstellen der Ableitung (das meinst Du sicher als kritischen Punkt) sind daher nur im Nullpunkt zu finden.
ok?
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Naja also...
Ich muss zu der Funktion [mm] g(x)=\bruch{cosx}{\wurzel{1-x^2}} [/mm] folgende Aufgabe lösen...
1. den natürlichen Definitionsbereich bestimmen
2. in welchen Punkten diese diff'bar sind bestimmen
3. gegebenfalls die Ableitung in diesen Punkten bestimmen
1. ist ja schon erledigt mit dem Intervall ]-1,1[
2. ist jetzt sone Frage da sie nur im Intervall ]-1,1[ stetig ist und stetigkeit ja auch notwendig für die diff'barkeit ist, würde ich sagen, dass sie auch nur in diesem Intervall diff'bar sein kann.
3. hier muss ich die Ableitung in diesen Punkten bestimmen. Aber welche Punkte habe ich denn nun mit 2. bestimmt???
MFG domenigge135
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Die Ableitung
[mm] f'(x)=\bruch{x\cos(x)}{(\wurzel{1-x^2})^3} -\bruch{\sin(x)}{\wurzel(1-x^2)}
[/mm]
ist im Intervall ]-1;1[ definiert. Sie stellt also für *jeden* Punkt dieses Intervalls die Steigung der Kurve dar!
Deine Frage 3) verstehe ich nicht! Wenn Du die Ableitung schon hast, dann stellt sich die Frage "nach den Punkten" nicht mehr!
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Okay 1. und 2. ist mir jetzt klar. Aber was soll ich dann zu 3. schreiben wo ich nun gegebenfalls ne Ableitung machen sollt??? Muss man diese Ableitung jetzt auch nochmal untersuchen oder reicht es einfach nur die Ableitung hinzuschreiben???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:51 Do 12.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo domenigge!
Wenn Du die Ableitung richtig ermittelt hast, bist Du schon so gut wie fertig ...
... gibt es nun noch eventuell Stellen des Definitionsbereiches [mm] $D_x [/mm] \ = \ [mm] \left] \ -1; +1\ \right[$ [/mm] , an welchen die Ableitung nicht definiert ist?
Gruß
Loddar
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