diffb. Parametrisierung finden < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gebe eine diffb. Parametrisierung für folgende Kurve an:
Schnitt der Oberfläche der Kugel mit Radius 2, Center (0,0,1) mit der Menge aller (x,y,z) [mm] \in \IR^3 [/mm] mit x=z |
Huhu zusammen!
Bei der Findung tu ich mich schwer, also soweit bin ich schon:
Ich habe [mm] x^2 +y^2 [/mm] + [mm] (z-1)^2 [/mm] =4 als die Oberfläche , und betrachte nur diejenigen Punkte, wo x= z ist.
Geometrisch betrachtet ist dies( so denke ich es zumindest) eine Art Rand einer Kreisscheibe, die quer in der Kugel liegt. (bzw um die Kugel)
Löst man das obige System, so erhält man nun für y=
[mm] y_1 [/mm] = [mm] \wurzel{-2x^2 +2x +3} [/mm] und [mm] y_2 [/mm] = - [mm] \wurzel{-2x^2 +2x +3}
[/mm]
d.h. meiner Meinung nach muss man zwei Parametrisierungen haben, damit man den ganzen Rand erwischt.
Also betrachtet man gleichzeitig die Parametrisierungen:
[mm] c_1 [/mm] := t [mm] \mapsto [/mm] [t, [mm] \wurzel{-2t^2 +2t +3} [/mm] , t ]
[mm] c_2 [/mm] := t [mm] \mapsto [/mm] [t, - [mm] \wurzel{-2t^2 +2t +3} [/mm] , t ]
Mal angenommen, das ist soweit richtig, hab ich keinerlei Idee, wie die Intervallgrenzen von t zu wählen sind :/
Hoffe da kann mir jmd weiterhelfen :)
Lieben Gruß,
Eve
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:01 Di 14.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
a) bestimme den Mittelpunkt M des Kreises auf der Geraden senkrecht der Ebene durch (0,0,1)
b) bestimme den Radius
c) bestimme 2 zueinander senkrechte Einheitsvektoren in der Ebene.v1, v2
d) dann ist die parmetrisierung [mm] M+v1cos\phi+v2sin\phi
[/mm]
zu a bis c hilft eine Slizze,
Gruß leduart
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> Hallo
> a) bestimme den Mittelpunkt M des Kreises auf der Geraden
> senkrecht der Ebene durch (0,0,1)
> b) bestimme den Radius
> c) bestimme 2 zueinander senkrechte Einheitsvektoren in
> der Ebene.v1, v2
>
> d) dann ist die parmetrisierung [mm]M+v1cos\phi+v2sin\phi[/mm]
> zu a bis c hilft eine Slizze,
> Gruß leduart
Huhu,
a) sry ich steh etwas auf dem Schlauch :( Ich versteh den Satz nicht ganz Mit Ebene meinst du die x -y - Ebene? Dann wär die Gerade entlang der z- Achse, und das wär dann trotzdem der Mittelpunkt M = (0,0,1).
b) Der Radius des Kreises in der Kugel müsste doch wieder 2 sein, sofern es sich um einen kreis handelt, und nicht um einen ellipsoid.
c) Wenn wie gesagt die Ebene x-y sein soll, nehm ich (0,1,0) und (1,0,0)
Sry .. Es gibt ja sozusagen eine Grade, die durch (x,y,z) mit x=z definiert wird (Diese Gerade verläuft skizzenartig ja , weil y beliebig, "von links nach rechts" in einem 3 dimensionalen Koordinatensystem. In der Regel müsste diese Gerade den Kreisrand 2 mal berühren, einmal wenn die Gerade die Kugeloberfläche trifft, und einmal, wenn sie die Kugelw ieder verlässt. (ausser wahrscheinlich am linken und rechten Rand der Kugel, da streift die Gerade den Rand nur einmal)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:39 Mi 15.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du eine Kugel irgend wie mit einer Ebene schneidest hast du immer einen Kreis als Schnittkurve. Der Mittelpunkt des Schnittkeises liegt auf der Senkrechten vom Kugelmittelpunkt auf die Ebene.
zur Vorstellung: schneide mal von der Erde irgendwo die Polkappe längs eines Breitenkreises ab, wie du dann die Erde im Raum drehst ist egal, die Schnittkurve bleibt ein Kreis! und natürlich ist der Radius des Kreises nicht der Erdradius.
Also erstmal mußt du deine Vorstellung korrigieren! vielleicht schneidest du mal ne schön runde Orange durch!
Die Ebene ist nicht die x-y Ebene sondern die Ebene x-z=0
zeichne dir mal nen Schnitt mit der y=0 Ebene, darin ist dder Schnitt mit der x-z=0 ebene die Winkelhalbierende. aus der Zeichnung solltest du alles ablesen können!
x-z=0 ist eine Ebene senkrecht zur x-z ebene, also für y=o eine Gerade als Schnitt
Also mach mal die Zeichnung oder nimm deine Orange zur Hilfe!
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:33 Mi 15.01.2014 | | Autor: | Ladon |
Wie mein Vorredner bemerkt hat, sollte man den Radius [mm] \rho [/mm] bestimmen.
Ich würde daher die Formel zur Beschreibung des entstandenen Kreises wie folgt formulieren:
[mm] $M+\rho v_1 cos(\phi) [/mm] + [mm] \rho v_2 sin(\phi)$,
[/mm]
denn den Radius bestimmt man ja nicht zum Spaß 
MfG Ladon
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