differenzierbar, konvex < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:46 Mo 02.03.2009 | | Autor: | daisa |
| Aufgabe | | Sei f: (a,b) [mm] \to \IR [/mm] differenzierbar und konvex. Zeigen Sie, dass f stetig differenzierbar ist. |
Hallo zusammen
Ich habe mir folgendes überlegt, aber ist leider falsch :-(
Aus der Konvexität habe ich daraus gefolgert, dass f zweimal differenzierbar ist, und somit folgt dann, dass f' differenzierbar ist und somit stetig. Aber eben, diese Folgerungen sind falsch...
Wie kann man hier sonst noch vorgehen? Kann mir jemand helfen?
lg, daisa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:15 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo daisa!
Wie habt ihr denn "konvex" definiert?
Ansonsten sieh Dir mal ![[]](/images/popup.gif) diese Definition an und zeige damit die Stetigkeit der 1. Ableitung.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 Di 03.03.2009 | | Autor: | daisa |
Hallo Loddar,
Wir hatten die Konvexität gleich definiert wie auf Wiki.
Jedoch habe ich keine Ahnung wie ich das angehen soll?!! Kannst du nochmals helfen?
Danke für eine rasche Antwort!
lg, daisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 Di 03.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
sorry, eigentlich wollte ich hier antworten. Aber siehe nun meine Antwort hier.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:02 Di 03.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Daisa,
> Sei f: (a,b) [mm]\to \IR[/mm] differenzierbar und konvex. Zeigen
> Sie, dass f stetig differenzierbar ist.
> Hallo zusammen
>
> Ich habe mir folgendes überlegt, aber ist leider falsch
> :-(
> Aus der Konvexität habe ich daraus gefolgert, dass f
> zweimal differenzierbar ist, und somit folgt dann, dass f'
> differenzierbar ist und somit stetig. Aber eben, diese
> Folgerungen sind falsch...
>
> Wie kann man hier sonst noch vorgehen? Kann mir jemand
> helfen?
bei Deiner Aufgabe ist [mm] $\blue{f\!\,'}$ [/mm] eine auf [mm] $(a,b)\,$ [/mm] definierte Funktion, die wegen der Konvexität und Differenzierbarkeit von [mm] $f\,$ [/mm] monoton wachsend ist.
Nimm' mal an, [mm] $x_0 \in [/mm] (a,b)$ sei eine Unstetigkeitsstelle für [mm] $f\!\,'\,.$ [/mm] Wegen der Monotonie von [mm] $f\!\,'$ [/mm] kann dann [mm] $x_0$ [/mm] nur eine Sprungstelle für [mm] $f\!\,'$ [/mm] sein.
1. Fall:
Angenommen, es sei [mm] $\lim_{x \to x_0^+}f\!\,'(x) \not=f\!\,'(x_0)\,.$ [/mm] Dann ist [mm] $g^+:=\lim_{x \to x_0^+}f\!\,'(x) [/mm] > [mm] f\!\,'(x_0)\,.$ [/mm] (Weil [mm] $f\!\,'$ [/mm] auf [mm] $(a,b)\,$ [/mm] streng monoton wächst.)
Nun setze [mm] $\epsilon:=\frac{g^+-f\!\,'(x_0)}{2} [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] damit gilt dann [mm] $f\!\,'(\xi) \ge [/mm] g^+ > [mm] f\!\,'(x_0)+\epsilon$ [/mm] für alle [mm] $\xi \in (x_0,b)\,.$
[/mm]
Ferner gilt aber für alle $x [mm] \in (x_0,b)$ [/mm] auch
[mm] $$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f\!\,'(\xi)$$
[/mm]
mit einem [mm] $\xi=\xi_x \in (x_0,x) \;\;(\subset (x_0,b))$ [/mm] nach dem MWS.
Weil [mm] $f\,$ [/mm] differenzierbar, und damit insbesondere rechtsseitig diff'bar in [mm] $x_0$ [/mm] ist, sollte
[mm] $$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\;\; \underset{x \to x_0^+}{\longrightarrow}\;\; f\!\,'(x_0)$$
[/mm]
gelten.
[mm] $\text{(}$Genauer: [/mm] Weil [mm] $f\,$ [/mm] in [mm] $x_0$ [/mm] rechtsseitig diff'bar ist, existiert [mm] $\lim_{x \to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\,.$ [/mm] Weil [mm] $f\,$ [/mm] in [mm] $x_0$ [/mm] diff'bar ist, existiert [mm] $f\!\,'(x_0)=\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\,,$ [/mm] und somit gilt
[mm] $$\lim_{x \to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f\!\,'(x_0)\,.\text{)}$$
[/mm]
Wie oben gesehen gibt es aber ein [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ so, dass für alle $x [mm] \in (x_0,b)$ [/mm] ein [mm] $\xi=\xi_x \in (x_0,x)\;\;(\subset (x_0,b))$ [/mm] existiert, so dass die Ungleichung
[mm] $$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f\!\,'(\xi_x) \ge f\!\,'(x_0)+\epsilon\,,$$
[/mm]
und folglich
[mm] $$\lim_{x \to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \ge f\!\,'(x_0)+\epsilon [/mm] > [mm] f\!\,'(x_0)$$
[/mm]
gilt. Somit folgt
[mm] $$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \;\;\underset{x \to x_0^+}{\not\!\!\longrightarrow} f\!\,'(x_0)\,.$$
[/mm]
Das widerspricht aber der Voraussetzung, dass [mm] $f\,$ [/mm] in [mm] $x_0$ [/mm] diff'bar ist.
Den zweiten Fall, dass [mm] $\lim_{x \to x_0^-}f\!\,'(x) [/mm] < [mm] f\!\,'(x_0)$ [/mm] ist, kannst Du nun sicher selbst analog abhandeln.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:25 Di 03.03.2009 | | Autor: | daisa |
Hallo Marcel
Danke für deinen Beweis. Ich denke, ich verstehe ihn so plus minus.. Mir ist eifach ein Rätsel wie ich selbst auf sowas kommen soll..
lg, daisa
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:07 Di 03.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Daisa,
> Hallo Marcel
> Danke für deinen Beweis. Ich denke, ich verstehe ihn so
> plus minus.. Mir ist eifach ein Rätsel wie ich selbst auf
> sowas kommen soll..
> lg, daisa
ich geb' Dir mal den Hinweis, wie ich hier drauf gekommen bin:
1. Ich habe mich erinnert, dass diff'bare konvexe Funktionen durch die Ableitung charakterisiert werden können. Den Satz mit der Monotonie der Ableitung war mir bekannt, zur Sicherheit habe ich ihn aber trotzdem nochmal nachgeschlagen. Nicht, dass der ganze Beweis nachher daran scheitert, dass man einen Satz falsch oder einen falschen Satz benutzt 
2. Wenn man mit der Ableitung zu tun hat, dann kommt sehr oft der MWS ins Spiel. Also probiert man, ob man ihn vll. einbauen kann. Sowas sollte immer im 'Hinterkopf' sein.
3. Ich habe mir mal [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] angeguckt, das ist ja bekanntlich eine konvexe Funktion. Und dann habe ich mir überlegt, was passieren würde, wenn [mm] $f\,\!'$ [/mm] sich 'echt rechts' einer Stelle plötzlich 'zu schnellsteigend' ändern würde.
(Erinnerst Du Dich daran, was die Ableitung mit (der Steigung) der Tangente durch den Punkt [mm] $(x_0,f(x_0))$ [/mm] (des Graphens von [mm] $f\,$) [/mm] zu tun hat?)
[mm] $\text{(}$Noch [/mm] konkreter könnte man es an dem folgenden Beispiel illustrieren:
Es sei [mm] $f\,$ [/mm] auf [mm] $\IR$ [/mm] definiert durch
[mm] $$f(x)=\begin{cases} x^2, & \mbox{für } x \le x_0 \\ x^3, & \mbox{für } x> x_0 \end{cases}\,.\text{)}$$
[/mm]
Damit kann man sich klarmachen, dass dann die 'rechtsseitige Ableitung' in [mm] $x_0$ [/mm] "zu groß" wird (heißt: größer, als die linksseitige Ableitung in [mm] $x_0$, [/mm] welche aber auch [mm] $f\!\,'(x_0)$ [/mm] sein sollte). Und das wäre dann schon die ganze Beweisidee.
Nicht unwesentlich geht aber bei dem Beweis auch ein, dass monotone Funktionen höchstens Sprungstellen als Unstetigkeitsstellen haben können. Das war das einzige 'Zusatzwissen', wo man vielleicht 'optisch', also durch Betrachten eines Graphens einer konvexen Funktion, die an einer Stelle pötzlich 'zu schnell steigt', scheitern würde. Bis auf diesen Satz kannst Du Dir die ganze Beweisstruktur eigentlich sehr gut mit dem Graphen einer geeigneten Funktion 'überlegen', z.B. mit der sich oben in der Klammer befindlichen Funktion [mm] $f\,$, [/mm] wobei Du meinetwegen auch noch eine Stelle [mm] $x_0$ [/mm] konkret wählen kannst. (Das sollte aber keine Extremstelle sein, also wenn Du ein konkretes [mm] $x_0$ [/mm] wählst, dann so, dass [mm] $x_0 \not=0$.)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:43 Di 03.03.2009 | | Autor: | daisa |
Deinen Beweis habe ich auch anhand eines Beispiels versucht zu verstehen. Alle Überlegungen, die zuvor gemacht hast, sind ja schon logisch, aber ich hätte das trotzdem nie alleine geschafft.
Nochmals herzliches Dank für deine Hilfe!
lg, daisa
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:17 Di 03.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Daisa,
> Deinen Beweis habe ich auch anhand eines Beispiels versucht
> zu verstehen. Alle Überlegungen, die zuvor gemacht hast,
> sind ja schon logisch, aber ich hätte das trotzdem nie
> alleine geschafft.
na, wenn man immer alles direkt alleine könnte, wäre das Studium ja auch langweilig.
Ich hätte vll. den Beweis auch reduzieren sollen, also vll. manche Stellen offenlassen, aber in der Mathematik lernt man ja vieles auch durch anschauen anderer Beweise.
Deswegen finde ich es wichtig, dass Du den Fall [mm] $g^-:=\lim_{x \to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] < [mm] f\!\,'(x_0)$ [/mm] auch nochmal selbstständig aufschreibst und dabei alles analog zu dem von mir vorgeführten Fall durchführst, und dabei auch genau aufpasst. Z.B. wäre in diesem Fall (in Analogie) dann [mm] $\epsilon:=\frac{f\!\,'(x_0)-g^-}{2}$ [/mm] zu setzen, damit [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ist...
Aber ich denke, dass Du das schon schaffen wirst. Und manche Beweise können ja auch durch gemeinsames Erarbeiten entstehen. So hätte es durchaus sein können, dass jemand genau die gleiche Beweisidee gehabt hätte wie ich oben, aber beim Aufschreiben an der Stelle, wo ich oben benutze, dass Unstetigkeitsstellen monotoner Funktionen Sprungstellen sind, nicht weiterkommt. Und vielleicht hätte ihm da halt jemand anderes drauf aufmerksam gemacht...
Also es ist nicht das wichtigste, dass Du jede Übungsaufgabe direkt lösen kannst. Das kann manchmal ein langer Weg sein. Aber alleine durch die Beschäftigung mit einer Übungsaufgabe und durch das nachvollziehen der Lösung wirst Du merken, dass Du da zunehmend sicherer wirst und diese dann mit der Zeit auch schneller bearbeiten kannst, und Du wirst auch mit der Zeit ein Gespür dafür entwickeln, welche Dir bereits vorhandenen Kenntnisse in der Übungsaufgabe sinnvoll einfließen könnten und selbst auch schneller merken, wann Dein Beweis auf Unsinn hinausläuft bzw. schneller sehen, wann Du selbst etwas total falsch machst. Und genau das ist ja auch der Grund, warum man in der Mathematik Übungsaufgaben stellt, das ist quasi 'Learning by doing', und je mehr Du machst, desto mehr wirst Du lernen
> Nochmals herzliches Dank für deine Hilfe!
Bitte 
Gruß,
Marcel
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