differenzierbare Funktion < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe folgende Funktion:
[mm] g(x)=\begin{cases}x^2 cos(1/x) , & \mbox{für } x\not=0 \\ 0, & \mbox{für } x= 0 \end{cases}
[/mm]
und soll zeigen, dass $g$ in jedem Punkt differenzierbar ist. Für [mm] $x\not=0$ [/mm] ist $g$ differenzierbar da [mm] $x^2$ [/mm] und $cos(1/x)$ differenzierbar sind.
Den Punkt $x=0$ habe ich mit folgender Formel untersucht:
$g'(x)=$ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{g(x+h) - g(x)}{h}
[/mm]
$g(0)=0$, also gilt
$g'(x)=$ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{g(h) - 0}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{h^2 cos(1/h) }{h} [/mm] = h cos(1/h)
und für $h -> 0$ ergibt der gesamte Ausdruck $0$. Also existiert der Grenzwert für $x=0$.
Kann man so argumentieren?
Gruß
Royalbuds
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:10 So 13.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo royalbuds!
Du musst schon noch sauberer argumentieren, warum
[mm] $\lim\limits_{h \to 0} \left[h \cdot \cos\left( \frac{1}{h} \right) \right] [/mm] =0$
gilt.
Dies ist aber andererseits klar (man sollte das Argument aber trotzdem erwähnen!), da der erste Faktor gegen $0$ konvergiert und der zweite beschränkt ist (die Cosinusfunktion nimmt ja nur Werte im Intervall $[-1,1]$ an).
Viele Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:59 So 13.02.2005 | | Autor: | royalbuds |
Danke für deine Antwort. Das mit dem Intervall sollte ich auch wirklich dazuschreiben.
Gruß
Royalbuds
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:21 So 13.02.2005 | | Autor: | michael7 |
Hallo,
> [mm]g(x)=\begin{cases}x^2 cos(1/x) , & \mbox{für } x\not=0 \\ 0, & \mbox{für } x= 0 \end{cases}[/mm]
angenommen die Funktion laute
[mm]g(x)=\begin{cases}x^2 \cos\frac{1}{x} , & \mbox{für } x\ne0 \\ \textbf{1}, & \mbox{für } x= 0 \end{cases}[/mm]
und man soll pruefen, ob sie in 0 differenzierbar ist. Dann koennte man z.B. zeigen, dass die Funktion in 0 unstetig ist und somit nicht differenzierbar sein kann. Also
[mm]\lim_{x\to0} \underbrace{x^2}_{\to0}\cdot\underbrace{\cos\frac{1}{x}}_{\in [-1,1]} = 0[/mm]
aber [mm]f(0)=1[/mm]. Frage1: Ist das so ausreichend? Frage2: Kann man zusaetzlich zu Stefans Argumentation, warum der Grenzwert auch wirklich 0 ist, noch obige Anmerkungen (unter den geschweiften Klammern) machen oder ist die Notation so nicht ganz korrekt?
Alternativ koennte man auch den Differenzenquotienten betrachten:
[mm]\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{x^2\cdot\cos\frac{1}{x} - 1}{x} \stackrel{x\to0}{\to} -\infty[/mm].
Dieser geht nicht gegen einen bestimmten Wert. Von daher existiert der Grenzwert nicht. Somit ist die Funktion nicht differenzierbar in 0.
Ist die Argumentation korrekt?
Danke schonmal,
Michael
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:08 Mo 14.02.2005 | | Autor: | michael7 |
Hallo Stefan,
vielen Dank fuer Deine ausfuehrliche Antwort!
Michael
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