differenzierbares Vektorfeld < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:35 Mi 19.10.2011 | | Autor: | Casy |
Hallo!
Ich habe keine konkrete Aufgabe, aber ich habe ein kleines Problem mit der Definition eines differenzierbaren Vektorfelds. Eigentlich denke ich, dass ich verstanden habe, was ein Vektorfeld (VF) ist, ich schreibe mal auf, was ich dazu weiß:
Ein VF ist ein Element des Tangentialraums;
es ordnet jedem Punkt einer Mannigfaltigkeit einen Tangentialvektor zu.
Bis hierher richtig verstanden?
Jetzt kommt das, was ich nicht verstehe; hier die Definition aus meinem Skript:
"Ein differenzierbares VF X auf M (Mannigfaltigkeit) ist
[mm] p\in [/mm] M [mm] X_p\in Der_p [/mm] (Derivationen in p)
[mm] \\X(f): M\to\IR
[/mm]
[mm] X(f)(q):=X_q(f)\\ [/mm] "
...wobei f nach meinem Verständnis eine differenzierbare Funktion sein müsste.
Meine Frage: oben habe ich geschrieben, dass ein VF einem PUNKT einen Vektor zuordnet, in der Skript-Definition wird in das VF X aber "f" eingesetzt, also kein Punkt, sondern eine Funktion (bzw. in der 2. Zeile wird der Punkt q in f eingesetzt und das Ganze dann in X ?).
Um was für eine Funktion handelt es sich?
Und wie hängt das mit meinem obigen Verständnis (mit dem Punkt) zuammen?
Es wäre toll, wenn mir jemand helfen könnte, dieses Wirrwarr zu sortieren!
Danke schonmal!
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Hallo,
> Hallo!
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> Ich habe keine konkrete Aufgabe, aber ich habe ein kleines
> Problem mit der Definition eines differenzierbaren
> Vektorfelds. Eigentlich denke ich, dass ich verstanden
> habe, was ein Vektorfeld (VF) ist, ich schreibe mal auf,
> was ich dazu weiß:
>
> Ein VF ist ein Element des Tangentialraums;
> es ordnet jedem Punkt einer Mannigfaltigkeit einen
> Tangentialvektor zu.
>
> Bis hierher richtig verstanden?
Nicht ganz. Es stimmt, es ordnet jedem Punkt einer Mannigfaltigkeit einen
Tangentialvektor zu. Aber damit is ein VF nicht 'ein Element des Tangentialraums' sondern eine Abbildung (präzise: eine Abbildung/ein Schnitt ins Tangentialbündel).
>
> Jetzt kommt das, was ich nicht verstehe; hier die
> Definition aus meinem Skript:
> "Ein differenzierbares VF X auf M (Mannigfaltigkeit) ist
> [mm]p\in[/mm] M [mm]X_p\in Der_p[/mm] (Derivationen in p)
>
> [mm]\\X(f): M\to\IR[/mm]
> [mm]X(f)(q):=X_q(f)\\[/mm] "
> ...wobei f nach meinem Verständnis eine differenzierbare
> Funktion sein müsste.
>
> Meine Frage: oben habe ich geschrieben, dass ein VF einem
> PUNKT einen Vektor zuordnet, in der Skript-Definition wird
> in das VF X aber "f" eingesetzt, also kein Punkt, sondern
> eine Funktion (bzw. in der 2. Zeile wird der Punkt q in f
> eingesetzt und das Ganze dann in X ?).
>
Ich kann Deine Verwirrung nachvollziehen, auch ich hatte am Anfang Probleme mit den verschiedenen Definitionen von Tangentialräumen (TR), denn darauf läuft Dein Verständnisproblem am Ende hinaus.
Nach der anschaulichen Definition von Tangentialvektoren sind dies diejenigen Vektoren, die als Ableitungsvektoren von Kurven auf der MF beschrieben werden können.
Oft werden Tangentialvektoren aber auch als Richtungsableitungen bzw. Derivationen eingeführt. Der Tangentialraum in einem Punkt ist dann so etwas wie der Raum der Richtungen, in die eine Funktion auf der MF (im gegebenen Punkt) abgeleitet werden kann.
[mm]\\X(f): M\to\IR[/mm]
[mm]X(f)(q):=X_q(f)\\[/mm]
Hast Du nun also ein VF X auf M sowie eine diffbare Funktion f auf M, so kannst Du durch Anwendung von X auf f eine neue Funktion auf M definieren. X fungiert dann als so etwas wie ein Differentialoperator. X ordnet einem Punkt [mm] p\in [/mm] M einen Tangentialvektor/eine Derivation zu, die dann auf die Funktion angewendet werden kann (Berechnung der Richtungsableitung).
Etwas klarer?
Gruss
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:31 Do 20.10.2011 | | Autor: | Casy |
> Hallo,
>
> > Hallo!
> >
> > Ich habe keine konkrete Aufgabe, aber ich habe ein kleines
> > Problem mit der Definition eines differenzierbaren
> > Vektorfelds. Eigentlich denke ich, dass ich verstanden
> > habe, was ein Vektorfeld (VF) ist, ich schreibe mal auf,
> > was ich dazu weiß:
> >
> > Ein VF ist ein Element des Tangentialraums;
> > es ordnet jedem Punkt einer Mannigfaltigkeit einen
> > Tangentialvektor zu.
> >
> > Bis hierher richtig verstanden?
>
> Nicht ganz. Es stimmt, es ordnet jedem Punkt einer
> Mannigfaltigkeit einen
> Tangentialvektor zu. Aber damit is ein VF nicht 'ein
> Element des Tangentialraums' sondern eine Abbildung
> (präzise: eine Abbildung/ein Schnitt ins
> Tangentialbündel).
OK, im Skript steht wörtlich
"Definition: differenzierbares VF auf M, d.h.
[mm] \\X_p \in T_p M\\ [/mm] und Kartendarstellung bzgl. jeder Karte ist differenzierbar"
aber dann ist das wohl nr ein bisschen nachlässig formuliert mit dem [mm] \\X_p \in T_p M\\ [/mm] . Heißt genauer, das Bild liegt im Tangentialbündel, oder?
>
> >
> > Jetzt kommt das, was ich nicht verstehe; hier die
> > Definition aus meinem Skript:
> > "Ein differenzierbares VF X auf M (Mannigfaltigkeit)
> ist
> > [mm]p\in[/mm] M [mm]X_p\in Der_p[/mm] (Derivationen in p)
> >
> > [mm]\\X(f): M\to\IR[/mm]
> > [mm]X(f)(q):=X_q(f)\\[/mm] "
> > ...wobei f nach meinem Verständnis eine
> differenzierbare
> > Funktion sein müsste.
> >
> > Meine Frage: oben habe ich geschrieben, dass ein VF einem
> > PUNKT einen Vektor zuordnet, in der Skript-Definition wird
> > in das VF X aber "f" eingesetzt, also kein Punkt, sondern
> > eine Funktion (bzw. in der 2. Zeile wird der Punkt q in f
> > eingesetzt und das Ganze dann in X ?).
> >
> Ich kann Deine Verwirrung nachvollziehen, auch ich hatte am
> Anfang Probleme mit den verschiedenen Definitionen von
> Tangentialräumen (TR), denn darauf läuft Dein
> Verständnisproblem am Ende hinaus.
>
> Nach der anschaulichen Definition von Tangentialvektoren
> sind dies diejenigen Vektoren, die als Ableitungsvektoren
> von Kurven auf der MF beschrieben werden können.
> Oft werden Tangentialvektoren aber auch als
> Richtungsableitungen bzw. Derivationen eingeführt. Der
> Tangentialraum in einem Punkt ist dann so etwas wie der
> Raum der Richtungen, in die eine Funktion auf der MF (im
> gegebenen Punkt) abgeleitet werden kann.
>
> [mm]\\X(f): M\to\IR[/mm]
> [mm]X(f)(q):=X_q(f)\\[/mm]
>
> Hast Du nun also ein VF X auf M sowie eine diffbare
> Funktion f auf M, so kannst Du durch Anwendung von X auf f
> eine neue Funktion auf M definieren. X fungiert dann als so
> etwas wie ein Differentialoperator. X ordnet einem Punkt
> [mm]p\in[/mm] M einen Tangentialvektor/eine Derivation zu, die dann
> auf die Funktion angewendet werden kann (Berechnung der
> Richtungsableitung).
>
> Etwas klarer?
>
> Gruss
> Matthias
>
Gut, also ist das VF X ein Differentialoperator, der der Funktion f ihre Ableitung zuordnet, mal ganz salopp formuliert.
Leider muss ich nochmal ganz doof nachfragen:
Wieso heißt es in o.g. Formulierung " [mm]\\X(f): M\to\IR[/mm]
[mm]X(f)(q):=X_q(f)\\[/mm] "?
Ich meine, wieso [mm]\\X(f): M\to\IR[/mm], also in die reellen Zahlen?
Müsste da nicht ein Vektor rauskommen und keine reelle Zahl?
Wäre ganz super, wenn du da nochmal was dazu sagen könntest....
Danke schonmal und Gruß!
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> > Hallo,
> >
> > > Hallo!
> > >
> > > Ich habe keine konkrete Aufgabe, aber ich habe ein kleines
> > > Problem mit der Definition eines differenzierbaren
> > > Vektorfelds. Eigentlich denke ich, dass ich verstanden
> > > habe, was ein Vektorfeld (VF) ist, ich schreibe mal auf,
> > > was ich dazu weiß:
> > >
> > > Ein VF ist ein Element des Tangentialraums;
> > > es ordnet jedem Punkt einer Mannigfaltigkeit einen
> > > Tangentialvektor zu.
> > >
> > > Bis hierher richtig verstanden?
> >
> > Nicht ganz. Es stimmt, es ordnet jedem Punkt einer
> > Mannigfaltigkeit einen
> > Tangentialvektor zu. Aber damit is ein VF nicht 'ein
> > Element des Tangentialraums' sondern eine Abbildung
> > (präzise: eine Abbildung/ein Schnitt ins
> > Tangentialbündel).
>
> OK, im Skript steht wörtlich
> "Definition: differenzierbares VF auf M, d.h.
> [mm]\\X_p \in T_p M\\[/mm] und Kartendarstellung bzgl. jeder Karte
> ist differenzierbar"
>
> aber dann ist das wohl nr ein bisschen nachlässig
> formuliert mit dem [mm]\\X_p \in T_p M\\[/mm] . Heißt genauer, das
> Bild liegt im Tangentialbündel, oder?
>
Nein, das stimmt schon. Für jedes p ist [mm] X_p [/mm] in [mm] T_p [/mm] M, also dem Tangentialraum. Betrachtet man das ganze aber global auf M, ist ein Vektorfeld eine Abbildung ins Tangentialbündel, welches ja, grob gesagt, die Vereinigung aller Tangentialräume ist.
> >
> > >
> > > Jetzt kommt das, was ich nicht verstehe; hier die
> > > Definition aus meinem Skript:
> > > "Ein differenzierbares VF X auf M (Mannigfaltigkeit)
> > ist
> > > [mm]p\in[/mm] M [mm]X_p\in Der_p[/mm] (Derivationen in p)
> > >
> > > [mm]\\X(f): M\to\IR[/mm]
> > > [mm]X(f)(q):=X_q(f)\\[/mm] "
> > > ...wobei f nach meinem Verständnis eine
> > differenzierbare
> > > Funktion sein müsste.
> > >
> > > Meine Frage: oben habe ich geschrieben, dass ein VF einem
> > > PUNKT einen Vektor zuordnet, in der Skript-Definition wird
> > > in das VF X aber "f" eingesetzt, also kein Punkt, sondern
> > > eine Funktion (bzw. in der 2. Zeile wird der Punkt q in f
> > > eingesetzt und das Ganze dann in X ?).
> > >
> > Ich kann Deine Verwirrung nachvollziehen, auch ich hatte am
> > Anfang Probleme mit den verschiedenen Definitionen von
> > Tangentialräumen (TR), denn darauf läuft Dein
> > Verständnisproblem am Ende hinaus.
> >
> > Nach der anschaulichen Definition von Tangentialvektoren
> > sind dies diejenigen Vektoren, die als Ableitungsvektoren
> > von Kurven auf der MF beschrieben werden können.
> > Oft werden Tangentialvektoren aber auch als
> > Richtungsableitungen bzw. Derivationen eingeführt. Der
> > Tangentialraum in einem Punkt ist dann so etwas wie der
> > Raum der Richtungen, in die eine Funktion auf der MF (im
> > gegebenen Punkt) abgeleitet werden kann.
> >
> > [mm]\\X(f): M\to\IR[/mm]
> > [mm]X(f)(q):=X_q(f)\\[/mm]
> >
> > Hast Du nun also ein VF X auf M sowie eine diffbare
> > Funktion f auf M, so kannst Du durch Anwendung von X auf f
> > eine neue Funktion auf M definieren. X fungiert dann als so
> > etwas wie ein Differentialoperator. X ordnet einem Punkt
> > [mm]p\in[/mm] M einen Tangentialvektor/eine Derivation zu, die dann
> > auf die Funktion angewendet werden kann (Berechnung der
> > Richtungsableitung).
> >
> > Etwas klarer?
> >
> > Gruss
> > Matthias
> >
> Gut, also ist das VF X ein Differentialoperator, der der
> Funktion f ihre Ableitung zuordnet, mal ganz salopp
> formuliert.
>
> Leider muss ich nochmal ganz doof nachfragen:
> Wieso heißt es in o.g. Formulierung " [mm]\\X(f): M\to\IR[/mm]
>
> [mm]X(f)(q):=X_q(f)\\[/mm] "?
> Ich meine, wieso [mm]\\X(f): M\to\IR[/mm], also in die reellen
> Zahlen?
> Müsste da nicht ein Vektor rauskommen und keine reelle
> Zahl?
>
Nochmal:
[mm]\\X(f): M\to\IR[/mm] ist definiert durch
[mm]X(f)(q):=X_q(f)\\[/mm]
Die Frage ist also, ist [mm] $X_q(f)$ [/mm] eine Zahl oder ein Vektor? Wie gesagt, kannst Du Dir [mm] X_q [/mm] als Richtungsableitung vorstellen. Eine Richtungsableitung (nicht verwechseln mit dem Gradienten!) einer skalaren Funktion ist aber wieder eine reelle Zahl. Nimm den euklidischen Raum [mm] R^n [/mm] als triviale Beispiel-MF: Eine Richtungsableitung in Richtung $v$ ergibt sich durch Skalarmultiplikation des Vektors $v$ mit dem Gradienten, also z.B.
[mm] $X_p(f)=\langle v,\nabla f\rangle$.
[/mm]
Dies ist wieder eine reelle Zahl.
Gruss
Matthias
> Wäre ganz super, wenn du da nochmal was dazu sagen
> könntest....
> Danke schonmal und Gruß!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:03 Fr 21.10.2011 | | Autor: | Casy |
Das war ausführlich genug, jetzt hab ich's durchschaut.
Vielen vielen Dank für deine Geduld!
Grüße!
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