differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hey ihr lieben,
ich soll a) zeigen, dass wenn f: [-1,1]-> [mm] \IR [/mm] eine beschränkte Funktion ist, dass dann [mm] g(x)=x^2*f(x) [/mm] im Nullpunkt differenzierbar ist
meine Idee: Eine Funktion ist im Punkt [mm] x_0 [/mm] (hier =0) differenzierbar, wenn der Differenzenquotient mit lim [mm] x->x_0 [/mm] existiert.
Also muss in diesem Fall der [mm] \limes_{x \to 0}\frac{g(x)-g(0)}{x-0} [/mm] existieren. richtig?
= [mm] \limes_{x \to 0}\frac{x^2*f(x)}{x-}= \limes_{x \to 0}x*f(x) [/mm]
und jetzt fehlt mir das Argument. Wieso existiert dieser Ausdruck? und wie kann ich hier mit der Beschränktheit argumentieren?
zu b) ich soll nun die Frage beantworten, ob diese Aussage (also, dass g(x) im Nullpunkt diffbar.) auch für alle f(x) gilt. Hier habe ich leider keine Idee, da ich an dieser Stelle nicht weiß wie ich die Beschränktheit der Funktion f(x) mit einbringen kann, könnt ihr mir helfen?
Ich würde mich sehr freuen!
PS: entschuldigt bitte meine Schreibweise, die Formeln am Pc zu schreiben ist mir noch neu
LG
|
|
| |
|
Hallo,
> Hey ihr lieben,
> ich soll a) zeigen, dass wenn f: [-1,1]-> [mm]\IR[/mm] eine
> beschränkte Funktion ist, dass dann [mm]g(x)=x^2*f(x)[/mm] im
> Nullpunkt differenzierbar ist
>
> meine Idee: Eine Funktion ist im Punkt [mm]x_0[/mm] (hier =0)
> differenzierbar, wenn der Differenzenquotient mit lim
> [mm]x->x_0[/mm] existiert.
> Also muss in diesem Fall der [mm]\limes_{x \to 0}\frac{g(x)-g(0)}{x-0}[/mm]
> existieren. richtig?
> = [mm]\limes_{x \to 0}\frac{x^2*f(x)}{x-}= \limes_{x \to 0}x*f(x)[/mm]
>
> und jetzt fehlt mir das Argument. Wieso existiert dieser
> Ausdruck? und wie kann ich hier mit der Beschränktheit
> argumentieren?
Ja, es kann doch gar nicht [mm] f(0)=\pm\infty [/mm] sein, denn f(x) ist beschränkt, d.h. ja gerade, dass ein M>0 existiert mit |f(x)|<M für alle [mm] x\in[-1,1].
[/mm]
Daher existiert logischerweise auch der Ausdruck.
>
> zu b) ich soll nun die Frage beantworten, ob diese Aussage
> (also, dass g(x) im Nullpunkt diffbar.) auch für alle f(x)
> gilt. Hier habe ich leider keine Idee, da ich an dieser
> Stelle nicht weiß wie ich die Beschränktheit der Funktion
> f(x) mit einbringen kann, könnt ihr mir helfen?
>
>
> Ich würde mich sehr freuen!
> PS: entschuldigt bitte meine Schreibweise, die Formeln am
> Pc zu schreiben ist mir noch neu
>
> LG
|
|
|
| |
|
vielen Dank das hilft mir weiter!
hat noch jemand eine Idee für den Aufgabenteil b)?
Da hänge ich leider auch. Denn es geht ja darum zu zeigen, dass:
der [mm] limes_{x\to 0}x*f(x) [/mm] für alle f(x) also auch für unbeschränkte existiert.
Ich hätte jetzt gesagt, dass das nicht funktioniert. Leider fehlt mir die passende Begründung oder ein Gegenbeispiel. hat einer von euch eine Idee?
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:46 Mi 19.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> vielen Dank das hilft mir weiter!
> hat noch jemand eine Idee für den Aufgabenteil b)?
> Da hänge ich leider auch. Denn es geht ja darum zu zeigen,
> dass:
> der [mm]limes_{x\to 0}x*f(x)[/mm] für alle f(x) also auch für
> unbeschränkte existiert.
> Ich hätte jetzt gesagt, dass das nicht funktioniert.
> Leider fehlt mir die passende Begründung oder ein
> Gegenbeispiel. hat einer von euch eine Idee?
Betrachte
[mm] f(x):=1/x^2, [/mm] falls x [mm] \ne [/mm] 0 und f(0):=0.
FRED
>
> LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:13 Mi 19.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Hier stand nix tolles. 
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:47 Mi 19.03.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Nein, ganz so einfach ist das nicht. Betrachte [mm] f(x)=\sin(\frac{1}{x}) [/mm] z.B. (mit $f(0)=0$ z.B.).
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:09 Mi 19.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Teufel,
> Hi!
>
> Nein, ganz so einfach ist das nicht. Betrachte
> [mm]f(x)=\sin(\frac{1}{x})[/mm] z.B. (mit [mm]f(0)=0[/mm] z.B.).
$f$ ist aber nicht stetig in [mm] $x_0=0$. [/mm] Stetigkeit wird aber
nicht vorausgesetzt. Ich denk nochmal dadrüber nach.
Danke Dir!
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:56 Mi 19.03.2014 | | Autor: | Teufel |
Ah ich hätte vielleicht schreiben sollen,w as genaud as Problem ist. Ich wollte nur sagen, dass du nicht einfach den Limes von $f$ hinschreiben kannst, weil der für [mm] $x\rightarrow0$ [/mm] nicht existiert in meinem Beispiel. Ist aber natürlich ansonsten kein Problem, man kann die gewünschte Aussage natürlich trotzdem zeigen, wie auch "Nullfolge mal beschränkte Folge = Nullfolge".
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:23 Mi 19.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Teufel,
Du hast natürlich Recht. Dein Beispiel zeigt im Grunde genau
meinen Denkfehler. Die Folgen müssen natürlich nicht unbedingt
konvergieren. Wichtig ist hier die Beschränktheit, denn damit
ist auch jede Folge beschränkt und existiert eine Schranke,
sodass wir im Grunde bei deinem erwähnten Satz ankommen.
Liebe Grüße
DieAcht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:29 Mi 19.03.2014 | | Autor: | Richie1401 |
Hi nochmal,
ich frage mal noch etwas:
Ist bei f(x) die Stetigkeit gegeben? Ansonsten wirds wohl problematisch.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:48 Mi 19.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hi nochmal,
>
> ich frage mal noch etwas:
>
> Ist bei f(x) die Stetigkeit gegeben? Ansonsten wirds wohl
> problematisch.
Ich sehe keine Probleme: |f(x)| [mm] \le [/mm] M [mm] \Rightarrow [/mm] |xf(x)| [mm] \le [/mm] M|x|
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:53 Mi 19.03.2014 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo Fred,
ich habe an folgendes gedacht:
f(x)=1 für x=0, f(x)=0, sonst.
Damit ist f beschränkt.
Dann wäre [mm] g(x)=x^2*f(x)=1 [/mm] für x=0 und sonst f(x)=0.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:58 Mi 19.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> ich habe an folgendes gedacht:
>
> f(x)=1 für x=0, f(x)=0, sonst.
>
> Damit ist f beschränkt.
>
> Dann wäre [mm]g(x)=x^2*f(x)=1[/mm] für x=0
Hä ? Es ist g(0)=0.
FRED
> und sonst f(x)=0.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:13 Mi 19.03.2014 | | Autor: | Richie1401 |
> > Hallo Fred,
> >
> > ich habe an folgendes gedacht:
> >
> > f(x)=1 für x=0, f(x)=0, sonst.
> >
> > Damit ist f beschränkt.
> >
> > Dann wäre [mm]g(x)=x^2*f(x)=1[/mm] für x=0
>
>
> Hä ? Es ist g(0)=0.
Uff!
Ich schäme mich!
Mal wieder ein totales Eigentor...
Ich gehe mich für heute verbuddeln.
>
> FRED
>
>
> > und sonst f(x)=0.
>
|
|
|
| |
|
Hey
danke für eure Mühen, aber leider blicke ich nicht mehr so ganz durch. Also es geht ja nun darum zu beweisen, dass [mm] limes_{x \to 0}x*f(x) [/mm] auch für unbeschränkte f(x) existiert. Was nehme ich am besten hier als Gegenbeispiel? Wenn ich f(x)=x (unbeschränkt) wähle, dann existiert der limes ja dennoch. Hilfeee :-(
Lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:01 Fr 21.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hey
> danke für eure Mühen, aber leider blicke ich nicht mehr
> so ganz durch. Also es geht ja nun darum zu beweisen, dass
> [mm]limes_{x \to 0}x*f(x)[/mm] auch für unbeschränkte f(x)
> existiert.
Nein, es geht darum, dass Du an einem Beispiel zeigst, dass für unbeschränktes f der obige Limes nicht existiert.
> Was nehme ich am besten hier als Gegenbeispiel?
Liest Du, was man Dir schreibt ??? Am Mittwoch hatte ich Dir das
"Betrachte
$ [mm] f(x):=1/x^2, [/mm] $ falls x $ [mm] \ne [/mm] $ 0 und f(0):=0."
geschrieben !!!
> Wenn ich f(x)=x (unbeschränkt) wähle, dann existiert der
> limes ja dennoch. Hilfeee :-(
Hilfeee :-(, Hilfeee :-(, Hilfeee :-( !!!
Du hast offenbar noch nicht begriffen, dass es um Funktionen geht, die "in der Nähe" von 0 (un)beschränkt sind !
1. Ist a>0 und ist f auf (-a,a) beschränkt, so ist
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}x*f(x)=0,
[/mm]
denn es gibt ein c>0 mit |f(x)| [mm] \le [/mm] c für alle x [mm] \in [/mm] (-a,a), somit ist
$|x*f(x)| [mm] \le [/mm] c*|x|$ für alle x [mm] \in [/mm] (-a,a).
2. Ist f in der Nähe von 0 unbeschränkt, so muss [mm] \limes_{x\rightarrow 0}x*f(x) [/mm] nicht existieren. Das zeig mein Beispiel von oben.
FRED
>
>
> Lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:10 Fr 21.03.2014 | | Autor: | AnnaHundi |
Vielen Dank das hilft mir weiter! ich habe bloß zwischen den Aufgaben den Überblick verloren
LG
|
|
|
|
