differenzierbarkeit R^m->R < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:01 So 04.04.2010 | | Autor: | nooschi |
| Aufgabe | Sei [mm]X = \IR^m[/mm], [mm]Y=\IR[/mm] und [mm]f: U \rightarrow \IR[/mm]. Dann ist für jedes [mm]h=(h_1, ..., h_m)\in\IR^m[/mm] $$ [mm] Df(x_0)h [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^{m}D_jf(x_0)h_j [/mm] $$
(Bemerkung von mir: [mm]f[/mm] ist eine Funktion von [mm]X[/mm] nach [mm]Y[/mm], [mm]U[/mm] ist eine offene Teilmenge von [mm]X[/mm].) |
Also, das oben ist eine Bemerkung in meinem Skript.
Meine Frage: fehlt da nicht noch eine Bedingung wie: falls [mm]Df(x_0)h[/mm] existiert, gilt ....
oder darf ich jetzt annehmen, dass bei Funktionen von [mm] \IR^m [/mm] nach [mm] \IR [/mm] die Ableitung immer existiert, falls die Richtungsableitungen existieren, ohne den üblichen Zusatz, dass die Richtungsableitungen stetig sein müssen?
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:51 Mo 05.04.2010 | | Autor: | qsxqsx |
"...darf ich jetzt annehmen, dass bei Funktionen von [mm] R^{m} [/mm] nach R die Ableitung immer existiert, falls die Richtungsableitungen existieren, ohne den üblichen Zusatz, dass die Richtungsableitungen stetig sein müssen? "
Falls eine Funktion differenzierbar ist, so ist sie auch stetig.
differenzierbar => stetig
(aus Stetigkeit folgt aber nicht Differenzierbarkeit!)
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:44 Mo 05.04.2010 | | Autor: | nooschi |
> Falls eine Funktion differenzierbar ist, so ist sie auch
> stetig.
>
> differenzierbar => stetig
>
ja, das ist mir klar
> (aus Stetigkeit folgt aber nicht Differenzierbarkeit!)
>
das weiss ich auch, ich hab ja geschrieben die Stetigkeit der Richtungsableitungen. (und es stimmt auf jeden Fall, dass wenn die Richtungsableitungen existieren und stetig sind, dass dann die Funktion differenzierbar ist. Meine Frage ist, ob bei Funktionen von [mm] \IR^n [/mm] nach [mm] \IR [/mm] es auch reicht, wenn die Richtungsableitungen existieren und dann automatisch folgt, dass die Funktion differenzierbar ist. Nach der Bemerkung im Skript, scheint das ja so zu sein, aber kanns nicht so ganz glauben  )
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:11 Mo 05.04.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Falls eine Funktion differenzierbar ist, so ist sie auch
> > stetig.
> >
> > differenzierbar => stetig
> >
>
> ja, das ist mir klar
>
> > (aus Stetigkeit folgt aber nicht Differenzierbarkeit!)
> >
>
> das weiss ich auch, ich hab ja geschrieben die Stetigkeit
> der Richtungsableitungen. (und es stimmt auf jeden Fall,
> dass wenn die Richtungsableitungen existieren und stetig
> sind, dass dann die Funktion differenzierbar ist. Meine
> Frage ist, ob bei Funktionen von [mm]\IR^n[/mm] nach [mm]\IR[/mm] es auch
> reicht, wenn die Richtungsableitungen existieren und dann
> automatisch folgt, dass die Funktion differenzierbar ist.
> Nach der Bemerkung im Skript, scheint das ja so zu sein,
> aber kanns nicht so ganz glauben )
ja, qsxqsx Antwort beantwortet natürlich Deine Frage in keinster Weise. Natürlich fehlt da oben noch ein Zusatz wie "in allen Punkten [mm] $x_0 \in [/mm] U [mm] \subseteq [/mm] X$, in denen [mm] $f\,$ [/mm] differenzierbar ist...".
Die Bedingung, dass alle Richtungsableitungen dort stetig sind, ist übrigens "nur" eine hinreichende Bedingung für die (totale) Diff'barkeit.
P.S.:
[mm] $\bullet$[/mm] ![[]](/images/popup.gif) Wiki-Link zur Totalen Diff'barkeit
[mm] $\bullet$[/mm] vll. helfender Link (habe ich gerade nur flüchtig begutachtet)
Beste Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:36 Mo 05.04.2010 | | Autor: | nooschi |
ok, dankeschön!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:00 Di 06.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Falls eine Funktion differenzierbar ist, so ist sie auch
> > stetig.
> >
> > differenzierbar => stetig
> >
>
> ja, das ist mir klar
>
> > (aus Stetigkeit folgt aber nicht Differenzierbarkeit!)
> >
>
> das weiss ich auch, ich hab ja geschrieben die Stetigkeit
> der Richtungsableitungen. (und es stimmt auf jeden Fall,
> dass wenn die Richtungsableitungen existieren und stetig
> sind, dass dann die Funktion differenzierbar ist. Meine
> Frage ist, ob bei Funktionen von [mm]\IR^n[/mm] nach [mm]\IR[/mm] es auch
> reicht, wenn die Richtungsableitungen existieren und dann
> automatisch folgt, dass die Funktion differenzierbar ist.
> Nach der Bemerkung im Skript, scheint das ja so zu sein,
> aber kanns nicht so ganz glauben )
Wenn das wirklich in Deinem Skript sreht, so steht da dummes Zeug !
Sei $f(x,y) = [mm] \bruch{xy^2}{x^2+y^4}$ [/mm] , für $(x,y) [mm] \ne [/mm] (0,0)$
und $f(0,0) = 0$
Zeige:
1. f hat in (0,0) Richttungsableitungen in jeder Richtung
2. f ist in (0,0) nicht stetig !
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:07 Mo 05.04.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm]X = \IR^m[/mm], [mm]Y=\IR[/mm] und [mm]f: U \rightarrow \IR[/mm]. Dann ist
> für jedes [mm]h=(h_1, ..., h_m)\in\IR^m[/mm] [mm]Df(x_0)h = \sum_{j=1}^{m}D_jf(x_0)h_j[/mm]
>
> (Bemerkung von mir: [mm]f[/mm] ist eine Funktion von [mm]X[/mm] nach [mm]Y[/mm], [mm]U[/mm] ist
> eine offene Teilmenge von [mm]X[/mm].)
Deine Bemerkung stimmt so nicht. $f: U [mm] \to \IR$ [/mm] bedeutet gerade, dass [mm] $f\,$ [/mm] auf [mm] $U=U^o \subseteq X=\IR^m\,$ [/mm] definiert ist. Also: [mm] $f\,$ [/mm] ist eine Funktion von [mm] $U\,$ [/mm] nach [mm] $Y\,\;\;\;(=\IR)$.
[/mm]
Aber das nur so nebenbei...
Beste Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:39 Mo 05.04.2010 | | Autor: | nooschi |
ja, da hast du natürlich Recht :P
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Di 06.04.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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