diophantische Gleichung lösen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle Lösungen der diophantischen Gleichung 8x+5y+6z=3 unter der Nebenbedingung [mm] |x|+|y|+|z|\le [/mm] 5. |
Hallo,
ich konnte leider nicht an der entsprechenden Vorlesung/Übung teilnehmen und hoffe, dass mir hier jemand sagen kann, wie solche Gleichungen lösen kann.
Das mit der Nebenbedingung erinnert mich an Extremalprobleme, aber hat sicher nichts mit ableiten zu tun hier oder?
Ich hoffe jemand kann sich kurz die Zeit nehmen und mir helfen.
Lieben Gruß
vom congo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:44 Sa 25.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
jemand war nicht in der vorlesung, was machen?
a) Mitstudi fragen: der beste Weg auch als Berufsvorbereitung, Zusammenarbeit, Diskussion über die Vorlesg usw. ist ein wichtiger Teil des Studiums
b) wiki und dessen links hier etwa http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/diophant.htm#script
c) google
d) wir, und wenn wirs nicht können ist unser Weg b und c
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 Sa 25.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Bestimmen Sie alle Lösungen der diophantischen Gleichung
> 8x+5y+6z=3 unter der Nebenbedingung [mm]|x|+|y|+|z|\le[/mm] 5.
So eine Gleichung setzt sich aus spezieller Loesung und allgemeiner Loesung zusammen. Eine spezielle Loesung kann man hier recht schnell finden ($8 - 5 = 3$).
Die allgemeine Loesung setzt sich aus der homogenen allgemeinen Loesung (von $8 x + 5 y + 6 z = 0$) und der speziellen Loesung zusammen.
Die allgemeine homogene Loesung findest du wie folgt: wenn man $8 x + 5 y = -6 z$ schreibt, kannst du auch hier wieder eine spezielle Loeusng und eine allg. Loesung von $8 x + 5 y = 0$ verwenden. Da $ggT(8, 5) = 1$ ist ist $8 x + 5 y = -6 z$ fuer jedes $z$ loesbar, womit du die Gesamtloesungsmenge u.a. mit $z$ parametrisieren kannst.
Also finde die allg. Loesung von $8 x + 5 y = A$ (fuer ein beliebiges $A [mm] \in \IZ$, [/mm] spaeter kannst du dann $A = -6 z$ einsetzen.) Dafuer schreibst du $1 = ggT(8, 5) = B [mm] \cdot [/mm] 8 + C [mm] \cdot [/mm] 5$. Damit bekommst du eine spezielle Loesung; die allgemeine Loesung von $8 x + 5 y = 0$ ist $(x, y) = [mm] (\frac{5}{ggT(8, 5)} \lambda, -\frac{8}{ggT(8, 5)} \lambda)$ [/mm] mit [mm] $\lambda \in \IZ$. [/mm] Damit erhaelst du, dass die allg. Loesung von $8 x + 5 y = A$ gerade [mm] $\{ (A B + 5 \lambda, A C - 8 \lambda) \mid \lambda \in \IZ \}$ [/mm] ist.
Damit wiederum kannst du die allg. Loesung von $8 x + 5 y + 6 z = 0$ angeben.
Jetzt kannst du die Nebenbedingungen verwenden, um erstmal alle moeglichen Werte fuer $z$ zu beschraenken, und dann fuer jedes feste $z$ alle moeglichen Werte von $x$ und $y$ herauszufinden.
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:54 So 26.06.2011 | | Autor: | geri |
Hallöchen,
also mich interessiert diese Aufgabenstellung ebenfalls und wollte mich einfach mal einklinken. Nachdem ich mit einem Kommilitonen versucht habe, deinen Vorschlag nachzuvollziehen, kamen wir darauf, dass das Tripel [mm] (x,y,z)=(-12z+5\lambda+6 [/mm] , [mm] 18z-8\lambda [/mm] -9 , z) sein muss. Denn damit erhalten wir schon mal die drei hinter dem Gleichheitszeichen. Jedoch wissen wir jetzt nicht weiter, wie wir mit der Nebenbedinung umgehen müssen. Setzen wir diese Punkte nun in die Nebenbedingung ein oder was müssen wir da tun?
LG Geri
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:24 So 26.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Geri,
> also mich interessiert diese Aufgabenstellung ebenfalls
> und wollte mich einfach mal einklinken. Nachdem ich mit
> einem Kommilitonen versucht habe, deinen Vorschlag
> nachzuvollziehen, kamen wir darauf, dass das Tripel
> [mm](x,y,z)=(-12z+5\lambda+6[/mm] , [mm]18z-8\lambda[/mm] -9 , z) sein muss.
> Denn damit erhalten wir schon mal die drei hinter dem
> Gleichheitszeichen. Jedoch wissen wir jetzt nicht weiter,
> wie wir mit der Nebenbedinung umgehen müssen. Setzen wir
> diese Punkte nun in die Nebenbedingung ein oder was müssen
> wir da tun?
Also. Nach der Nebenbedingung gibt es 11 verschiedene Moeglichkeiten fuer $z$: naemlich $-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5$. Sobald ihr eine davon einsetzt, bleiben nicht mehr viele Moeglichkeiten fuer [mm] $\lambda$ [/mm] uebrig -- vermutlich meist nur eine oder gar keine.
Zum Beispiel ist fuer $z = 1$ der Punkt $(-12 + 5 [mm] \lambda [/mm] + 6, 18 - 8 [mm] \lambda [/mm] - 9) = (-6 + 5 [mm] \lambda, [/mm] 9 - 8 [mm] \lambda)$, [/mm] und es muss $|-6 + 5 [mm] \lambda| [/mm] + |9 - 8 [mm] \lambda| \le [/mm] 4$ gelten. Damit $-4 [mm] \le [/mm] 5 [mm] \lambda [/mm] - 6 [mm] \le [/mm] 4$ ist, muss [mm] $\lambda \in \{ 1, 2 \}$ [/mm] sein. Fuer [mm] $\lambda [/mm] = 1$ hat man $(-1, 1, 1)$ und das erfuellt die Nebenbedingung. Fuer [mm] $\lambda [/mm] = 2$ hat man $(4, -7, 1)$ und das erfuellt nicht die Nebenbedingung. Damit gibt es genau eine Loesung, die hinten eine 1 hat.
So, jetzt bleiben 10 weitere Faelle 
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:17 Mo 27.06.2011 | | Autor: | geri |
Hi Felix,
oh, darauf hätten wir eigentlich auch selber kommen müssen >.<
Damit ist das ja dann einfacher als gedacht.
Danke für deine schnelle Hilfe :)
LG Geri
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