dipoloperator < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:59 Mo 18.02.2008 | | Autor: | toros |
| Aufgabe | [mm] \hat D_{ij}=\vec{\mu}_i\vec{\mu}_j-3\left(\vec{\mu}_i\cdot\vec{n}_{ij}\right)\left(\vec{\mu}_j\cdot\vec{n}_{ij}\right) [/mm] (1), wobei [mm] \vec{n}_{ij}=\frac{\vec{R}_i - \vec{R}_j}{\left|\vec{R}_i - \vec{R}_j\right|} [/mm] der einheitsvektor ist
[mm] \hat D_{ij}=\vec{\mu}_i\vec{\mu}_j\left(\delta_{ij}-3\vec{R}_i\vec{R}_j\right) [/mm] (2), wobei [mm] \vec{R}_i [/mm] und [mm] \vec{R}_j [/mm] der einheitsvektoren sind.
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hallo,
ich hab den dipoloperator in 2 unterschiedliche versionen gefunden. leider seh ich nicht, dass beide gleichungen gleich sind! man kann doch nicht in gleichung (1) das [mm] \vec{\mu}_i [/mm] und [mm] \vec{\mu}_j [/mm] einfach ausklammern, oder? beim ersten wird nur die [mm] \mu [/mm] -komponente in n-Richtung betrachtet...
danke!
gruss toros
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:14 Mo 18.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]\hat D_{ij}=\vec{\mu}_i\vec{\mu}_j-3\left(\vec{\mu}_i\cdot\vec{n}_{ij}\right)\left(\vec{\mu}_j\cdot\vec{n}_{ij}\right)[/mm]
> (1), wobei [mm]\vec{n}_{ij}=\frac{\vec{R}_i - \vec{R}_j}{\left|\vec{R}_i - \vec{R}_j\right|}[/mm]
> der einheitsvektor ist
>
> [mm]\hat D_{ij}=\vec{\mu}_i\vec{\mu}_j\left(\delta_{ij}-3\vec{R}_i\vec{R}_j\right)[/mm]
> (2), wobei [mm]\vec{R}_i[/mm] und [mm]\vec{R}_j[/mm] der
> einheitsvektoren sind.
>
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> hallo,
>
> ich hab den dipoloperator in 2 unterschiedliche versionen
> gefunden. leider seh ich nicht, dass beide gleichungen
> gleich sind! man kann doch nicht in gleichung (1) das
> [mm]\vec{\mu}_i[/mm] und [mm]\vec{\mu}_j[/mm] einfach ausklammern, oder? beim
> ersten wird nur die [mm]\mu[/mm] -komponente in n-Richtung
> betrachtet...
Du müsstest uns verraten, was du genau meinst. Das, was du hingeschrieben hast, ist nicht der übliche (quantenmechanische?) Dipoloperator. Es ist auch nicht das Feld eines Dipols. Es sieht so ähnlich aus wie die ![[]](/images/popup.gif) Energie der Dipol-Dipol-Wechselwirkung, aber da stehen normalerweise zwei verschiedene Dipolmomente drin.
Was dich verwirrt, ist vermutlich die Indexschreibweise, die in den zitierten Formeln unterschiedlich ist.
Ich rate mal, dass Folgendes gemeint ist: Den Term [mm] $(\vec{\mu}_i\cdot\vec{n}_{ji})(\vec{\mu}_j\cdot\vec{n}_{ij})$ [/mm] kann man als Matrixmultiplikation schreiben:
$ [mm] (\vec{\mu}_i\cdot\vec{n}_{ji})(\vec{\mu}_j\cdot\vec{n}_{ij}) [/mm] = [mm] \vec{\mu}_i [/mm] * M * [mm] \vec{\mu}_j [/mm] $,
wobei die Matrix $M$ gegeben ist als Tensorprodukt des Vektors [mm] $\vec{n}_{ij}$ [/mm] mit sich selbst:
$ M = [mm] \vec{n}_{ij} \otimes \vec{n}_{ij} [/mm] $,
in Komponenten:
$ [mm] M_{\alpha\beta} [/mm] = [mm] (\vec{n}_{ij})_\alpha (\vec{n}_{ij})_\beta [/mm] $
oder ausgeschrieben:
[mm] M = \begin{pmatrix} (\vec{n}_{ij})_x (\vec{n}_{ij})_x & (\vec{n}_{ij})_x (\vec{n}_{ij})_y & (\vec{n}_{ij})_x (\vec{n}_{ij})_z \\
(\vec{n}_{ij})_y (\vec{n}_{ij})_x & (\vec{n}_{ij})_y (\vec{n}_{ij})_y & (\vec{n}_{ij})_y (\vec{n}_{ij})_z \\
(\vec{n}_{ij})_z (\vec{n}_{ij})_x & (\vec{n}_{ij})_z (\vec{n}_{ij})_y & (\vec{n}_{ij})_z (\vec{n}_{ij})_z
\end{pmatrix} [/mm]
Den Term [mm] $\vec{\mu}_i*\vec{\mu}_j$ [/mm] kann man ebenso als Matrixmultiplikation schreiben, nur ist's diesmal die Einheitsmatrix:
$ [mm] \vec{\mu}_i*\vec{\mu}_j [/mm] = [mm] \vec{\mu}_i*\mathbf{1}_{3\times3}*\vec{\mu}_j [/mm] $.
Zusammengefasst also:
$ [mm] \hat D_{ij}= \vec{\mu}_i* [/mm] ( [mm] \mathbf{1}_{3\times3} [/mm] - [mm] 3\vec{n}_{ij} \otimes \vec{n}_{ij}) [/mm] * [mm] \vec{\mu}_j [/mm] $.
In der zweiten Formel bedeuten die Indizes nicht die Indizes der Punkte, sondern die drei Koordinaten des Raumes, das heisst, es ist nur die letzte Gleichung in Koordinatenform:
$ [mm] (\vec{\mu}_i)_\alpha [/mm] ( [mm] \delta_{\alpha\beta} [/mm] - 3 [mm] (\vec{n}_{ij})_\alpha (\vec{n}_{ij})_\beta [/mm] ) [mm] (\vec{\mu}_j)_\beta [/mm] $,
wobei über [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $\beta$ [/mm] von 1 bis 3 summiert wird.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:16 Di 19.02.2008 | | Autor: | toros |
hi rainer,
danke! du hast recht. ich war zu ungenau, sorry. es ist die energie der dipol-dipol wechselwirkung und es sollten auch zwei verschiedene dipole drinstehen, also [mm] \mu_i(A) [/mm] und [mm] \mu_j(B).
[/mm]
gruss toros
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Di 19.02.2008 | | Autor: | toros |
hi rainer,
> Ich rate mal, dass Folgendes gemeint ist: Den Term
> [mm](\vec{\mu}_i\cdot\vec{n}_{ji})(\vec{\mu}_j\cdot\vec{n}_{ij})[/mm]
> kann man als Matrixmultiplikation schreiben
man darf doch nicht einfach [mm] \vec{n}_{ij}=\vec{n}_{ji} [/mm] schreiben, oder?
wie sieht [mm] \hat D_{ij}=\vec{\mu}_i\vec{\mu}_j-3\left(\vec{\mu}_i\cdot\vec{n}_{ij}\right)\left(\vec{\mu}_j\cdot\vec{n}_{ij}\right) [/mm] aus, wenn man i=j setzt?
gruss
toros
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 Di 19.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> hi rainer,
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> > Ich rate mal, dass Folgendes gemeint ist: Den Term
> >
> [mm](\vec{\mu}_i\cdot\vec{n}_{ji})(\vec{\mu}_j\cdot\vec{n}_{ij})[/mm]
> > kann man als Matrixmultiplikation schreiben
>
> man darf doch nicht einfach [mm]\vec{n}_{ij}=\vec{n}_{ji}[/mm]
> schreiben, oder?
Nein, sorry, das war ein Teppfiehler.
> wie sieht [mm]\hat D_{ij}=\vec{\mu}_i\vec{\mu}_j-3\left(\vec{\mu}_i\cdot\vec{n}_{ij}\right)\left(\vec{\mu}_j\cdot\vec{n}_{ij}\right)[/mm]
> aus, wenn man i=j setzt?
Was meinst du damit? i und j bezeichnen die beiden Dipole, also wäre i=j die Wechselwirkung eines Dipols mit sich selbst. Das ergibt keinen Sinn.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 Fr 14.03.2008 | | Autor: | toros |
hi,
sorry. hab mich falsch ausgedrückt. ich meine, wenn [mm] \vec{\mu}_i [/mm] und [mm] \vec{\mu}_j [/mm] nur entlang der z-richtung ausgerichtet sind (und vom betrag her gleich sind), dann hab ich doch [mm] \vec{\mu}_i=\vec{\mu}_j=\mu\vektor{0 \\ 0\\1}=\mu\vec{e}_z. [/mm] damit sollte im zähler von [mm] \hat D_{ij} [/mm] offensichtlich ein skalar stehen. kann mir bitte einer sagen, warum dann [mm] \hat D_{ij}=\mu^2\left(1-\frac{3\left(\vec{e}_z\cdot\left(\vec{R}_i - \vec{R}_j\right)\right)\left(\vec{e}_z\cdot\left(\vec{R}_i - \vec{R}_j\right)\right)}{\left|\vec{R}_i - \vec{R}_j\right|^2}\right)= \mu^2\left(1-\frac{3(z_1-z_2)}{\left|\vec{R}_i - \vec{R}_j\right|^2}\right) [/mm] wird?
danke!
gruss toros
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:34 Sa 15.03.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> hi,
>
> sorry. hab mich falsch ausgedrückt. ich meine, wenn
> [mm]\vec{\mu}_i[/mm] und [mm]\vec{\mu}_j[/mm] nur entlang der z-richtung
> ausgerichtet sind (und vom betrag her gleich sind), dann
> hab ich doch [mm]\vec{\mu}_i=\vec{\mu}_j=\mu\vektor{0 \\ 0\\1}=\mu\vec{e}_z.[/mm]
> damit sollte im zähler von [mm]\hat D_{ij}[/mm] offensichtlich ein
> skalar stehen. kann mir bitte einer sagen, warum dann [mm]\hat D_{ij}=\mu^2\left(1-\frac{3\left(\vec{e}_z\cdot\left(\vec{R}_i - \vec{R}_j\right)\right)\left(\vec{e}_z\cdot\left(\vec{R}_i - \vec{R}_j\right)\right)}{\left|\vec{R}_i - \vec{R}_j\right|^2}\right)= \mu^2\left(1-\frac{3(z_1-z_2)}{\left|\vec{R}_i - \vec{R}_j\right|^2}\right)[/mm]
> wird?
Das ist ein Skalar; die Energie der Dipol-Dipol-Wechselwirkung ist invariant unter Translationen und Rotationen des Koordiantensystems.
Ich vermute mal, dich verwirrt der Term [mm] $z_1-z_2$. [/mm] Das liegt einfach daran, dass dein System nicht iostrop ist: wenn du dein Koordinatensystem zum Beispiel um [mm] $\pi/2$ [/mm] um die x-Achse drehst, dann liegen danach die Dipolmomente parallel zu y-Achse und in der Energie steht der Term [mm] $y_1-y_2$. [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:59 Sa 15.03.2008 | | Autor: | toros |
achso, danke!
warum steht da aber kein quadrat? ich hab doch [mm] \left(\vec{e}_z\cdot\left(\vec{R}_i - \vec{R}_j\right)\right)\left(\vec{e}_z\cdot\left(\vec{R}_i - \vec{R}_j\right)\right)=\left(\vektor{0 \\ 0\\1}\cdot\vektor{x_1-x_2 \\ y_1-y_2\\z_1-z_2}\right)\cdot\left(\vektor{0 \\ 0\\1}\cdot\vektor{x_1-x_2 \\ y_1-y_2\\z_1-z_2}\right)=(z_1-z_2)^2
[/mm]
hätte man dann bei einem isotropen system [mm] \hat D_{ij}= \mu^2\left(1-\frac{3z}{\left|\vec{R}_i - \vec{R}_j\right|^2}\right) [/mm] ?
gruss toros
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:25 Sa 15.03.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> warum steht da aber kein quadrat?
Du hast recht, da habe ich gar nicht drauf geachtet. Es muss [mm] $(z_1-z_2)^2$ [/mm] heissen, schon der Dimension wegen.
> hätte man dann bei einem isotropen system [mm]\hat D_{ij}= \mu^2\left(1-\frac{3z}{\left|\vec{R}_i - \vec{R}_j\right|^2}\right)[/mm]
> ?
Die Frage verstehe ich nicht. Was meinst du mit einem isotropen System? Ein Dipol ist nicht isotrop.
Viele Grüße
Rainer
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