dirac-maß und vollständigkeit? < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:18 Fr 07.11.2008 | | Autor: | electraZ |
Hallo Leute!
Ich brauche eure Hilfe...
Es geht um eine höchstwahrscheinlich triviale Aufgabe, weil es nirgendwo eine anständige Erklärung dazu gibt.
Also, es sei [mm] \mathcal{A} [/mm] eine sigma-Algebra, [mm] \omega \in \Omega [/mm] , [mm] \{\omega\} \in \mathcal{A} [/mm] und [mm] \varepsilon _{\omega} [/mm] ein Dirac-Maß,
beweisen, dass der maßraum [mm] (\Omega, \mathcal{A}, \varepsilon _{\omega}) [/mm] genau dann vollständig ist, wenn [mm] \mathcal{A} [/mm] gleich der Potenzmenge ist.
Die Frage ist, wie hängt das ganze zusammen, wenn [mm] \mathcal{A} [/mm] gleich der Potenzmenge ist??
Ich hab dafür die Def. der Vollständigkeit benutzt und gezeigt dass wenn N aus der nullmenge ist, dann für [mm] N_{0} \in [/mm] N gilt: [mm] N_{0} [/mm] = [mm] \bigcup_{\omega \in A} \{\omega\}
[/mm]
und auch klar dass [mm] \varepsilon(N_0) \le \varepsilon(N) [/mm] = 0 für alle [mm] \omega [/mm] aus N
dann ist [mm] \varepsilon(\bigcup_{\omega \in N_{0}}\{\omega\})=0 [/mm] und die vereinigung ist abzählbar.
soweit bin ich gekommen
bitte bitte, zumindets ein Hinweis dazu wie das Ganze von der Potenzmenge abhängt, damit mir auch die rückrichtung des beweises klar wird....
vielen Dank im voraus!
electraZ
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:24 Sa 08.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo electraZ!
> Es geht um eine höchstwahrscheinlich triviale Aufgabe, weil
> es nirgendwo eine anständige Erklärung dazu gibt.
>
> Also, es sei [mm]\mathcal{A}[/mm] eine sigma-Algebra, [mm]\omega \in \Omega[/mm]
> , [mm]\{\omega\} \in \mathcal{A}[/mm] und [mm]\varepsilon _{\omega}[/mm] ein
> Dirac-Maß,
> beweisen, dass der maßraum [mm](\Omega, \mathcal{A}, \varepsilon _{\omega})[/mm]
> genau dann vollständig ist, wenn [mm]\mathcal{A}[/mm] gleich der
> Potenzmenge ist.
>
> Die Frage ist, wie hängt das ganze zusammen, wenn
> [mm]\mathcal{A}[/mm] gleich der Potenzmenge ist??
Zunächst einmal ist ja immer [mm] $\mathcal{A}\subseteq \mathcal{P}(\Omega)$. [/mm] Ferner gilt, dass der Maßraum vollständig ist, wenn [mm] $\mathcal{A}=\mathcal{P}(\Omega)$, [/mm] da [mm] $\mathcal{P}(\Omega)$ [/mm] alle Teilmengen von [mm] $\Omega$ [/mm] enthält.
Du musst also nur die andere Richtung zeigen: [mm] $(\Omega, \mathcal{A}, \varepsilon _{\omega})$ [/mm] vollständig [mm] $\implies\mathcal{A}=\mathcal{P}(\Omega)$, [/mm] oder anders: [mm] $\mathcal{A} \not=\mathcal{P}(\Omega) \implies$ [/mm] Maßraum nicht vollständig.
> Ich hab dafür die Def. der Vollständigkeit benutzt und
> gezeigt dass wenn N aus der nullmenge ist, dann für [mm]N_{0} \in[/mm]
> N gilt: [mm]N_{0}[/mm] = [mm]\bigcup_{\omega \in A} \{\omega\}[/mm]
Das verstehe ich nicht ganz: Was ist N? Eine Nullmenge oder eine Menge von Mengen?
Und nach meinem Verständnis ist [mm] $\bigcup_{\omega \in A} \{\omega\} [/mm] = A$.
> und auch klar dass [mm]\varepsilon(N_0) \le \varepsilon(N)[/mm] = 0
> für alle [mm]\omega[/mm] aus N
Hier ist jetzt N eine Nullmenge?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:43 So 09.11.2008 | | Autor: | electraZ |
Also,
N ist bei mir einfach eine Nullmenge, das hab ich vergessen zu definieren..
Reicht denn diese Erklärung für die "Hinrichtung", dass die Potenzmenge alle Teilmenge der [mm] \Omega [/mm] enthält?
Ja, da haben Sie recht mit der Vereinigung.. Ich habe natürlich gemeint dass m [mm] \in N_{0}, [/mm] also die Vereinigung aller [mm] \omega [/mm] aus [mm] N_{0} [/mm] ist selbst [mm] N_{0}.
[/mm]
und die Rückrichtung BITTE BITTE ein bisschen auführlicher...
Danke, Hr. Rainer!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:23 Mo 10.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Du kannst mich ruhig duzen, das machen wir alle so 
> N ist bei mir einfach eine Nullmenge, das hab ich vergessen
> zu definieren..
>
> Reicht denn diese Erklärung für die "Hinrichtung", dass die
> Potenzmenge alle Teilmenge der [mm]\Omega[/mm] enthält?
Ich denke schon: damit folgt die Hinrichtung aus der Definition der Vollständigkeit.
> Ja, da haben Sie recht mit der Vereinigung.. Ich habe
> natürlich gemeint dass m [mm]\in N_{0},[/mm] also die Vereinigung
> aller [mm]\omega[/mm] aus [mm]N_{0}[/mm] ist selbst [mm]N_{0}.[/mm]
>
> und die Rückrichtung BITTE BITTE ein bisschen
> auführlicher...
Zunächst einmal [mm] $\omega\in\Omega$ [/mm] ist ein festes Element der Grundmenge [mm] $\Omega$.
[/mm]
Das Diracmaß [mm] $\varepsilon_{\omega}$ [/mm] ist doch so definiert: für ein $A [mm] \in \mathcal{A}$ [/mm] gilt:
[mm] \varepsilon_{\omega}(A) = \begin{cases} 1, & \omega \in A \\ 0, & \omega \not\in A \end{cases} [/mm]
Mit anderen Worten: Nullmengen bezüglich des Diracmasses [mm] $\varepsilon_{\omega}$ [/mm] sind alle Mengen, die [mm] $\omega$ [/mm] nicht als Element enthalten.
Nimm also an, dass der Maßraum $ [mm] (\Omega, \mathcal{A}, \varepsilon_{\omega}) [/mm] $ vollständig ist. Das heisst, für jede Nullmenge [mm] $N_0\in\mathcal{A}$ [/mm] gilt, dass auch für jede Teilmenge [mm] $N\subseteq N_0$ [/mm] gilt: [mm] $N\in\mathcal{A}$.
[/mm]
Außerdem gilt nach Voraussetzung, dass die Menge [mm] $\{\omega\} \in \mathcal{A}$ [/mm] ist. Was folgt nun daraus, dass [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] ist? Tipp: Komplement
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:52 Mi 12.11.2008 | | Autor: | electraZ |
Danke RainerS für deine Tipps!
das hat mich weiter gebracht..
wünsche dir noch einen schönen Tag ;)
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