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| Aufgabe | | Sei F: V -> V linear mit [mm] F^2 [/mm] = F . Zeigen Sie, dass es Untervektorräume U, W von V gibt mit V = U [mm] \oplus [/mm] W und F(W) = 0, F(u)=u für alle u [mm] \in [/mm] U. |
Hallo,
ich habe bei der Nachbearbeitung bzw. Wiederauffrischung der Linearen Algebra bei oben genannter Aufgabe massive Probleme. Nach einigen Ansätzen hab ich mir eine Musterlösung aus einem Buch geholt, verstehe sie jedoch nicht:
Hierin heißt es: Sei W:= Ker F und [mm] (v_1, [/mm] ..., [mm] v_k) [/mm] eine Basis von W. Wähle U:= Im F.
Wegen [mm] F^2 [/mm] = F und Korollar 1 aus 2.2.4 gilt V = U [mm] \oplus [/mm] W. (es wird hier Bezug auf den Fischer genommen.)
Warum gilt das?
Hierzu habe ich mir ein u [mm] \in [/mm] U [mm] \cap [/mm] W genommen und u:=F(x) für ein x [mm] \in [/mm] V, da x ein Element aus Bild F ist.
Eingesetzt ergibt das dann F(u) = u = 0, da ja u auch ein Element von ker F ist. Also ist der Schnitt von U und W gleich 0 und die Aussage folgt.
Nun hab ich aber folgendes Problem: Ist diese Folgerung überhaupt richtig, und wenn ja, warum beweist der Autor der Lösung kurz darauf noch dass u = F(u) gilt?
Das ergibt für mich keinen Sinn, weil das ja scho für die Überlegung oben notwendig war. Wo hab ich hier meinen Denkfehler, oder was für eine Überlegung hat der Autor bei der Formulierung der obigen Aussage gehabt?
Danke schonmal für eure Hilfe
Verzweifelte Grüße
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> Sei F: V -> V linear mit [mm]F^2[/mm] = F . Zeigen Sie, dass es
> Untervektorräume U, W von V gibt mit V = U [mm]\oplus[/mm] W und
> F(W) = 0, F(u)=u für alle u [mm]\in[/mm] U.
> Hallo,
> ich habe bei der Nachbearbeitung bzw. Wiederauffrischung
> der Linearen Algebra bei oben genannter Aufgabe massive
> Probleme. Nach einigen Ansätzen hab ich mir eine
> Musterlösung aus einem Buch geholt, verstehe sie jedoch
> nicht:
> Hierin heißt es: Sei W:= Ker F und [mm](v_1,[/mm] ..., [mm]v_k)[/mm] eine
> Basis von W. Wähle U:= Im F.
Hallo,
der Autor nimmt sich zwei Unterräume von V, nämlich das Bild und den Kern her, und er plant zu zeigen, daß diese die geforderten Eigenschaften haben.
> Wegen [mm]F^2[/mm] = F und Korollar 1 aus 2.2.4 gilt V = U [mm]\oplus[/mm] W.
> (es wird hier Bezug auf den Fischer genommen.)
> Warum gilt das?
> Hierzu habe ich mir ein u [mm]\in[/mm] U [mm]\cap[/mm] W genommen und u:=F(x)
> für ein x [mm]\in[/mm] V, da x ein Element aus Bild F ist.
> Eingesetzt ergibt das dann F(u) = u = 0, da ja u auch ein
> Element von ker F ist. Also ist der Schnitt von U und W
> gleich 0 und die Aussage folgt.
Nein. Daß der Schnitt nur aus der Null besteht, ist nur ein Teil der Aussage.
Du mußt auch noch zeigen, daß V die Summe aus Kern und Bild ist, daß man also jeden Vektor v aus V schreiben kann als v=k+b mit [mm] k\in [/mm] KernF und [mm] b\in [/mm] Bild F.
> Nun hab ich aber folgendes Problem: Ist diese Folgerung
> überhaupt richtig, und wenn ja, warum beweist der Autor der
> Lösung kurz darauf noch dass u = F(u) gilt?
Weil das im Satz behauptet wird.
> Das ergibt für mich keinen Sinn, weil das ja scho für die
> Überlegung oben notwendig war.
Wenn ich es recht verstehe, hat sich der Autor bei der Begründung der direkten Summe auf einen Satz aus dem Fischer berufen, dem man das direkt entnehmen konnte.
Also muß man die anderen Aussage noch begründen.
Wenn Du Deinen Beweis anders führst, indem Du zunächst F(u)=u zeigst, ist das ja auch in Ordnung.
Gruß v. Angela
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