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| Aufgabe | Sei T: [mm] V\to [/mm] K linear. Sei u [mm] \in [/mm] V,u [mm] \not\in [/mm] ker(T). Zeige:
[mm] V=ker(T)\oplus [/mm] Ku |
Meine Idee ist,dass Ku ist das bild(T),dann kann ich die Dimensionsformel benutzen,und ker(T) [mm] \cap [/mm] bild(T) =0 betrachten.
stimmt das? Und muss ich noch zeigen warum Ku=Bild(T)ist,wenn ja, wie?
Ich freue mich auf ihren Antworten!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei T: [mm]V\toK[/mm] linear. Sei u [mm]\in[/mm] V,u [mm]\not\in[/mm] ker(T). Zeige:
> [mm]V=ker(T)\oplus[/mm] Ku
> Meine Idee ist,dass Ku ist das bild(T)
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
ist die Aufgabenstellung vollständig?
Wenn man zeigen soll, daß V die direkte Summe von Kern(T) und Ku ist, müßte man ja schon wissen, was Ku bedeuten soll.
Wird ja irgendwas mit u zu tun haben.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:17 Fr 22.11.2013 | | Autor: | chloe.liu |
Leider ist das nicht definiert,Ku bedeutet K mal u,mehr hat den Tutor nicht gesagt,deshalb hab ich gedacht,dass Ku ein Bild ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:35 Fr 22.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Leider ist das nicht definiert,Ku bedeutet K mal u,mehr hat
> den Tutor nicht gesagt,deshalb hab ich gedacht,dass Ku ein
> Bild ist.
Hast Du das nicht gelesen
https://matheraum.de/read?i=992331
?
FRED
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:17 Fr 22.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei T: [mm]V\toK[/mm] linear
Aha, da steht T:V [mm] \to [/mm] K,
wobei ich annehme, dass V ein Vektorraum über dem Körper K ist.
> . Sei u [mm]\in[/mm] V,u [mm]\not\in[/mm] ker(T). Zeige:
> [mm]V=ker(T)\oplus[/mm] Ku
Ku soll wohl bedeuten:
[mm] Ku=\{\alpha*u: \alpha \in K \}
[/mm]
> Meine Idee ist,dass Ku ist das bild(T)
Das ist Unsinn, denn Ku [mm] \subseteq [/mm] V und Bild(T)=K
Warum ist Bild(T)=K ?
Darum: Bild(T) [mm] \subseteq [/mm] K und dimBild(T)=1= dim K
> ,dann kann ich die
> Dimensionsformel benutzen,
Das ginge nur, wenn V endlichdimensional wäre.
> und ker(T) [mm]\cap[/mm] bild(T) =0
Auch das ist Unsinn , siehe oben.
> betrachten.
> stimmt das? Und muss ich noch zeigen warum
> Ku=Bild(T)ist,wenn ja, wie?
Siehe oben.
> Ich freue mich auf ihren Antworten!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Zeige zunächst: Kern(T) [mm] \cap Ku=\{0\}
[/mm]
FRED
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Danke zuerst deiner Antwort. Aber ich bin jetzt total verwirrt,wie kann ich zeigen das Kern(T) [mm] \cap [/mm] Ku?
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> Danke zuerst deiner Antwort. Aber ich bin jetzt total
> verwirrt,wie kann ich zeigen das Kern(T) [mm]\cap[/mm] Ku?
Hallo,
???
An [mm] Kern(T)\cap [/mm] Ku gibt's nix zu zeigen. Das ist doch einfach eine Menge.
Fred riet Dir zu zeigen, daß [mm] Kern(T)\cap [/mm] Ku [mm] =\{0\}.
[/mm]
Sei dazu [mm] v\in Kern(T)\cap [/mm] Ku.
==> [mm] v\in [/mm] ... und [mm] v\in [/mm] ...
==> ... und ...
==> ... ... ... ... ... ... ... ==> v=0.
Mach mal!
LG Angela
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Ich habe jetzt so gezeigt:
Sei v [mm] \in [/mm] ker(T) und v [mm] \in [/mm] Ku
[mm] \Rightarrow [/mm] ker(T) = T^-1(0)={v [mm] \in [/mm] V; T(v)=0} und T(a*v)=a*T(v) = a0=0
[mm] \Rightarrow [/mm] v=0
Ich hoffe ich hab richtig gemacht!
Wenn ja,muss ich dann V=ker(T) + Ku zeigen,oder? Ich glaub Ker(T)={0},aber warum Ku=V hab ich wieder keine Idee.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:43 Fr 22.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe jetzt so gezeigt:
> Sei v [mm]\in[/mm] ker(T) und v [mm]\in[/mm] Ku
> [mm]\Rightarrow[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ker(T) = T^-1(0)={v [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
V; T(v)=0} und
> T(a*v)=a*T(v) = a0=0
> [mm]\Rightarrow[/mm] v=0
>
> Ich hoffe ich hab richtig gemacht!
Nein.
Ist v [mm] \in [/mm] kern(T) und v [mm] \in [/mm] Ku, so gilt:
T(v)=0 und v= [mm] \alpha*u [/mm] mit einem [mm] \alpha \in [/mm] K.
Dann ist [mm] 0=T(v)=\alpha*T(u).
[/mm]
Da u [mm] \notin [/mm] kern(T), haben wir T(u) [mm] \ne [/mm] 0, also [mm] \alpha=0. [/mm] Damit ist v=0.
> Wenn ja,muss ich dann V=ker(T) + Ku zeigen,oder?
Ja, das ist noch zu zeigen.
> Ich glaub
> Ker(T)={0},
Das ist Unfug !
> aber warum Ku=V hab ich wieder keine Idee.
FRED
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Um V=ker(T)+Ku zu zeigen,hab ich so gemacht:
[mm] "\Rightarrow" [/mm] v [mm] \in [/mm] V und v [mm] \not\in [/mm] ker(T),folgt Tv [mm] \not= [/mm] 0
da u [mm] \in [/mm] V und u [mm] \not\in [/mm] ker(T),ist Tu [mm] \not=0
[/mm]
Sei [mm] \lambda \in [/mm] K und [mm] \lambda [/mm] u [mm] \in [/mm] Ku,
und weil Tv= [mm] \lambda [/mm] Tu,daraus folgt [mm] Tv-\lambda [/mm] (Tu)=0
[mm] \Rightarrow [/mm] T(v- [mm] \lambda [/mm] u)=0
deshalb [mm] v-\lambda [/mm] u [mm] \in [/mm] ker(T)
[mm] \Rightarrow [/mm] v [mm] \in [/mm] ker(T)+ [mm] \lambda [/mm] u [mm] \in [/mm] ker(T) +Ku
[mm] "\Leftarrow" [/mm] zeige ker(T)+Ku [mm] \in [/mm] V
Ker(T) [mm] \in [/mm] V ist klar.
da u [mm] \in [/mm] V, dann [mm] \lambda [/mm] u [mm] \in [/mm] V [mm] \Rightarrow [/mm] Ku [mm] \in [/mm] V
deshalb ker(T)+Ku [mm] \in [/mm] V
Stimmt das?
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> Um V=ker(T)+Ku zu zeigen,hab ich so gemacht:
> [mm]"\Rightarrow"[/mm] v [mm]\in[/mm] V und v [mm]\not\in[/mm] ker(T),folgt Tv [mm]\not=[/mm]
> 0
> da u [mm]\in[/mm] V und u [mm]\not\in[/mm] ker(T),ist Tu [mm]\not=0[/mm]
> Sei [mm]\lambda \in[/mm] K und [mm]\lambda[/mm] u [mm]\in[/mm] Ku,
> und weil Tv= [mm]\lambda[/mm] Tu,
Hallo,
so, wie Du es hier schreibst, ist nicht zwingend [mm] Tv=\lambda [/mm] Tu, denn Du sagst ja gar nicht, wie das [mm] \lambda [/mm] gemacht ist.
Aber Deine Idee geht schon völlig in die richtige Richtung.
Mithilfe der Funktionswerte von u und v kannst Du Dir ein passendes Element [mm] \lambda [/mm] aus Ku basteln, so daß alles schön funktioniert.
Überlege Dir dazu, welches Vielfache von u denselben Funktionswert hat wie v.
LG Angela
daraus folgt [mm]Tv-\lambda[/mm] (Tu)=0
> [mm]\Rightarrow[/mm] T(v- [mm]\lambda[/mm] u)=0
> deshalb [mm]v-\lambda[/mm] u [mm]\in[/mm] ker(T)
> [mm]\Rightarrow[/mm] v [mm]\in[/mm] ker(T)+ [mm]\lambda[/mm] u [mm]\in[/mm] ker(T)
> +Ku
> [mm]"\Leftarrow"[/mm] zeige ker(T)+Ku [mm]\in[/mm] V
> Ker(T) [mm]\in[/mm] V ist klar.
> da u [mm]\in[/mm] V, dann [mm]\lambda[/mm] u [mm]\in[/mm] V [mm]\Rightarrow[/mm] Ku [mm]\in[/mm] V
> deshalb ker(T)+Ku [mm]\in[/mm] V
>
> Stimmt das?
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> Wenn ja,muss ich dann V=ker(T) + Ku zeigen,oder? Ich glaub
> Ker(T)={0}
Hallo,
der Glaube hilft hier nicht weiter.
Wenn Du V=ker(T) + Ku zeigen möchtest, mußt Du ja zeigen
[mm] V\subseteq [/mm] ker(T) + Ku
und
ker(T) + [mm] Ku\subseteq [/mm] V.
Daß die zweite Aussage gilt, ist klar.
Zeigen wir also [mm] V\subseteq [/mm] ker(T) + Ku:
sei [mm] v\in [/mm] V.
Es gibt nun zwei Möglichkeiten.
a) [mm] v\in [/mm] Kern(T)
==> [mm] v\in [/mm] Kern(T)+Ku und wir können uns freuen.
b) [mm] v\not\in [/mm] Kern(T). Dann ist T(v)=k mit [mm] k\not=0.
[/mm]
Wegen ... ist T(u)=k' mit [mm] k'\not=0.
[/mm]
So, und nun versuche Dir mal v= ...+... so zurechtzubasteln, daß der erste Vektor im Kern ist und der zweite ein Vielfaches von u.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:14 Fr 22.11.2013 | | Autor: | chloe.liu |
https://matheraum.de/read?i=992349
Hier habe ich gezeigt,aber ich bin nicht sicher ob die richtig ist.
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