direkte Summe beweis Kern/Bild < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:07 Mo 08.06.2015 | | Autor: | rsprsp |
| Aufgabe | Es seien V ein K-Vektorraum der Dimension n und ϕ : V → V eine lineare Abbildung. Beweisen oder
widerlegen Sie die folgenden Aussagen:
a) ker(ϕ) + img(ϕ) ist eine direkte Summe.
b) Es gilt ϕ ◦ ϕ = ϕ. Dann ist ker(ϕ) + img(ϕ) eine direkte Summe |
Kann mir jemand erklären was eine direkte Summe ist bzw einfach beim Beweis helfen ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:27 Mo 08.06.2015 | | Autor: | Ladon |
Hallo rsprsp,
![[]](/images/popup.gif) https://lp.uni.-goettingen.de/get/text/826 erklärt, was die direkte Summe ist.
Eigentlich sollte die Definition in deiner Vorlesungsmitschrift stehen.
Die Frage ist nach obigem Link: Ist [mm] Ker(\varphi)\cap Im(\varphi)=\{0\} [/mm] oder nicht?
Falls du das Gefühl hast, die Antwort lautet "Nein", gibt ein Gegenbeispiel an.
Ich denke die Antwort ist offensichtlich.
Grüße
Ladon
EDIT: Korrektur.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 Mo 08.06.2015 | | Autor: | rsprsp |
Ich habe geraten, dass z.B. bei
[mm] \IK^{2} \to \IK^{2}, \vektor{x \\ y} \mapsto \vektor{0 \\ y}
[/mm]
der Schnitt aus Bild und Kern ungleich {0} ist.
Könntest du mir ein bisschen näherbringen wie man, dass jetzt konkret beweisen könnte?
Zu b)
D.h.: f [mm] \circ [/mm] f = f
Sei v ∈ im f ∩ ker f. Dann existiert einerseits ein Urbildvektor u ∈ V mit f(u) = v. Andererseits ist v ∈ ker f, also f(v) = 0. f = f ◦ f liefert dann f ◦ f(u) = f(u) = v = f(f(u))= f(v) = 0
Daher gilt v = 0 und der Schnitt von Bild und Kern ist trivial, im f ∩ ker f = {0}.
Ist das richtig ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:06 Di 09.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe geraten, dass z.B. bei
> [mm]\IK^{2} \to \IK^{2}, \vektor{x \\ y} \mapsto \vektor{0 \\ y}[/mm]
>
> der Schnitt aus Bild und Kern ungleich {0} ist.
Du hast gewaltig daneben gelangt !!!!
>
> Könntest du mir ein bisschen näherbringen wie man, dass
> jetzt konkret beweisen könnte?
>
>
> Zu b)
> D.h.: f [mm]\circ[/mm] f = f
> Sei v ∈ im f ∩ ker f. Dann existiert einerseits ein
> Urbildvektor u ∈ V mit f(u) = v. Andererseits ist v ∈
> ker f, also f(v) = 0. f = f ◦ f liefert dann f ◦ f(u) =
> f(u) = v = f(f(u))= f(v) = 0
> Daher gilt v = 0 und der Schnitt von Bild und Kern ist
> trivial, im f ∩ ker f = {0}.
>
> Ist das richtig ?
ja
fred
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:32 Di 09.06.2015 | | Autor: | rsprsp |
Könntest du mir denn bei dem Gegenbeispiel bzw. Beweis helfen ? Ich finde echt kein Ansatz
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:48 Di 09.06.2015 | | Autor: | fred97 |
[mm] \Phi(\vektor{x \\ y})=\vektor{y \\ 0}
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:57 Di 09.06.2015 | | Autor: | rsprsp |
> [mm]\Phi(\vektor{x \\ y})=\vektor{y \\ 0}[/mm]
>
> FRED
Also bei der lin Abbildung ist der Schnitt aus Kern und Bild ungleich {0}. Könntest du mir das zeigen damit ich das verstehe ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:59 Di 09.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> > [mm]\Phi(\vektor{x \\ y})=\vektor{y \\ 0}[/mm]
> >
> > FRED
>
> Also bei der lin Abbildung ist der Schnitt aus Kern und
> Bild ungleich {0}. Könntest du mir das zeigen damit ich
> das verstehe ?
Berechne Du Kern und Bild von [mm] \Phi [/mm] !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:06 Di 09.06.2015 | | Autor: | rsprsp |
> > > [mm]\Phi(\vektor{x \\ y})=\vektor{y \\ 0}[/mm]
> > >
> > > FRED
> >
> > Also bei der lin Abbildung ist der Schnitt aus Kern und
> > Bild ungleich {0}. Könntest du mir das zeigen damit ich
> > das verstehe ?
>
> Berechne Du Kern und Bild von [mm]\Phi[/mm] !
>
> FRED
>
Im f [mm] (\vektor{y \\ 0}) [/mm] also [mm] \vektor{1 \\ 0}
[/mm]
Kern f [mm] (\vektor{x \\ 0}) [/mm] also [mm] \vektor{1 \\ 0}
[/mm]
Und Im f = Kern f , deswegen ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:34 Di 09.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> > > > [mm]\Phi(\vektor{x \\ y})=\vektor{y \\ 0}[/mm]
> > > >
> > > > FRED
> > >
> > > Also bei der lin Abbildung ist der Schnitt aus Kern und
> > > Bild ungleich {0}. Könntest du mir das zeigen damit ich
> > > das verstehe ?
> >
> > Berechne Du Kern und Bild von [mm]\Phi[/mm] !
> >
> > FRED
> >
>
> Im f [mm](\vektor{y \\ 0})[/mm] also [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm]
> Kern f
> [mm](\vektor{x \\ 0})[/mm] also [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm]
Grausame Notation !
Es ist [mm] Kern(\Phi)=Bild(\Phi)=\{t*\vektor{1 \\ 0}: t \in \IR\}
[/mm]
FRED
>
> Und Im f = Kern f , deswegen ?
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