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| Aufgabe | Beweisen sie folgendes Lemma mit Induktion:
Lemma:
Sind [mm] \lambda_{1},...,\lambda_{r} [/mm] verschiedene Eigenwerte von A in K, dann ist die Summe [mm] U=E_{A}(\lambda_{1})+...+E_{A}(\lambda_{r}) [/mm] direkt. |
Hallöchen,
ich hoffe ihr könnt mir mal wieder bei einem Beweis helfen. Den Anfang habe ich schon gemacht, nur zum Schluss habe ich ein paar Problemchen.
Hintergrundinformationen:
Ist [mm] \lambda\inK [/mm] ein Eigenwert der Matrix A [mm] \in [/mm] Mat(n;K), so nennt man
[mm] E_{A}(\lambda):=\{x \in K^{n}:A*x=\lambda*x\}
[/mm]
den Eigenraum von A zum Eigenwert von [mm] \lamda.
[/mm]
Dieser ist ein von Null verschiedener Unterraum von [mm] K^{n}.
[/mm]
Auch folgende Definition für den Eigenraum ist bekannt:
[mm] E_{A}(\lambda):=\{x \in K^{n}:F(x)=\lambda*x\},
[/mm]
wobei F ein Endomorphismus ist.
Außerdem ist ein Äquivalenzsatz bekannt, nach dem folgendes gilt:
Ist [mm] U=U_{1}+...+U_{r} [/mm] die Summe der Unterräume [mm] U_{1},...,U_{r} [/mm] von V, so ist äquivalent:
Aus [mm] u_{1}+...+u_{r}=0, u_{1} \in U_{1},...,u_{r} \in U_{r}, [/mm] folgt [mm] u_{1}=...=u_{r}=0
[/mm]
Beweis durch Induktion:
Induktionsannahme: n [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] v_{1}+...+v_{n}=0 [/mm] mit [mm] v_{1} \in E_{A}( \lambda_{1}),...,v_{n} \in E_{A}( \lambda_{n}) [/mm] => [mm] v_{1}=...=v_{n}=0
[/mm]
Dabei kann man [mm] v_{1}+...+v_{n}=0 [/mm] schreiben als: [mm] \summe_{i=1}^{n}v_{i}=0
[/mm]
Induktionsanfang: n=1
[mm] v_{1}=0 [/mm] mit [mm] v_{1} \in E_{A}( \lambda{1}) [/mm] => [mm] v_{1}=0
[/mm]
Stimmt also.
Induktionsschritt: n~>n+1
zz: [mm] \summe_{i=1}^{n+1}v_{i}=0 [/mm] mit [mm] v_{1} \in E_{A}( \lambda_{1}),...,v_{n+1} \in E_{A}( \lambda_{n+1}) [/mm] => [mm] v_{1}=...=v_{n+1}=0
[/mm]
Also fängt man an umzuformen:
0 = F(0) = [mm] F(\summe_{i=1}^{n+1}v_{i}) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n+1}F(v_{i}) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n+1} \lambda_{i}v_{i}
[/mm]
Die letzten 2 Umformungen gelten weil für den Eigenraum mit dem Endomorphismus [mm] F(v)=\lambda*v [/mm] gilt.
Soweit hab ich alles verstanden nun kommen wir zu dem problematischen Teil.
Hier weiß ich nun, dass gilt:
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} \lambda_{i} v_{i} [/mm] = 0 und [mm] \summe_{i=1}^{n+1}v_{i} [/mm] = 0
Daraus sollte man angeblich das hier folgern können:
[mm] \summe_{i=1}^{n} (\lambda_{i}-\lambda_{n})v_{i}=0
[/mm]
Das verstehe ich nur leider nicht. Ich denke es wird etwas damit zutun haben, dass der Endomorphismus eine lineare Abbildung ist, jedoch weiß ich nicht genau wie man zu dieser Folgerung kommt. Kann mir da jemand helfen?
Das Ziel danach ist es am Ende zu folgern, dass [mm] v_{n+1}=0 [/mm] ist, da man den Rest ja quasi mit der IA schon hat.
Liebe Grüße
Jana
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:29 Do 08.01.2015 | | Autor: | hippias |
> Beweisen sie folgendes Lemma mit Induktion:
>
> Lemma:
> Sind [mm]\lambda_{1},...,\lambda_{r}[/mm] verschiedene Eigenwerte
> von A in K, dann ist die Summe
> [mm]U=E_{A}(\lambda_{1})+...+E_{A}(\lambda_{r})[/mm] direkt.
> Hallöchen,
>
> ich hoffe ihr könnt mir mal wieder bei einem Beweis
> helfen. Den Anfang habe ich schon gemacht, nur zum Schluss
> habe ich ein paar Problemchen.
>
>
> Hintergrundinformationen:
>
> Ist [mm]\lambda\inK[/mm] ein Eigenwert der Matrix A [mm]\in[/mm] Mat(n;K), so
> nennt man
> [mm]E_{A}(\lambda):=\{x \in K^{n}:A*x=\lambda*x\}[/mm]
> den
> Eigenraum von A zum Eigenwert von [mm]\lamda.[/mm]
> Dieser ist ein von Null verschiedener Unterraum von
> [mm]K^{n}.[/mm]
>
> Auch folgende Definition für den Eigenraum ist bekannt:
> [mm]E_{A}(\lambda):=\{x \in K^{n}:F(x)=\lambda*x\},[/mm]
> wobei F
> ein Endomorphismus ist.
>
> Außerdem ist ein Äquivalenzsatz bekannt, nach dem
> folgendes gilt:
> Ist [mm]U=U_{1}+...+U_{r}[/mm] die Summe der Unterräume
> [mm]U_{1},...,U_{r}[/mm] von V, so ist äquivalent:
> Aus [mm]u_{1}+...+u_{r}=0, u_{1} \in U_{1},...,u_{r} \in U_{r},[/mm]
> folgt [mm]u_{1}=...=u_{r}=0[/mm]
>
>
> Beweis durch Induktion:
>
> Induktionsannahme: n [mm]\in \IN[/mm]
> [mm]v_{1}+...+v_{n}=0[/mm] mit [mm]v_{1} \in E_{A}( \lambda_{1}),...,v_{n} \in E_{A}( \lambda_{n})[/mm]
> => [mm]v_{1}=...=v_{n}=0[/mm]
>
> Dabei kann man [mm]v_{1}+...+v_{n}=0[/mm] schreiben als:
> [mm]\summe_{i=1}^{n}v_{i}=0[/mm]
>
> Induktionsanfang: n=1
> [mm]v_{1}=0[/mm] mit [mm]v_{1} \in E_{A}( \lambda{1})[/mm] => [mm]v_{1}=0[/mm]
> Stimmt also.
>
> Induktionsschritt: n~>n+1
> zz: [mm]\summe_{i=1}^{n+1}v_{i}=0[/mm] mit [mm]v_{1} \in E_{A}( \lambda_{1}),...,v_{n+1} \in E_{A}( \lambda_{n+1})[/mm]
> => [mm]v_{1}=...=v_{n+1}=0[/mm]
>
> Also fängt man an umzuformen:
> 0 = F(0) = [mm]F(\summe_{i=1}^{n+1}v_{i})[/mm] =
> [mm]\summe_{i=1}^{n+1}F(v_{i})[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n+1} \lambda_{i}v_{i}[/mm]
>
> Die letzten 2 Umformungen gelten weil für den Eigenraum
> mit dem Endomorphismus [mm]F(v)=\lambda*v[/mm] gilt.
>
>
> Soweit hab ich alles verstanden nun kommen wir zu dem
> problematischen Teil.
> Hier weiß ich nun, dass gilt:
> [mm]\summe_{i=1}^{n+1} \lambda_{i} v_{i}[/mm] = 0 und
> [mm]\summe_{i=1}^{n+1}v_{i}[/mm] = 0
> Daraus sollte man angeblich das hier folgern können:
> [mm]\summe_{i=1}^{n} (\lambda_{i}-\lambda_{n})v_{i}=0[/mm]
>
> Das verstehe ich nur leider nicht. Ich denke es wird etwas
> damit zutun haben, dass der Endomorphismus eine lineare
> Abbildung ist, jedoch weiß ich nicht genau wie man zu
> dieser Folgerung kommt. Kann mir da jemand helfen?
Du hast zwei Gleichungen. Um die Induktionsvoraussetzung anwenden zu koennen, wurde [mm] $v_{n+1}$ [/mm] eliminiert.
>
> Das Ziel danach ist es am Ende zu folgern, dass [mm]v_{n+1}=0[/mm]
> ist, da man den Rest ja quasi mit der IA schon hat.
>
> Liebe Grüße
> Jana
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> > Hier weiß ich nun, dass gilt:
> > [mm]\summe_{i=1}^{n+1} \lambda_{i} v_{i}[/mm] = 0 und
> > [mm]\summe_{i=1}^{n+1}v_{i}[/mm] = 0
> > Daraus sollte man angeblich das hier folgern können:
> > [mm]\summe_{i=1}^{n} (\lambda_{i}-\lambda_{n})v_{i}=0[/mm]
> >
> > Das verstehe ich nur leider nicht. Ich denke es wird etwas
> > damit zutun haben, dass der Endomorphismus eine lineare
> > Abbildung ist, jedoch weiß ich nicht genau wie man zu
> > dieser Folgerung kommt. Kann mir da jemand helfen?
> Du hast zwei Gleichungen. Um die Induktionsvoraussetzung
> anwenden zu koennen, wurde [mm]v_{n+1}[/mm] eliminiert.
Mh ja, dass ich das eliminieren muss um die Voraussetzung zu verwenden, ist ja nicht die Frage, sondern wie ich es eliminiere um auf diese Umformung zu kommen.
0 = [mm] \summe_{i=1}^{n+1} \lambda_{i} v_{i} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} \lambda_{i} v_{i} [/mm] + [mm] \lambda_{n+1} v_{n+1}
[/mm]
und
0 = [mm] \summe_{i=1}^{n+1} v_{i} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} v_{i} [/mm] + [mm] v_{n+1}
[/mm]
würden sich dann ja anbieten
Da beide gleich Null sind, könnte man die Summen auch gleichsetzen, aber egal was ich umforme und mache ich komme niemals auf irgendetwas mit [mm] (\lambda_{i}-\lambda_{n}).
[/mm]
Die Voraussetzung wird ja erst in dem Schritt danach benutzt.
Also kannst du mir vielleicht rechnerisch helfen auf [mm] \summe_{i=1}^{n} (\lambda_{i}-\lambda_{n})v_{i}=0 [/mm] zu kommen?
Liebe Grüße :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:15 Mo 12.01.2015 | | Autor: | hippias |
> Da beide gleich Null sind, könnte man die Summen auch
> gleichsetzen, aber egal was ich umforme und mache ich komme
> niemals auf irgendetwas mit [mm](\lambda_{i}-\lambda_{n}).[/mm]
Durch Gleichsetzen kannst Du doch niemals [mm] $v_{n+1}$ [/mm] eliminieren. Es ist doch $0= [mm] \sum_{i=1}^{n} (\lambda_{i}-\lambda_{n+1})v_{i}= \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}v_{i}-\lambda_{n+1}\sum_{i=1}^{n} v_{i}= \sum_{i=1}^{n+1} \lambda_{i}v_{i}-\lambda_{n+1}\sum_{i=1}^{n+1} v_{i}$.
[/mm]
>
> Die Voraussetzung wird ja erst in dem Schritt danach
> benutzt.
> Also kannst du mir vielleicht rechnerisch helfen auf
> [mm]\summe_{i=1}^{n} (\lambda_{i}-\lambda_{n})v_{i}=0[/mm] zu
> kommen?
>
> Liebe Grüße :)
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> > Da beide gleich Null sind, könnte man die Summen auch
> > gleichsetzen, aber egal was ich umforme und mache ich komme
> > niemals auf irgendetwas mit [mm](\lambda_{i}-\lambda_{n}).[/mm]
> Durch Gleichsetzen kannst Du doch niemals [mm]v_{n+1}[/mm]
> eliminieren. Es ist doch [mm]0= \sum_{i=1}^{n} (\lambda_{i}-\lambda_{n+1})v_{i}= \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}v_{i}-\lambda_{n+1}\sum_{i=1}^{n} v_{i}= \sum_{i=1}^{n+1} \lambda_{i}v_{i}-\lambda_{n+1}\sum_{i=1}^{n+1} v_{i}[/mm].
>
> >
> > Die Voraussetzung wird ja erst in dem Schritt danach
> > benutzt.
> > Also kannst du mir vielleicht rechnerisch helfen auf
> > [mm]\summe_{i=1}^{n} (\lambda_{i}-\lambda_{n})v_{i}=0[/mm] zu
> > kommen?
> >
> > Liebe Grüße :)
>
Irgendwie versteh ich deine Antwort nicht.
Das durch Gleichsetzen nichts rauskommt, war mir bewusst, deswegen habe ich ja hier gefragt, WIE du es denn sonst eliminierst.
Beziehungsweise, wie man von den zwei Summen, die man hat auf die neue Summe kommt.
Kannst du nicht einmal von den beiden Summen ausgehen, die ich gegeben habe und dann rechnerisch bzw. durch Argumente auf die 3. Summe zu der ich hinwill kommen?
Also gegeben:
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} v_{i} [/mm] = 0
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} \lambda_{i} v_{i} [/mm] = 0
Und ich will darauf hinaus:
0= [mm] \sum_{i=1}^{n} (\lambda_{i}-\lambda_{n})v_{i}
[/mm]
Dabei ist es aber NICHT [mm] \lambda_{n+1} [/mm] sondern [mm] \lambda_{n}
[/mm]
Ich weiß weder was du mir damit zeigen willst, noch habe ich eine Antwort auf meine Frage erhalten..
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> Also gegeben:
> [mm]\summe_{i=1}^{n+1} v_{i}[/mm] = 0
> [mm]\summe_{i=1}^{n+1} \lambda_{i} v_{i}[/mm] = 0
>
> Und ich will darauf hinaus:
> 0= [mm]\sum_{i=1}^{n} (\lambda_{i}-\lambda_{n})v_{i}[/mm]
> Dabei
> ist es aber NICHT [mm]\lambda_{n+1}[/mm] sondern [mm]\lambda_{n}[/mm]
Hallo,
Du solltest in Erwägung ziehen, daß die Dir vorliegende Lösung einen Fehler enthält...
Aus den beiden Gleichungen folgt
0= [mm]\sum_{i=1}^{n} (\lambda_{i}-\lambda_{n+1})v_{i}[/mm].
Jetzt versuche doch einfach mal, hiermit die Sache zu einem guten Ende zu führen.
LG Angela
>
> Ich weiß weder was du mir damit zeigen willst, noch habe
> ich eine Antwort auf meine Frage erhalten..
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:25 Di 13.01.2015 | | Autor: | hippias |
Meine Antwort, denn als solche moechte ich meinen Text tatsaechlich verstanden wissen, zeigt Dir, dass Du von der Gleichung [mm] $0=\sum_{i} \lambda_{i} v_{i}$ [/mm] das [mm] $\lambda_{n+1}$-fache [/mm] der Gleichung $0= [mm] \sum_{i} v_{i}$ [/mm] subrahieren kannst, um [mm] $v_{n+1}$ [/mm] zu eliminieren.
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Okay, dann hab ich es jetzt soweit verstanden.
Dann weiß ich jetzt, dass diese drei Gleichungen gelten:
(1) [mm] \summe_{i=1}^{n+1} v_{i}=0
[/mm]
(2) [mm] \summe_{i=1}^{n+1} \lambda_{i} v_{i}=0
[/mm]
(3) [mm] \summe_{i=1}^{n} (\lambda_{i}-\lambda_{n+1} v_{i}=0
[/mm]
Und meine Induktionsannahme war:
[mm] \summe_{i=1}^{n} v_{i}=0 [/mm] => [mm] v_{1}=...=v_{n}=0
[/mm]
Also folgt nach der Annahme aus (3) [mm] (\lambda_{i}-\lambda_{n+1}) v_{i}=0 [/mm] für alle 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n, dass [mm] v_{i}=0 [/mm] für alle 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n gilt.
Und das kann man dann für die Gleichung (1) benutzen:
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} v_{i}=0 [/mm] <=> [mm] \summe_{i=1}^{n} v_{i} [/mm] + [mm] v_{n+1}=0 [/mm] => [mm] v_{n+1}=0, [/mm] da [mm] v_{i}=0 [/mm] für alle 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n gilt.
Stimmt der Rest dann soweit?
Und danke für die Hilfe.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:36 Do 15.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Okay, dann hab ich es jetzt soweit verstanden.
>
> Dann weiß ich jetzt, dass diese drei Gleichungen gelten:
>
> (1) [mm]\summe_{i=1}^{n+1} v_{i}=0[/mm]
> (2) [mm]\summe_{i=1}^{n+1} \lambda_{i} v_{i}=0[/mm]
>
> (3) [mm]\summe_{i=1}^{n} (\lambda_{i}-\lambda_{n+1} v_{i}=0[/mm]
>
> Und meine Induktionsannahme war:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} v_{i}=0[/mm] => [mm]v_{1}=...=v_{n}=0[/mm]
>
> Also folgt nach der Annahme aus (3)
> [mm](\lambda_{i}-\lambda_{n+1}) v_{i}=0[/mm] für alle 1 [mm]\le[/mm] i [mm]\le[/mm]
> n, dass [mm]v_{i}=0[/mm] für alle 1 [mm]\le[/mm] i [mm]\le[/mm] n gilt.
>
> Und das kann man dann für die Gleichung (1) benutzen:
> [mm]\summe_{i=1}^{n+1} v_{i}=0[/mm] <=> [mm]\summe_{i=1}^{n} v_{i}[/mm] +
> [mm]v_{n+1}=0[/mm] => [mm]v_{n+1}=0,[/mm] da [mm]v_{i}=0[/mm] für alle 1 [mm]\le[/mm] i [mm]\le[/mm] n
> gilt.
>
> Stimmt der Rest dann soweit?
Ja
FRED
> Und danke für die Hilfe.
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