diskrete Fouriertransformation < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
| |
|
Hallo Bastiane,
sicherlich ist da mindestens ein i versehentlich in die Formel gerutscht, oder ?
> [mm](\overline{F_Nf})_k=\overline{\summe_{j=0}^{N-1}(\cos(-2\pi i\bruch{jk}{N})+i\sin(-2\pi i\bruch{jk}{N}))f_j}[/mm]
> = [mm]\summe_{j=0}^{N-1}(\cos(-2\pi i\bruch{jk}{N})-i\sin(-2\pi i\bruch{jk}{N}))f_j[/mm]
>
>
> Aber was ist denn dann [mm](F_N\overline{f})_{N-k}?[/mm]
>
Das wäre dann anstatt k also N-k in die Formel eingesetzt.
Ich würd aber nicht so schnell mit so riesigen Formelwusten anfangen, solange noch Hoffnung ist. Nehmen wir doch mal die von Dir
ausgegrabene Definition der DFT und wenden sie auf [mm] f=(f_0,\ldots [/mm] , [mm] f_{N-1})\in\IC^N [/mm] an:
(Der Strich oben drüber bedeutet dann immer komponentenweise konjugiert komplex.)
Zzg: [mm] \overline{\hat{f}_k}=(\hat{\overline{f}})_{N-k}, \:\: 0\leq k\leq [/mm] N-1,
d.h. zu zeigen ist:
[mm] \overline{\sum_{j=0}^{N-1} \omega^{j\cdot k}\cdot f_j}\:\: =\:\: \sum_{j=0}^{N-1}\omega^{j(N-k)}\cdot \overline{f_j}
[/mm]
Rechnen wir die linke Seite weiter aus, so ist also (mit der Rechenregel [mm] \overline{a+b}=\overline{a}+\overline{b} [/mm] und [mm] \overline{a\cdot b}=\overline{a}\cdot \overline{b}
[/mm]
für [mm] a,b\in\IC [/mm] ) zu zeigen:
[mm] \sum_{j=0}^{N-1}\overline{\omega^{j\cdot k}}\cdot \overline{f_j}\:\: =\:\: \sum_{j=0}^{N-1}\omega^{j(N-k)}\cdot \overline{f_j}
[/mm]
Es reicht also zu zeigen:
[mm] \overline{\omega^{j\cdot k}}\:\: =\:\: \omega^{j(N-k)}\quad\quad (j=0,\ldots [/mm] N-1)
Das sollte dann hoffentlich mit der Def. der prim. N-ten Einheitswurzel gehen. Good luck !!!
Lieben Gruss,
Mathias
> Ich schätze, wenn ich das verstehe, ist Teil a) vielleicht
> gar nicht so schwierig? Aber irgendwie blicke ich da nicht
> so ganz durch...
>
> Viele Grüße
> Bastiane
> ![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
>
|
|
|
|
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Diese hier?
