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| Aufgabe | Eine Menge D [mm] \subset \IR [/mm] heißt diskret, falls ein [mm] \delta [/mm] > 0 existiert, dass |x-y| [mm] \ge \delta [/mm] für x,y [mm] \in [/mm] D, x [mm] \not= [/mm] y.
Zeigen Sie: Ist D [mm] \not= \emptyset [/mm] diskret nach oben (bzw. nach unten) beschränkt, so existiert max D (bzw. min D). |
Ich weiß nicht, wie ich das zeigen soll.
Kann mit bitte jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:42 Fr 05.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Eine Menge D [mm]\subset \IR[/mm] heißt diskret, falls ein [mm]\delta[/mm] >
> 0 existiert, dass |x-y| [mm]\ge \delta[/mm] für x,y [mm]\in[/mm] D, x [mm]\not=[/mm]
> y.
> Zeigen Sie: Ist D [mm]\not= \emptyset[/mm] diskret nach oben (bzw.
> nach unten) beschränkt, so existiert max D (bzw. min D).
> Ich weiß nicht, wie ich das zeigen soll.
> Kann mit bitte jemand helfen?
Du kannst sicher so anfangen:
Sei [mm] $S:=\sup [/mm] D$ (existiert, weil $D [mm] \not=\emptyset$ [/mm] nach oben beschränkt ist). Dann existiert eine Folge [mm] $(d_n)_{n \in \IN}$ [/mm] in $D$ mit [mm] $d_n \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} S\,.$
[/mm]
Jetzt beachte, dass [mm] $(d_n)_{n \in \IN}$ [/mm] als (in [mm] $\IR$) [/mm] konvergente Folge insbesondere eine Cauchyfolge ist. Daraus sollte sich erschließen lassen (weil $D$ diskret ist!), dass dann [mm] d_n [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ mit einem genügend großen $N [mm] \in \IN$ [/mm] konstant ist (d.h. [mm] $d_{n+1}=d_n$ [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] N$). Überlege Dir, dass, weil [mm] $d_n \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} [/mm] S$, dann [mm] $S=d_N \in [/mm] D$ gelten muss. Fertig.
P.S.:
Alternativ:
Wieder sei [mm] $S:=\sup D\,.$ [/mm] Betrachte $f: [mm] (-\infty,S] \cap [/mm] D [mm] \to \IR$ [/mm] mit $f(x):=S-x$ ($x [mm] \in (-\infty,S] \cap [/mm] D$).
Für jedes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ist [mm] $[S-\varepsilon,S] \cap [/mm] D$ nichtleer (Warum?) und kompakt (Warum?). Zudem gilt per Definition von $f$:
$$f(x) [mm] \ge 0\;\;\; [/mm] (x [mm] \in [S-\varepsilon,S] \cap D)\,.$$
[/mm]
Zeige, dass nicht $f(x) > 0$ auf [mm] $[S-\varepsilon, [/mm] S] [mm] \cap [/mm] D$ gelten kann. (Mit einem genügend kleinen [mm] $\varepsilon$ [/mm] sollte man sonst den Widerspruch erhalten, dass $S$ nicht das Supremum von $D$ wäre; hier sollte eingehen, dass $D$ diskret ist; ein [mm] $\varepsilon$, [/mm] welches einen solchen Widerspruch erzeugt, sollte also von [mm] $\delta$ [/mm] abhängen!).
Denn dann ist die Konsequenz, dass (für jedes) [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ dann ein [mm] $\xi \in [S-\varepsilon,S] \cap [/mm] D$ existiert mit [mm] $f(\xi)=0$. [/mm] Dieses [mm] $\xi$ [/mm] ist dann konkret gerade $S$ und damit gilt dann $S [mm] \in [S-\varepsilon,S] \cap [/mm] D$, also insbesondere $S [mm] \in D\,.$
[/mm]
P.P.S.:
Überleg' Dir vll. auch mal, ob sich der zweite Ansatz (stetige Funktionen auf kompakten Mengen nehmen ihr Maximum; Minimum an) vll. nicht vereinfachen läßt. Irgendwie erscheint es mir so, als wenn ich da was doppelt gemoppelt habe... Ist aber auch schon etwas spät 
Vergessen wir das oben mal, und jetzt eine bessere Alternative:
Wir nehmen nun irgendeinen eine Punkt [mm] $d_0 \in [/mm] D$ her. Wieder sei [mm] $S:=\sup D\,.$ [/mm] Nun definiere
[mm] $$f(x):=x-d_0 \text{ für alle }x \in [d_0,S] \cap D\,.$$
[/mm]
Die Funktion $f$ ist stetig auf [mm] $[d_0,S] \cap [/mm] D$. Ferner ist [mm] $[d_0,S] \cap [/mm] D$ ist nichtleer (Warum?), kompakt (Warum?) und daher nimmt [mm] $\,f\,$ [/mm] auf [mm] $[d_0,S]$ [/mm] ihr Maximum an. Nimm' an, dies' geschähe nicht an der Stelle $S$, und folgere dann, dass dann aber $S$ nicht das Supremum von $D$ wäre...
Müßte jedenfalls auch klappen...
Gruß,
Marcel
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Muss ich das mit nach oben bzw. unten beschränt nur anhand der Definitionen der Beschränktheit erklären?
Ich weiß nämlich nicht wie ich das mit einem Beweis zeigen soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:46 Sa 06.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Muss ich das mit nach oben bzw. unten beschränt nur anhand
> der Definitionen der Beschränktheit erklären?
wie meinst Du das? $D$ ist nach Voraussetzung nicht leer und nach oben beschränkt, und nach Voraussetzung gilt auch $D [mm] \subset \IR$. [/mm] Dass [mm] $S=\sup [/mm] D [mm] \in \IR$ [/mm] existiert, folgt dann aus dem ![[]](/images/popup.gif) Vollständigkeitsaxiom:
Jede nichtleere nach oben beschränkte Menge besitzt ein Supremum.
> Ich weiß nämlich nicht wie ich das mit einem Beweis zeigen
> soll.
Da die Voraussetzungen des Vollständigkeitsaxioms erfüllt sind, wird an der Stelle, wo ich [mm] $S:=\sup [/mm] D$ definiere, nichts anderes gemacht, als dieses anzuwenden. Ich hoffe mal, ihr kennt das Vollständigkeitsaxiom (VA); andererseits würde es mich wundern, würdet ihr es nicht kennen, wo doch gerade in dieser Aufgabe die Voraussetzungen geradewegs der Wink mit dem Zaunpfahl zum VA sind...
Gruß,
Marcel
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