diskrete wahrscheinlichkeitsrä < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:02 So 04.11.2007 | | Autor: | trixi86 |
| Aufgabe | In einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum [mm] (\Omega; \mathcal{P}) [/mm] sei eine Folge von Ereignissen [mm] A_{1};A_{2}; [/mm] ....mit
[mm] \mathcal{P}(A_{n)} \ge 1-\bruch{1}{2^{n+1}} [/mm] ; n = 1; 2; : : : gegeben.
Zeigen Sie: [mm] \mathcal{P}( \bigcap_{n=1}^{\infty}A_{n)})\ge \bruch{1}{2} [/mm] |
Ich habe nun versucht das ganze mit hilfe von vollständiger induktion zu zeigen. mein ansatz hierbei war
für n=1 : [mm] \mathcal{P}(A_{1})\ge 1-\bruch{1}{2^{2}}=\bruch{3}{4}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] für n=1 ist [mm] \mathcal{P}(A_{1}) =\bruch{3}{4}\ge \bruch{1}{2}
[/mm]
für n=2 : [mm] \mathcal{P}(A_{1}) =\bruch{3}{4}
[/mm]
[mm] \mathcal{P}(A_{2}) \ge 1-\bruch{1}{2^{3}} =\bruch{7}{8}
[/mm]
[mm] \mathcal{P}( \bigcap_{n=1}^{2}A_{n}) =\mathcal{P}(A_{1}\cap A_{2}) [/mm] = [mm] \mathcal{P}( A_{1}) +\mathcal{P}( A_{2})= \bruch{3}{4}+\bruch{7}{8} \ge \bruch{1}{2}
[/mm]
jetzt hab ich nur das problem dass ich nicht weis wie ich den induktionsschritt ansetzen soll. d.h wie ich es formal richtig aufschreibe und nicht nur an beispielen ausrechne.
vielen dank für eure hilfe
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Also ganz sicher gilt nicht
[mm]\mathcal{P}(A_{1}\cap A_{2}) = \mathcal{P}( A_{1}) +\mathcal{P}( A_{2})[/mm]
sondern
[mm]\mathcal{P}(A_{1}\cup A_{2}) + \mathcal{P}(A_{1}\cap A_{2}) = \mathcal{P}( A_{1}) +\mathcal{P}( A_{2})[/mm]
und
[mm]\mathcal{P}(A_{1}\cup A_{2}) \le 1[/mm]
Das sollte als Induktionsvoraussetzung genügen und man kann auch den Induktionsschritt daraus gewinnen...
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