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Forum "Integrationstheorie" - doppelte partielle Integration
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doppelte partielle Integration: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:17 Sa 18.08.2007
Autor: Grendel

Aufgabe
[mm] \integral_{0}^{2}{(2x^2 + 3x)e^{-2x} dx} [/mm]

Berechnen Sie das Integral mit doppelter partieller Integration und den Mittelwert.

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.

Mein wackeliger Lösungsversuch:
[mm] \integral_{0}^{2}{(2x^2 + 3x)e^{-2x} dx} [/mm] =
[mm] [(\bruch{2}{3}x^3 [/mm] + [mm] \bruch{3}{2}x^2)-\bruch{1}{2}e^{-2x}] [/mm] = 11,82

Das Ergebnis ist falsch. Es sollte - laut Taschenrechner - 1,06 rauskommen.

Ich weiss auch nicht, was mit partieller Integration und Mittelwert gemeint ist. Also steh ich hier gerade ziemlich auf dem Schlauch.

        
Bezug
doppelte partielle Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:40 Sa 18.08.2007
Autor: M.Rex

Hallo.



$ [mm] \integral_{0}^{2}{\underbrace{(2x²+3x)}_{u}\underbrace{e^{-2x}}_{v'} dx} [/mm] $
[mm] =\left[\underbrace{(2x²+3x)}_{u}\underbrace{\bruch{1}{2}e^{-2x}}_{v}\right]_{0}^{2}-\integral_{0}^{2}\underbrace{(4x+3)}_{u'}\underbrace{\bruch{1}{2}e^{-2x}}_{v} [/mm]

Und das hintere Integral musst du jetzt nochmal per Partieller Integration lösen. Dann bekommst du wieder einen Teil ohne Integral und ein Integral, das du dann aber lösen kannst. (der Form: [mm] \integral{ae^{-2x}}dx), [/mm] hierbei kannst du die Konstante "herausziehen", und dann das Integral lösen.

Marius

Bezug
                
Bezug
doppelte partielle Integration: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:35 Mo 20.08.2007
Autor: Grendel

Vielen Dank erstmal für Deine Antwort. Jetzt befinde ich mich jedenfalls wieder auf dem richtigen Pfad. Leider bekomme ich immernoch nicht das richtige Ergebnis raus.

Mein Lösungsversuch:

[mm] \integral_{0}^{2}{(2x^2+3x)e^{-2x} dx} [/mm] =
[mm] \left[(2x^2+3x)(-\bruch{1}{2})e^{-2x}\right]_{0}^{2} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{2}{(4x+3)(-\bruch{1}{2})e^{-2x} dx} [/mm] =
[mm] \left[(2x^2+3x)(-\bruch{1}{2})e^{-2x}\right]_{0}^{2} [/mm] - [mm] \left[(4x+3)\bruch{1}{4}e^{-2x}\right]_{0}^{2} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{2}{4*\bruch{1}{4}e^{-2x} dx} [/mm] =
[mm] \left[(2x^2+3x)(-\bruch{1}{2})e^{-2x}\right]_{0}^{2} [/mm] - [mm] \left[(4x+3)\bruch{1}{4}e^{-2x}\right]_{0}^{2} [/mm] - [mm] \left[-\bruch{1}{2}e^{-2x}\right]_{0}^{2} [/mm] =
[mm] \left[(2x^2+3x)(-\bruch{1}{2})e^{-2x} - (4x+3)\bruch{1}{4}e^{-2x} + \bruch{1}{2}e^{-2x}\right]_{0}^{2} [/mm] =
[mm] (8+6)(-\bruch{1}{2})e^{-4} [/mm] - [mm] (8+3)\bruch{1}{4}e^{-4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}e^{-4} [/mm] - (0 - [mm] \bruch{3}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}) [/mm] = 0,08

Wie gesagt, mein Taschenrechner spuckt mir immer 1,06 aus. Also muss das Ergebnis falsch sein. Habe ich vielleicht Vorzeichenfehler drin?

Bezug
                        
Bezug
doppelte partielle Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:50 Mo 20.08.2007
Autor: rainerS

Hallo,

du hast in der Tat einen Vorzeichenfehler:

> [mm]\integral_{0}^{2}{(2x^2+3x)e^{-2x} dx} = [/mm]
> [mm]\left[(2x^2+3x)(-\bruch{1}{2})e^{-2x}\right]_{0}^{2} - \integral_{0}^{2}{(4x+3)(-\bruch{1}{2})e^{-2x} dx}[/mm] =
>  [mm]\left[(2x^2+3x)(-\bruch{1}{2})e^{-2x}\right]_{0}^{2} - \red{\left(}\left[(4x+3)\bruch{1}{4}e^{-2x}\right]_{0}^{2} - \integral_{0}^{2}{4*\bruch{1}{4}e^{-2x} dx}\red{\right)}[/mm] =
>  [mm]\left[(2x^2+3x)(-\bruch{1}{2})e^{-2x}\right]_{0}^{2} - \left[(4x+3)\bruch{1}{4}e^{-2x}\right]_{0}^{2} \red{+} \left[-\bruch{1}{2}e^{-2x}\right]_{0}^{2}[/mm]

Grüße
   Rainer

Bezug
                                
Bezug
doppelte partielle Integration: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:58 Mo 20.08.2007
Autor: Grendel

Peng! ... und das Ergebnis ist richtig. Vielen Dank!!

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