drehwinkel < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:20 Di 10.05.2011 | | Autor: | susi111 |
| Aufgabe | | zu einer bestimmten drehung um den koordinatenursprung gehört die abbildungsmatrix [mm] T=0,5*\pmat{ \wurzel{3}& -1 \\ 1 & \wurzel{3} }. [/mm] bestimme den drehwinkel [mm] \alpha. [/mm] |
hallo,
ich finde irgendwie noch nicht mal den ansatz zu dieser aufgabe. könnt mir ihr bitte helfen?
danke, gruß susi
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Hallo susi,
wie werden denn Drehmatrizen angewendet?
Nimm einen beliebigen Vektor (z.B. [mm] \vektor{1\\0}), [/mm] wende die Drehmatrix auf ihn an und schau, was herauskommt. Mit dem Ergebnis kannst Du auch den Drehwinkel bestimmen.
Musst Du noch zeigen, dass jeder Vektor in die gleiche Richtung und um den gleichen Winkel gedreht wird?
Bei einem Blick auf die Matrix samt ihrem skalaren Vorfaktor sollten Dir die Werte [mm] \tfrac{1}{2} [/mm] und [mm] \tfrac{1}{2}\wurzel{3} [/mm] auffallen. Die Drehung wird also sicher um ein Vielfaches von 30° erfolgen.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:39 Di 10.05.2011 | | Autor: | susi111 |
> Hallo susi,
>
> wie werden denn Drehmatrizen angewendet?
>
> Nimm einen beliebigen Vektor (z.B. [mm]\vektor{1\\0}),[/mm] wende
> die Drehmatrix auf ihn an und schau, was herauskommt. Mit
> dem Ergebnis kannst Du auch den Drehwinkel bestimmen.
okay, wenn ich jetzt [mm] P\vektor{1\\ 0} [/mm] nehme, dann kommt heraus:
[mm] \pmat{ 0,866& -0,5 \\ 0,5 & 0,866}*\vektor{1\\ 0}=\vektor{0,866\\ 0,5}
[/mm]
wie soll ich jetzt mit diesem ergebnis den drehwinkel bestimmen?
ich könnte cos^-1{0,866} nehmen, dann würde 30° herauskommen, aber wieso ich 0,866 und nicht 0,5 nehmen soll, wüsste ich nicht... und ich weiß auch gar nicht, ob das so richtig wäre..
> Musst Du noch zeigen, dass jeder Vektor in die gleiche
> Richtung und um den gleichen Winkel gedreht wird?
nein, dass muss ich nicht.^^
> Bei einem Blick auf die Matrix samt ihrem skalaren
> Vorfaktor sollten Dir die Werte [mm]\tfrac{1}{2}[/mm] und
> [mm]\tfrac{1}{2}\wurzel{3}[/mm] auffallen. Die Drehung wird also
> sicher um ein Vielfaches von 30° erfolgen.
>
> Grüße
> reverend
>
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Hallo nochmal,
fast gut.
> okay, wenn ich jetzt [mm]P\vektor{1\\
0}[/mm] nehme, dann kommt
> heraus:
>
> [mm]\pmat{ 0,866& -0,5 \\
2 & 0,5}*\vektor{1\\
0}=\vektor{0,866\\
0,5}[/mm]
Hm. Du hast die Matrix zwar korrigiert, aber richtig ist sie so noch nicht. Dafür stimmt das Ergebnis.
> wie soll ich jetzt mit diesem ergebnis den drehwinkel
> bestimmen?
>
> ich könnte cos^-1{0,866} nehmen, dann würde 30°
> herauskommen, aber wieso ich 0,866 und nicht 0,5 nehmen
> soll, wüsste ich nicht... und ich weiß auch gar nicht, ob
> das so richtig wäre..
Doch, das stimmt. Du kannst entweder [mm] \arccos{\left(\bruch{1}{2}\wurzel{3}\right)} [/mm] oder [mm] \arcsin{\left(\bruch{1}{2}\right)} [/mm] ermitteln, das Ergebnis bleibt gleich: eine Drehung um 30° nach links.
> > Musst Du noch zeigen, dass jeder Vektor in die gleiche
> > Richtung und um den gleichen Winkel gedreht wird?
>
> nein, dass muss ich nicht.^^
Naja... Der gewählte Vektor ist zwar bequem für die Ermittlung, hat aber einen wesentlichen Nachteil: die rechte Spalte der Matrix könnte irgendwas beinhalten; sie wird hier ja gar nicht benötigt. Es empfiehlt sich also doch noch ein Text mit z.B. [mm] \vektor{0\\1}, [/mm] oder zumindest die Überprüfung der Drehmatrix auf Plausibilität. Welche Bedingung muss sie nämlich erfüllen?
(Dein erstes Ergebnis hätte dieser Bedingung übrigens widersprochen!)
Gruß
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:13 Di 10.05.2011 | | Autor: | susi111 |
> Hallo nochmal,
>
> fast gut.
>
> > okay, wenn ich jetzt [mm]P\vektor{1\\
0}[/mm] nehme, dann kommt
> > heraus:
> >
> > [mm]\pmat{ 0,866& -0,5 \\
2 & 0,5}*\vektor{1\\
0}=\vektor{0,866\\
0,5}[/mm]
ich hatte sie falsch abgetippt.^^ die richtige matrix ist:
[mm] \pmat{ 0,866& -0,5 \\
0,5 & 0,866}*\vektor{1\\
0}=\vektor{0,866\\
0,5}
[/mm]
>
> Hm. Du hast die Matrix zwar korrigiert, aber richtig ist
> sie so noch nicht. Dafür stimmt das Ergebnis.
>
> > wie soll ich jetzt mit diesem ergebnis den drehwinkel
> > bestimmen?
> >
> > ich könnte cos^-1{0,866} nehmen, dann würde 30°
> > herauskommen, aber wieso ich 0,866 und nicht 0,5 nehmen
> > soll, wüsste ich nicht... und ich weiß auch gar nicht, ob
> > das so richtig wäre..
>
> Doch, das stimmt. Du kannst entweder
> [mm]\arccos{\left(\bruch{1}{2}\wurzel{3}\right)}[/mm] oder
> [mm]\arcsin{\left(\bruch{1}{2}\right)}[/mm] ermitteln, das Ergebnis
> bleibt gleich: eine Drehung um 30° nach links.
kannst du mir noch erklären, wieso das stimmt? wieso man cos^-1(0,866) bzw sin^-1(0,5) nimmt?
>
> > > Musst Du noch zeigen, dass jeder Vektor in die gleiche
> > > Richtung und um den gleichen Winkel gedreht wird?
> >
> > nein, dass muss ich nicht.^^
>
> Naja... Der gewählte Vektor ist zwar bequem für die
> Ermittlung, hat aber einen wesentlichen Nachteil: die
> rechte Spalte der Matrix könnte irgendwas beinhalten; sie
> wird hier ja gar nicht benötigt. Es empfiehlt sich also
> doch noch ein Text mit z.B. [mm]\vektor{0\\1},[/mm] oder zumindest
> die Überprüfung der Drehmatrix auf Plausibilität. Welche
> Bedingung muss sie nämlich erfüllen?
was meinst du mit plausibilität? ich glaub ich wüsste die bedingung trotzdem nicht...
> (Dein erstes Ergebnis hätte dieser Bedingung übrigens
> widersprochen!)
>
> Gruß
> reverend
>
ich werd heute abend erst antworten können, weil ich jetzt zum arzt muss. bis dann! und danke schonmal für deine hilfe :)
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Hallo,
> ich hatte sie falsch abgetippt.^^ die richtige matrix ist:
> [mm]\pmat{ 0,866& -0,5 \\
0,5 & 0,866}*\vektor{1\\
0}=\vektor{0,866\\
0,5}[/mm]
Ja.
> kannst du mir noch erklären, wieso das stimmt? wieso man
> cos^-1(0,866) bzw sin^-1(0,5) nimmt?
Mach Dir mal eine kleine Zeichnung mit dem ursprünglichen Vektor und dem gedrehten. Beide haben die Länge 1. Dann solltest Du leicht darauf kommen, warum hier diese Umkehrfunktionen gelten - also [mm] \arccos [/mm] des x-Werts des gedrehten Vektors bzw. [mm] \arcsin [/mm] des y-Werts.
Im übrigen brauchst Du eigentlich beide, weil die beiden Umkehrfunktionen nicht auf den ganzen Kreis rückabbilden, sondern doppeldeutig sind. Nur in der Kombination von beiden lässt sich der Winkel eindeutig bestimmen. Elementare Trigonometrie, die man sich am Einheitskreis leicht vor Augen führen kann.
> > Naja... Der gewählte Vektor ist zwar bequem für die
> > Ermittlung, hat aber einen wesentlichen Nachteil: die
> > rechte Spalte der Matrix könnte irgendwas beinhalten; sie
> > wird hier ja gar nicht benötigt. Es empfiehlt sich also
> > doch noch ein Text mit z.B. [mm]\vektor{0\\
1},[/mm] oder zumindest
> > die Überprüfung der Drehmatrix auf Plausibilität. Welche
> > Bedingung muss sie nämlich erfüllen?
>
> was meinst du mit plausibilität? ich glaub ich wüsste die
> bedingung trotzdem nicht...
Die Drehmatrix muss die Determinante +1 haben, wenn sie ohne Streckung etc. drehen soll.
> > (Dein erstes Ergebnis hätte dieser Bedingung übrigens
> > widersprochen!)
> ich werd heute abend erst antworten können, weil ich jetzt
> zum arzt muss. bis dann! und danke schonmal für deine
> hilfe :)
Na dann bis später!
Alles Gute,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Di 10.05.2011 | | Autor: | susi111 |
> Hallo,
>
> > ich hatte sie falsch abgetippt.^^ die richtige matrix ist:
> > [mm]\pmat{ 0,866& -0,5 \\
0,5 & 0,866}*\vektor{1\\
0}=\vektor{0,866\\
0,5}[/mm]
>
> Ja.
>
> > kannst du mir noch erklären, wieso das stimmt? wieso man
> > cos^-1(0,866) bzw sin^-1(0,5) nimmt?
>
> Mach Dir mal eine kleine Zeichnung mit dem ursprünglichen
> Vektor und dem gedrehten. Beide haben die Länge 1. Dann
> solltest Du leicht darauf kommen, warum hier diese
> Umkehrfunktionen gelten - also [mm]\arccos[/mm] des x-Werts des
> gedrehten Vektors bzw. [mm]\arcsin[/mm] des y-Werts.
> Im übrigen brauchst Du eigentlich beide, weil die beiden
> Umkehrfunktionen nicht auf den ganzen Kreis rückabbilden,
> sondern doppeldeutig sind. Nur in der Kombination von
> beiden lässt sich der Winkel eindeutig bestimmen.
> Elementare Trigonometrie, die man sich am Einheitskreis
> leicht vor Augen führen kann.
ja, stimmt^^
dann würde rauskommen
[mm] y=sin(\alpha) [/mm] und [mm] \alpha=sin^-1(y) [/mm] bzw. [mm] \alpha=cos^-1(x).^^
[/mm]
> > > Naja... Der gewählte Vektor ist zwar bequem für die
> > > Ermittlung, hat aber einen wesentlichen Nachteil: die
> > > rechte Spalte der Matrix könnte irgendwas beinhalten; sie
> > > wird hier ja gar nicht benötigt. Es empfiehlt sich also
> > > doch noch ein Text mit z.B. [mm]\vektor{0\\
1},[/mm] oder
> zumindest
> > > die Überprüfung der Drehmatrix auf Plausibilität. Welche
> > > Bedingung muss sie nämlich erfüllen?
> >
> > was meinst du mit plausibilität? ich glaub ich wüsste die
> > bedingung trotzdem nicht...
>
> Die Drehmatrix muss die Determinante +1 haben, wenn sie
> ohne Streckung etc. drehen soll.
die drehmatrix ist doch [mm] \pmat{ 0,866& -0,5 \\
0,5 & 0,866}
[/mm]
was ist eine determinante? und wie soll die drehmatrix die determinante +1 haben?
> > > (Dein erstes Ergebnis hätte dieser Bedingung übrigens
> > > widersprochen!)
>
> > ich werd heute abend erst antworten können, weil ich jetzt
> > zum arzt muss. bis dann! und danke schonmal für deine
> > hilfe :)
>
> Na dann bis später!
> Alles Gute,
> reverend
>
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![[]](/images/popup.gif){kind=small}
http://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix