www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Abbildungen" - duale Abbildung, Polynome
duale Abbildung, Polynome < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Abbildungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

duale Abbildung, Polynome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:23 So 03.05.2009
Autor: TommyAngelo

[Dateianhang nicht öffentlich]

Ich habe es mal so versucht:

a) [mm] \delta_x [/mm] = [mm] \vektor{1 & x & x²}\vektor{a_0 \\ a_1 \\ a_2} [/mm]

Ich nehme nur die Darstellungsmatrix, weil es sich damit leichter rechnen lässt:

[mm] \delta_{cx+ty} [/mm] = [mm] \vektor{1 & (cx+ty) & (cx+ty)²}= \vektor{1 & (cx+ty) & (c²x²+2ctxy+t²y²)} [/mm]

[mm] c\delta_x+t\delta_y [/mm] = [mm] c\vektor{1 & x & x²}+t \vektor{1 & y & y²}=\vektor{c+t & (cx+ty) & (cx²+ty²)} [/mm]

[mm] \Rightarrow \delta_{cx+ty} [/mm] = [mm] c\delta_x+t\delta_y [/mm] gilt nicht für alle c,t [mm] \in \IR. \Rightarrow [/mm] Die Abbildung ist nicht linear.

Ist der Ansatz richtig so? Oder muss ich es anders machen?

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
        
Bezug
duale Abbildung, Polynome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:12 Mo 04.05.2009
Autor: pelzig

Hier stand Müll.
Bezug
                
Bezug
duale Abbildung, Polynome: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 12:09 Mo 04.05.2009
Autor: SEcki


> Nein, bei a) ist zu zeigen dass [mm]\delta_x(p+\lambda q)=\delta_x(p)+\lambda\cdot\delta_x(q)[/mm]
> gilt für Polynome [mm]p,q\in[/mm] V und [mm]\lambda\in\IK[/mm].

Nein, das ist einfach nicht die Aufgabenstellung. Die Abbildung ist wie die typische Abbildung in den Bidualraum, [m]V\to V^{**}, v \mapsto \{\phi \mapsto \phi(v) \}[/m].

Diese Trivialität wollten wohl die Aufgabenstellern den Aufgabenbearbeitern ersparen und haben sich gleich interessanteren Sachen zugewendent. :-)

SEcki

Bezug
        
Bezug
duale Abbildung, Polynome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:03 Mo 04.05.2009
Autor: SEcki


> Ich nehme nur die Darstellungsmatrix, weil es sich damit
> leichter rechnen lässt:

In wie fern? Und: warum hast du noch [m]x^2[/m] und so weiter in dieser Darstellung? Das amcht doch nicht viel Sinn?!

> [mm]\delta_{cx+ty}[/mm] = [mm][mm] \vektor{1 & (cx+ty) & (cx+ty)²}= \vektor{1 & (cx+ty) & (c²x²+2ctxy+t²y²)}[/mm [/mm]

Also dein [mm]\delta_{cx+ty}[/mm] auf den drei Basisvektoren ausgewertet? Ja, das gibt die Matrix. Und dann schauen, wo [m]x^2[/m] unter [m]c\delta_x+t\delta_y[/m] hingeht - das genügt ja.

> [mm]\Rightarrow \delta_{cx+ty}[/mm] = [mm]c\delta_x+t\delta_y[/mm] gilt nicht
> für alle c,t [mm]\in \IR. \Rightarrow[/mm] Die Abbildung ist nicht
> linear.

Ich würde noch konkrete Werte angeben und den Widerspruch zeigen, sonst ist es etwas wakelig - mit endlichen Körpern wird so eine Abbildung ziemlich fix wieder linear ...

> Ist der Ansatz richtig so? Oder muss ich es anders machen?

Das Quadrat ausnutzen ist sicher richtig!

SEcki

Bezug
                
Bezug
duale Abbildung, Polynome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:41 Mo 04.05.2009
Autor: TommyAngelo

Mit der Darstellungsmatrix mein ich eben (1 x x²), weil [mm] \vektor{1 & x & x²} \vektor{a_0 \\ a_1 \\ a_2} [/mm] = [mm] a_0+a_1x+a_2x². [/mm] Das ist ja eben die Linearform.
Bei der b) bin ich so vorgegangen:
Ich habe die Darstellungsmatrizen als Zeilenvektoren in eine Matrix geschrieben:
[mm] \pmat{ 1 & x & x² \\ 1 & y & y² \\ 1 & z & z²} \to [/mm] ... [mm] \to \pmat{ 1 & x & x² \\ 0 & 1 & y+x \\ 0 & 0 & z-y} [/mm]
Weil x,y,z alle verschieden sind, hat die Matrix Rang 3 => Die Zeilenvektoren sind linear unabhängig. => [mm] \delta_x, \delta_y, \delta_z [/mm] bilden eine Basis von V*.

Bei der c) dann so:

[mm] \integral_{0}^{2}{p(t) dt}=[a_ot+\bruch{a_1}{2}t²+\bruch{a_2}{3}t³]_{0}^{2}=2a_0+2a_1+\bruch{8}{3}a_2 [/mm]

Und dann eben dieses Gleichungssystem lösen:

[mm] \vektor{2 & 2 & \bruch{8}{3}}=\lambda_1\vektor{1 & 0 & 0}+\lambda_2\vektor{1 & 1 & 1}+\lambda_3\vektor{1 & 2 & 4} [/mm]

[mm] \lambda_1=\lambda_3=\bruch{1}{3}, \lambda_2=\bruch{4}{3} [/mm]


Bezug
                        
Bezug
duale Abbildung, Polynome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:31 Mo 04.05.2009
Autor: SEcki


> Mit der Darstellungsmatrix mein ich eben (1 x x²), weil
> [mm]\vektor{1 & x & x²} \vektor{a_0 \\ a_1 \\ a_2}[/mm] =
> [mm]a_0+a_1x+a_2x².[/mm] Das ist ja eben die Linearform.

Nein. Eine Linearform würde nach [m]\IR[/m] gehen, was es hier nicht tut. Bei der darstellenden Matrix musst du die eigentliche Basis "vergessen" und nur die Koeffizienten der Basiselemente übrig behalten.

>  Bei der b) bin ich so vorgegangen:
>  Ich habe die Darstellungsmatrizen als Zeilenvektoren in
> eine Matrix geschrieben:

Und von was ist das die darstellende Matrix? Von welcher linearen Abbildung? Ich glaub, da wirfst du einiges durcheinander. Was aber stimmt: Sei [m]\{v_i\}[/m] eine Basis und [m]\{l_k\}[/m] m-viele Linearformen mit n größer gleich m. Dann sind die m Linearformen genau dann unabhängig wenn die m+n Matrix [m](l_k(v_i))[/m] Rang m hat.

>  [mm]\pmat{ 1 & x & x² \\ 1 & y & y² \\ 1 & z & z²} \to[/mm] ... [mm]\to \pmat{ 1 & x & x² \\ 0 & 1 & y+x \\ 0 & 0 & z-y}[/mm]
>  
> Weil x,y,z alle verschieden sind, hat die Matrix Rang 3 =>
> Die Zeilenvektoren sind linear unabhängig. => [mm]\delta_x, \delta_y, \delta_z[/mm]
> bilden eine Basis von V*.

Ja, siehe oben.

> Bei der c) dann so:
>  
> [mm]\integral_{0}^{2}{p(t) dt}=[a_ot+\bruch{a_1}{2}t²+\bruch{a_2}{3}t³]_{0}^{2}=2a_0+2a_1+\bruch{8}{3}a_2[/mm]
>  
> Und dann eben dieses Gleichungssystem lösen:
>  
> [mm]\vektor{2 & 2 & \bruch{8}{3}}=\lambda_1\vektor{1 & 0 & 0}+\lambda_2\vektor{1 & 1 & 1}+\lambda_3\vektor{1 & 2 & 4}[/mm]

Ja.

> [mm]\lambda_1=\lambda_3=\bruch{1}{3}, \lambda_2=\bruch{4}{3}[/mm]

Gut, das habe ich net nachgerechnet, aber man kann ja schnell die Probe machen :)

SEcki

Bezug
                                
Bezug
duale Abbildung, Polynome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:36 Mo 04.05.2009
Autor: TommyAngelo

Es steht doch aber in der Angabe, dass [mm] \delta_x [/mm] von V nach R geht. Warum soll es dann keine Linearform sein?
Ich verstehe es so, dass [mm] \delta_x [/mm] ein Polynom erzeugt.

Bezug
                                        
Bezug
duale Abbildung, Polynome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:01 Mo 04.05.2009
Autor: SEcki


> Es steht doch aber in der Angabe, dass [mm]\delta_x[/mm] von V nach
> R geht. Warum soll es dann keine Linearform sein?

Doch, das ist eine Linearform, aber ...

>  Ich verstehe es so, dass [mm]\delta_x[/mm] ein Polynom erzeugt.

... du widersprichst dich hier. Der Bildraum von [mm]\delta_x[/mm] ist eben [m]\IR[/m]. Wie solltest du da ein Polynom erzeugen? Die gibt es im aum [m]\IR[/m] irgendwie nicht ...

SEcki

Bezug
                                                
Bezug
duale Abbildung, Polynome: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:09 Mo 04.05.2009
Autor: TommyAngelo

Ja stimmt, [mm] \delta_x [/mm] erzeugt den Funktionswert p(x). Aber wenn x eben beliebig ist, sieht der Funktionswert aus wie ein Polynom.

Bezug
                                                        
Bezug
duale Abbildung, Polynome: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:46 Mo 04.05.2009
Autor: SEcki


> Ja stimmt, [mm]\delta_x[/mm] erzeugt den Funktionswert p(x). Aber
> wenn x eben beliebig ist, sieht der Funktionswert aus wie
> ein Polynom.  

Naja ... es ist aber nicht das gleiche. Du hast ja richtige Ideen, du solltest halt obiges nur ein bisschen sauberer aufschreiben und nicht Polynome in den Raum [m]\IR[/m] setzen, wo sie gar nicht existieren.

SEcki

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Abbildungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de