duale Basis < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:34 Mo 28.12.2009 | | Autor: | deniz87 |
Hallo zusammen,
Komme bei folgender Aufgabe nicht mehr weiter.
Sei V ein endlich dimensionaler IK-Vektorraum und sei [mm] {v_1....v_n} [/mm] eine Basis von V und [mm] {k_1......k_n} [/mm] die duale Basis zu V^* Zu zeigen ist nun dass für alle v [mm] \in [/mm] V und [mm] k\in [/mm] V^* gilt:
[mm] v=\summe_{i=1}^{n}k_i(v)v_i [/mm] und
k= [mm] \summe_{i=1}^{n}k(v_i)k_i
[/mm]
Ehrlich gesagt habe ich keine Ahnung was das alles bedeuten soll. Könnt ihr mir erklären was überhaupt zu zeigen ist?
Viele Grüße
Deniz
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> Hallo zusammen,
> Komme bei folgender Aufgabe nicht mehr weiter.
> Sei V ein endlich dimensionaler IK-Vektorraum und sei
> [mm]{v_1....v_n}[/mm] eine Basis von V und [mm]{k_1......k_n}[/mm] die duale
> Basis zu V^* Zu zeigen ist nun dass für alle v [mm]\in[/mm] V und
> [mm]k\in[/mm] V^* gilt:
>
> [mm]v=\summe_{i=1}^{n}k_i(v)v_i[/mm] und
> k= [mm]\summe_{i=1}^{n}k(v_i)k_i[/mm]
> Ehrlich gesagt habe ich keine Ahnung was das alles
> bedeuten soll. Könnt ihr mir erklären was überhaupt zu
> zeigen ist?
Hallo,
nun, was zu zeigen ist, steht ja da.
Bevor's losgeht, solltest Du erstmal das benötigte Material zusammentragen.
Sei V ein endlichdimensionaler VR.
1. Was ist [mm] V^{\*}? [/mm] Wie ist das definiert? Woraus "besteht" dieser VR also?
2. Wenn [mm] B:=(b_1, ...,b_n) [/mm] eine Basis des V ist, wie ist dann die zu B duale Basis des [mm] V^{\*} [/mm] definiert?
Dies muß klar sein, bevor wir anfangen, irgendetwas zu tun.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 Mi 30.12.2009 | | Autor: | deniz87 |
Vielen Dank für deine Antwort.
Also V^* ist der Dualraum zu V und besteht aus den linearen Abbildungen zwischen V und einem Körper K, oder? Das mit der dualen Basis hab' ich noch nicht ganz verstanden. Wie kommt man auf die duale Basis wenn man eine Basis des V gegeben hat?
deniz
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> Vielen Dank für deine Antwort.
> Also V^* ist der Dualraum zu V und besteht aus den
> linearen Abbildungen zwischen V und einem Körper K, oder?
Hallo,
ja, genau.
Die Vektoren dieses Raumes sind also solche linearen Abbildungen, und folglich besteht jede Basis dieses Raumes, also auch die zur Basis B von V duale, auch aus solchen linearen Abbildungen.
> Das mit der dualen Basis hab' ich noch nicht ganz
> verstanden. Wie kommt man auf die duale Basis wenn man eine
> Basis des V gegeben hat?
Schreib jetzt mal auf, wie die duale Basis bei Euch definiert wurde, und habe dabei im Kopf, daß hier gewisse lineare Abbildungen definiert werden.
Gruß v. Angela
> deniz
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