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Hallo!
Ich hab nur eine kurze Frage.
Ich hab versucht die duale Basis zu dieser
[mm] b_1=\pmat{ 1 \\ 2 \\ 0 \\ -3 }
[/mm]
[mm] b_2=\pmat{ 3 \\ 5 \\ 4 \\ 1}
[/mm]
[mm] b_3=\pmat{ -1 \\ -1 \\ -3 \\ -5}
[/mm]
[mm] b_4=\pmat{ 3 \\ 3 \\ 1 \\ -2}
[/mm]
zu berechnen.
Ich bin auf dieses Ergebnis gekommen:
[mm] c_1=\pmat{-5 & 27 & -34 & 16}
[/mm]
[mm] c_2=\pmat{2 & -13 & 17 & -8}
[/mm]
[mm] c_3=\pmat{3 & -18 & 23 & -11}
[/mm]
[mm] c_4=\pmat{1 & -2 & 2 & -1}
[/mm]
Jetzt würde ich gern wissen, ob das so stimmt!
Reicht es wirklich, wenn ich die basis in eine Matrix schreibe, diese invertiere und dann die Zeilen, als duale Basis nehme?
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:05 So 22.05.2005 | | Autor: | taura |
Hi Sebastian!
Ich habs mal nachgerechnet, das stimmt soweit.
Allerdings wäre es vermutlich sinnvoller, die Elemente aus dem Dualraum auch wirklich als Abbildungen zu schreiben, in deinem Fall also:
[mm]f_1(x,y,z,w)=-5x+27y-34z+16w[/mm]
[mm]f_2(x,y,z,w)=2x-13y+17z-8w[/mm]
[mm]f_3(x,y,z,w)=3x-18y+23z-11w[/mm]
[mm]f_4(x,y,z,w)=x-2y+2z-w[/mm]
Deine "Vektoren" sind die Darstellungsmatrizen der Abbildungen bzgl. der kanonischen Basis.
Das mit dem Invertieren der Matrix klappt immer dann, wenn du Vektoren aus dem [mm]\IR^n[/mm] bzgl. der kanonischen Basis hast, denn genau dann entspricht die Abbildung eines Vektors der Multiplikation des Vektors mit der Abbildungsmatrix (in diesem Fall das kanonische Skalarprodukt der beiden Vektoren). Wenn du dir jetzt nochmal anschaust, was passiert wenn du die Matrix, die du erhälst wenn du deine Basis in die Spalten schreibst, mit ihrer Inversen multiplizierst, und wie die duale Basis definiert ist, dann siehst du vielleicht selbst, warum es funktioniert?
Hoffe ich konnte dir helfen, falls noch irgendwas unklar ist, frag einfach nochmal nach!
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