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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:22 So 04.12.2005 | | Autor: | GetBack |
Hallo Leute,
ich hab da mal wieder ein Problem mit einer Aufgabe.
Sei [mm] \| \cdot \| [/mm] eine Norm auf dem [mm] \mathbb{R}^n [/mm].
a) Zeigen Sie, daß durch [mm] J(x)(y):= \summe_{i=1}^{n} y_{i} x_{i} [/mm] für [mm] x,y \in \mathbb{R}^n [/mm] ein linerarer Operator [mm] J: \mathbb{R}^n \to \left( \mathbb{R}^n , \| \cdot \| \right)^{\*} [/mm] definiert wird.
b) Zeigen Sie, daß auch [mm] \| x \|_{\*}:=\| J(x) \| [/mm] für [mm] x \in \mathbb{R}^n [/mm] eine Norm ist (sie heißt duale Norm).
c) Für [mm] 1 \le p < \infty [/mm] berechne man die duale Norm zu [mm] \| x \|_{p}:= \left( \summe_{i=1}^{n} \left| x_i \right|^p \right)^{\frac{1}{p}} [/mm].
Aufgabe a) ist ja recht einfach zu zeigen, aber schon bei b) hapert es bei mir: Ich muss doch im 1. Normaxiom (Definitheit) nachprüfen, daß [mm] \| x \|_{\*}=0 \gdw x=0 [/mm]. Wenn [mm] x=0 [/mm] ist die Sache klar, aber die Rückrichtung nicht: [mm] \| x \|_{\*}=0 \Rightarrow J(x)=\summe_{i=1}^{n} y_{i} x_{i}=0 [/mm]. Meiner Meinung wird die Summe nicht nur bei x=0 gleich 0, sondern auch dann, wenn z.B. [mm] y=0 [/mm] und x beliebig ist. Oder darf man das so nicht betrachten?
Und bei Aufgabe c) habe ich bis jetzt noch keinen vernüftigen Ansatz gefunden. Vom logischen her müßte es auf die q-Norm hinauslaufen und vielleicht irgendwas mit der Hölderschen Ungleichung, aber ich habe ja schon ein Problem bei [mm] \| x \|_{\*}= \| J(x) \|_{p} [/mm] und komme da nicht weiter.
Könnt ihr mir dabei helfen?
Viele liebe Grüße
GetBack
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Hallo!
Bei b) solltest du beachten, dass [mm] $\|J(x)\|=0$ [/mm] bedeutet, dass [mm] $\|J(x)(y)\|=0$ [/mm] für alle [mm] $y\in\IR^n$. [/mm] Insbesondere ist dann auch [mm] $\|J(x)(e_k)\|=0$ [/mm] für [mm] $k=1,\dots,n$, [/mm] wobei [mm] $e_k$ [/mm] die kanonischen Einheitsvektoren darstellen sollen.
Abgesehen davon ist ja [mm] $\|J(x)\|$ [/mm] die Norm von $J(x)$ in [mm] $(\IR^n,\|.\|)^\*$, [/mm] insbesondere ist [mm] $\|J(x)\|=0\ \Leftrightarrow\ [/mm] J(x)=0$.
Bei c) bin ich ganz deiner Meinung: Hier muss die [mm] $\|.\|_q$-Norm [/mm] rauskommen. Ich muss da jetzt aber selber erstmal drüber nachdenken, vielleicht melde ich mich nachher nochmal...
Gruß, banachella
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Hallo!
Jetzt bin ich ihm glaube ich auf die Schliche gekommen... ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
Was du zeigen musst, ist ja [mm] $\sup_{y\in\IR^n}\bruch{|J(x)(y)|}{\|y\|_p}=\|x\|_q$.
[/mm]
Dass [mm] $|J(x)(y)|\le\|y\|_p\|x\|_q$ [/mm] - und damit [mm] $\|J(x)\|\le\|x\|_q$ [/mm] - folgt schlicht aus der Hölder-Ungleichung. Die Idee ist jetzt, ein [mm] $y\in\IR^n$ [/mm] zu finden, so dass [mm] $|J(x)(y)|\ge\|y\|_p \|x\|_q$. [/mm] Probier's doch mal mit [mm] $y_k:=\begin{cases} 0,&\mbox{ falls } x_k=0,\\ \bruch{|x_k|^q}{x_k},& \mbox{ sonst.}\end{cases}$. [/mm] Und benutze, dass die Operatornorm submultiplikativ ist, d.h. [mm] $|J(x)(y)|\le \|J(x)\|\,\|y\|$...
[/mm]
Gruß, banachella
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