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| Aufgabe | M(mxn,K)=V menge bzw.vektorraum aller mxn-matrizen
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ist der dazu duale raum etwa M(nxm,K)=V* ,also die menge aller matrizen aus V transponiert ?
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> M(mxn,K)=V menge bzw.vektorraum aller mxn-matrizen
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> ist der dazu duale raum etwa M(nxm,K)=V* ,also die menge
> aller matrizen aus V transponiert ?
Hallo,
wie ist der Dualraum zu einem Vektorraum V über K denn definiert?
Gruß v. Angela
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der duale raum zu V über den körper K ist V*:=hom(V,K)
dimV < [mm] \infty [/mm] ,dann gilt dim V=dim V*.
was nu?
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> der duale raum zu V über den körper K ist V*:=hom(V,K)
> dimV < [mm]\infty[/mm] ,dann gilt dim V=dim V*.
> was nu?
Hallo,
eigentlich hatte ich gehofft, daß Du Dir jetzt eine Antwort geben kannst.
V ist bei Dir der Raum der mxn-Matrizen über K.
Wie Du selbst schreibst, ist der dazu duale Raum [mm] V^{\*} [/mm] der Raum, welcher sämtliche lineare Abbildungen von obigem Raum der Matrizen nach K enthält.
[mm] V^{\*} [/mm] enthält also Abbildungen und nicht Matizen.
Nun könntest Du Dir natürlich überlegen, welches Format die darstellenden Matrizen der in [mm] V^{\*} [/mm] enthaltenen Linearformen haben.
Dazu brauchst Du die Dimension v. V und die von K (über K).
Gruß v. Angela
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dim V=mn
dim [mm] K=n^{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] V* [mm] \cong [/mm] M(nxm,K) ?
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> dim V=mn
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> dim [mm]K=n^{2}[/mm]
Hallo,
wie kommst Du darauf, daß der Körper K als VR über K betrachtet die Dimension [mm] n^2 [/mm] hat?
Was hast Du Dir als Basis vorgestellt?
> [mm]\Rightarrow[/mm] V* [mm]\cong[/mm] M(nxm,K) ?
Eine Folgerung aus dem, was Du oben schreibst, ist das gewiß nicht.
Du hattest Ja selbst schon irgendwo festgestellt, daß V und [mm] V^{\*} [/mm] dieselbe Dimension haben, deshalb wird sich wohl ein Isomorphismus finden lassen.
Dir Frage danach, welches Format die darstellenden Matrizen der Abbildungen in [mm] V^{\*} [/mm] haben, ist damit nicht beantwortet.
Ich habe das dumpfe Gefühl, daß Du eigentlich was ganz anderes wissen willst - ich finde aber nicht heraus was. Die angesprochenen Dinge sind jedenfalls nicht unwichtig.
Es wäre schön, wenn Du uns an Deinen Überlegeungen etwas teilnehmen ließest.
Gruß v. Angela
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Hallo,
ich hatte ja schon das Gefühl, daß Du nicht genau das wissen willst, was Du fragst, und gerade fällt es mir wie Schuppen von den Augen...
Du willst eigentlich etwas über die duale Abbildung wissen, nicht wahr?
(Voraussetzung dafür ist natürlich, daß Dir der Dualraum einigermaßen klar ist, von daher waren die vorhergehenden Posts nicht überflüssig.)
Das ist so:
sei f: [mm] V\to [/mm] W eine lineare Abbildung, dim V=m, dim W=n.
Dann ist die darstellende Matrix von f bzgl der Basen B und C von V bzw. W eine nxm-Matrix, wir nennen sie jetzt mal A.
Nun betrachten wir die zu f duale Abbildung [mm] f^{\*}:
[/mm]
[mm] f^{\*}:W^{\*}\to V^{\*}
[/mm]
[mm] \lambda\mapsto \lambda\circ [/mm] f
Diese Abbildung hat bzgl der dualen Basen [mm] B^{\*} [/mm] und [mm] C^{\*} [/mm] von [mm] V^{\*} [/mm] bzw. [mm] W^{\*} [/mm] die darstellende Matrix [mm] A^T.
[/mm]
Gruß v. Angela
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danke angela , genau das wollte ich wissen. das kommt also davon,dass
w stern nach v stern abgebildet werden,dass die darstellende matrix transponiert sein muss
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