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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:42 Di 29.11.2005 | | Autor: | VHN |
hallo an alle!
ich bearbeite grade eine aufgabe, bei der ich zeigen soll, dass [mm] \delta(\varepsilon) [/mm] = [mm] \sigma(\varepsilon) [/mm] ist, wobei [mm] \varepsilon \subset \mathcal{P} (\Omega) [/mm] ein durchschnittsstabiles Mengensystem ist.
[mm] (\delta(\varepsilon) [/mm] soll das von [mm] \varepsilon [/mm] erzeugte Dynkinsystem sein, und [mm] \sigma(\varepsilon) [/mm] die von [mm] \varepsilon [/mm] erzeugte [mm] \sigma-algebra.)
[/mm]
nun habe ich so bewiesen.
sei D [mm] \in \delta(\varepsilon). [/mm] dann ist D ein Dynkinsystem mit [mm] \varepsilon \subset [/mm] D.
da ja [mm] \varepsilon \subset \mathcal{P} (\Omega) [/mm] ein durchschnittstabiles mengenssystem ist, gilt wegen [mm] \varepsilon \subset [/mm] D, dass auch D durchschnittsstabil ist. (stimmt das hier so?)
nach dem lemma:
Sei D ein Dynkinsystem in [mm] \Omega. [/mm] dann sind äquivalent:
(1) D ist eine [mm] \sigma-algebra.
[/mm]
(2) D ist durschschnittsstabil.
gilt also, dass D eine [mm] \sigma-algebra [/mm] ist, also D [mm] \in \sigma(\varepsilon).
[/mm]
das war mein beweis in die eine richtung [mm] \Rightarrow.
[/mm]
in die andere richtung [mm] \Leftarrow [/mm] würde ich analog argumentieren.
meine frage wäre jetzt, ob es richtig ist, dass ich einfach sage, dass D durchschnittsstabil ist, weil [mm] \varepsilon \subset [/mm] D durchschnittstabil ist.
ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen. Danke!
VHN
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:25 Mi 30.11.2005 | | Autor: | andreas |
hallo
> ich bearbeite grade eine aufgabe, bei der ich zeigen soll,
> dass [mm]\delta(\varepsilon)[/mm] = [mm]\sigma(\varepsilon)[/mm] ist, wobei
> [mm]\varepsilon \subset \mathcal{P} (\Omega)[/mm] ein
> durchschnittsstabiles Mengensystem ist.
> [mm](\delta(\varepsilon)[/mm] soll das von [mm]\varepsilon[/mm] erzeugte
> Dynkinsystem sein, und [mm]\sigma(\varepsilon)[/mm] die von
> [mm]\varepsilon[/mm] erzeugte [mm]\sigma-algebra.)[/mm]
>
> nun habe ich so bewiesen.
> sei D [mm]\in \delta(\varepsilon).[/mm] dann ist D ein Dynkinsystem
> mit [mm]\varepsilon \subset[/mm] D.
warum ist denn $D$ dann ein dynikin-system? ich dachte [mm] $\delta(\varepsilon)$ [/mm] sei das dynkin-system, welches dann aber mengen und keine dynkin-systeme enthält.
> da ja [mm]\varepsilon \subset \mathcal{P} (\Omega)[/mm] ein
> durchschnittstabiles mengenssystem ist, gilt wegen
> [mm]\varepsilon \subset[/mm] D, dass auch D durchschnittsstabil ist.
> (stimmt das hier so?)
ich denke mal, dass du zeigen willst, dass [mm] $\delta(\varepsilon)$ [/mm] durchschnittsstabil ist, oder? das ist zwar richtig, aber meiner meinung nach nicht ganz so trivial. eine möglichkeit ist: es genügt zu zeigen, dass für alle mengen $E [mm] \in \delta(\varepsilon)$ [/mm] das mengensystem [mm] $Q_E [/mm] := [mm] \{ F \in \mathcal{P}(\Omega): E \cap F \in \delta(\varepsilon) \} \supset \delta(\varepsilon)$ [/mm] ist, dass also die schnitte von zwei mengen aus [mm] $\delta(\varepsilon)$ [/mm] wieder in [mm] $\delta(\varepsilon)$ [/mm] landen. das kann man nun in zwei schritten zeigen: zuerst für megen $E [mm] \in \varepsilon$. [/mm] zeige dazu, dass in diesem fall [mm] $Q_E$ [/mm] ein dynkin-system ist - das ist einfaches nachrechnen. dann folgt wegen [mm] $Q_E \supset \varespilon$ [/mm] und [mm] $Q_E$ [/mm] dynkin-system, dass [mm] $Q_E \supset \delta(\varepsilon)$, [/mm] da [mm] $\delta(\varepsilon)$ [/mm] per definition das kleinste dynkin-system ist, welches [mm] $\varepsilon$ [/mm] umfasst. in einem zweiten schritt zeigt man nun noch, dass die entsprechende inklusion auch für $E [mm] \in \delta(\varepsilon)$ [/mm] gilt, dafür braucht man aber den ersten schritt.
> nach dem lemma:
> Sei D ein Dynkinsystem in [mm]\Omega.[/mm] dann sind äquivalent:
> (1) D ist eine [mm]\sigma-algebra.[/mm]
> (2) D ist durschschnittsstabil.
>
> gilt also, dass D eine [mm]\sigma-algebra[/mm] ist, also D [mm]\in \sigma(\varepsilon).[/mm]
hm. also wir haben dieses lemma in unserer vorlesung gerade mithilfe der aussage [mm] $\varepsilon$ [/mm] durchschnittsstabil folgt [mm] $\delta(\varepsilon)$ [/mm] durchschnittsstabil beweisen. schau mal in euerm skript nach, ob du dann nicht einen zirkelschluss machst ...
ich hoffe das hilft dir erstmal weiter.
grüße
andreas
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