e-Funktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:55 Mo 18.09.2006 | | Autor: | wuschel |
| Aufgabe | | Funktionsuntersuchung von f(x)= [mm] 5x*e^{-x} [/mm] |
Es wäre sehr nett wenn mir jemand diese Kurvendiskussion nachschauen könnte!
1. Definition
D=R
2. Nullstelle N(0/0)
3. Ableitungen
f(x)= [mm] 5x*e^{-x}
[/mm]
f'(x) = [mm] 5e^{-x}*(-2 [/mm] + x)
f''(x)= - [mm] 5e^{-x}*(1- [/mm] x)
4. Extremstellen
f'(x) = 0
[mm] 5e^{-x}*(-2 [/mm] + x) = 0
x=1
Wie bekomme ich y raus?
5. Wendepunkt
- [mm] 5e^{-x}*(1- [/mm] x)
x=2
Wie bekomme ich y raus?
Liebe Grüße
Lisa
|
|
| |
|
Hallo Lisa!
Die ersten zwei Aufgaben stimmen  . Schau dir noch einmal die Ableitungen der Funktion $f(x) = 5x [mm] \cdot e^{-x}$ [/mm] an. Zum Ableiten brauchst du hier sowohl die Produktregel als auch die Kettenregel:
$$f'(x) = 5 [mm] \cdot e^{-x} [/mm] + 5x [mm] \cdot e^{-x} \cdot [/mm] (-1)$$
Wobei du natürlich noch vereinfachen kannst.
Beachte dabei, dass [mm] $\left(e^{-x}\right)' [/mm] = [mm] e^{-x} \cdot [/mm] (-1)$ ist. Hier muss man auf die innere Ableitung achten!
Gruß!
PS: Generell wäre es vorteilhaft, wenn du deine Lösungsschritte auch angeben würdest. Dann könnten wir deine Gedankengänge nachvollziehen und exakter auf mögliche Fehler hinweisen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Mo 18.09.2006 | | Autor: | wuschel |
Vielen Dank für deine schnelle Antwort!
Ich habe jetzt die Ableitung noch mal neu gemacht.
[mm] f(x)=5x*e^{-x}
[/mm]
u=5x u'=5
[mm] v=e^{-x} v'=-e^{-x}
[/mm]
f'(x) = [mm] 5*e^{-x} [/mm] - [mm] 5x*e^{-x}
[/mm]
f'(x)= [mm] 5*e^{-x} [/mm] * (1-x)
u= [mm] 5*e^{-x} [/mm] u'= [mm] -5*e^{-x} [/mm]
v = (1-x) v'= -1
f''(x) = [mm] -5*e^{-x} [/mm] * (1-x) + [mm] [-1*5*e^{-x}]
[/mm]
f''(x)= [mm] -5*e^{-x} [/mm] + [mm] 5xe^{-x} [/mm] + [mm] 5*e^{-x}
[/mm]
f''(x)= [mm] -10*e^{-x} [/mm] + [mm] 5x*e^{-x}
[/mm]
f''(x) = [mm] 5x*e^{-x} [/mm] * [-5 + x]
ist das richtig? dann mache ich die Extremstelle und die Wendepunkte!
Liebe Grüße und vielen Dank
Lisa
|
|
|
| |
|
Hallo!
Deine erste Zeile stimmt:
$$f''(x) = -5 [mm] \cdot e^{-x} \cdot [/mm] (1-x) + 5 [mm] \cdot e^{-x} \cdot [/mm] (-1)$$
Dann ist dir leider ein kleiner Fehler unterlaufen: Es müsste
$$f''(x) = -5 [mm] \cdot e^{-x} [/mm] + 5x [mm] \cdot e^{-x} [/mm] - 5 [mm] \cdot e^{-x}$$
[/mm]
heißen. Du hast du im letzten Summanden ein Minus unterschlagen (du hast aber in der nächsten Zeile richtig weitergerechnet, wahrscheinlich also ein Tippfehler). Außerdem hast du noch beim Ausklammern zum Schluss einen kleinen Fehler gemacht. Schau' dir das noch einmal kurz an.
Gruß!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 Mo 18.09.2006 | | Autor: | wuschel |
Also ich habe meinen fehler gesehen!
Dann müsste die zweite ableitung also so sein:
[mm] f''(x)=5e^{-x}[2+x]
[/mm]
So und jetzt komme ich dann zu den Extremstellen:
[mm] f'(x)=5e^{-x}[1-x]
[/mm]
[mm] 5e^{-x}[1-x] [/mm] = 0
1-x=0
x=1
Aber wie bekomme ich y raus?
setzt man das in die Ausgangsgleichung ein?
Wendestellen:
[mm] f''(x)=5e^{-x}[2+x]
[/mm]
[mm] 5e^{-x}[2+x] [/mm] = 0
x=-2
und wie bekommt man hier y?
Liebe Grüße und vielen vielen Dank für deine Geduld mit mir!
Lisa
|
|
|
| |
|
Hallo!
Leider hat sich noch einmal ein kleiner Rechenfehler eingeschlichen :-(
$$f''(x) = -10 [mm] \cdot e^{-x} [/mm] + 5x [mm] \cdot e^{-x} [/mm] = 5 [mm] \cdot e^{-x} \cdot [/mm] (x - 2)$$
Die y-Werte der Extrem- bzw. Wendestellen bekommst du relativ einfach. Du setzt einfach in $f(x)$ deine erhaltenen x-Werte ein, also hier $f(1)$ für den Extrempunkt und $f(2)$ für den Wendepunkt.
Übrigends fehlt jeweils noch die hinreichende Bedingung!
|
|
|
|
