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e-Funktionen ableiten < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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e-Funktionen ableiten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:41 Di 08.12.2009
Autor: la_vida

Aufgabe
Bestimme zu folgenden Funktionen jeweils f' und f''.
a) [mm] f(x)=x*e^x [/mm]
b) f(x)=x*e^-x
c) [mm] f(x)=(2-x)e^x [/mm]

Hallo ihr Lieben,
mal wieder eine Frage, wegen meiner Unsicherheiten.
Könnte jemand bitte über meine Aufgaben drüber schauen und mir sagen, ob's so stimmt? Das wäre super!

a) [mm] f'(x)=e^x+xe^x [/mm]
[mm] f''(x)=2e^x+xe^x [/mm]
b) f'(x)=e^-x+x(-e^-x)
f''(x)=-2e^-x+xe^-x
c) [mm] f'(x)=e^x+xe^x [/mm]
[mm] f''(x)=2e^x+xe^x [/mm]

Danke :-)

        
Bezug
e-Funktionen ableiten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:54 Di 08.12.2009
Autor: MathePower

Hallo la_vida,

> Bestimme zu folgenden Funktionen jeweils f' und f''.
>  a) [mm]f(x)=x*e^x[/mm]
>  b) f(x)=x*e^-x
>  c) [mm]f(x)=(2-x)e^x[/mm]
>  Hallo ihr Lieben,
>  mal wieder eine Frage, wegen meiner Unsicherheiten.
>  Könnte jemand bitte über meine Aufgaben drüber schauen
> und mir sagen, ob's so stimmt? Das wäre super!
>  
> a) [mm]f'(x)=e^x+xe^x[/mm]
>  [mm]f''(x)=2e^x+xe^x[/mm]


[ok]


>  b) f'(x)=e^-x+x(-e^-x)
>  f''(x)=-2e^-x+xe^-x


[mm]f'\left(x\right)=e^{-x}+x*\left(-e^{-x}\right)[/mm]

[mm]f''\left(x\right)=\left(-2\right)*e^{-x}+x*e^{-x}[/mm]


[ok]


>  c) [mm]f'(x)=e^x+xe^x[/mm]
>  [mm]f''(x)=2e^x+xe^x[/mm]


Diese Ableitungen mußt Du nochmal nachrechnen.


>  
> Danke :-)  


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
e-Funktionen ableiten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:14 Di 08.12.2009
Autor: la_vida

Danke, wenn ich mich nicht irre, dann hatte ich einen Vorzeichenfehler und die Ableitungen müssten folgendermaßen heißen:

[mm] f'(x)=e^x-xe^x [/mm]
[mm] f''(x)=-xe^x [/mm]

Stimmt das?

Bezug
                        
Bezug
e-Funktionen ableiten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:27 Di 08.12.2009
Autor: Herby

Hallo,

> Danke, wenn ich mich nicht irre, dann hatte ich einen
> Vorzeichenfehler und die Ableitungen müssten
> folgendermaßen heißen:
>  
> [mm]f'(x)=e^x-xe^x[/mm]
>  [mm]f''(x)=-xe^x[/mm]
>  
> Stimmt das?

nein, leider nicht - bei der Produktregel musst du einmal den ersten Faktor ableiten und der zweite bleibt bestehen und dann den zweiten ableiten und der erste bleibt bestehen. Deine beiden Faktoren lauten [mm] \blue{(2-x)} [/mm] und [mm] \red{e^{x}} [/mm]

[mm] \left[\blue{u}*\red{v}\right]'=\blue{u'}*\red{v}+\blue{u}*\red{v'} [/mm]

also

[mm] \left[\blue{(2-x)}*\red{e^{x}}\right]'=\blue{...}*\red{...}+\blue{...}*\red{...} [/mm]


Liebe Grüße
Herby

Bezug
                                
Bezug
e-Funktionen ableiten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:34 Di 08.12.2009
Autor: la_vida

Ah, ok alles klar, ich bin da ganz falsch rangegangen.
Danke, jetzt weiß ich bescheid.

Bezug
        
Bezug
e-Funktionen ableiten: Tipp.
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:34 Di 08.12.2009
Autor: M.Rex

Hallo

Wenn du Funktionen ableitest, dessen einer Faktor aus einem Term der Form [mm] e^{\Box} [/mm] besteht, solltest du in der Ableitung nochmal ausklammern, du ersparst dir so einiges an Rechnerei für die nächsten Ableitungen. Ausserdem ist es dann einfacher, die Ableitungen =0 zu setzen, um Extrem- oder Wendestellen zu finden.

Beispiel:

[mm] f(x)=x^{2}*e^{-\bruch{1}{2}x^{2}} [/mm]
[mm] f'(x)=2x*e^{-\bruch{1}{2}x^{2}}+x^{2}*\left(-x*e^{-\bruch{1}{2}x^{2}}\right) [/mm]
[mm] =e^{-\bruch{1}{2}x^{2}}*\left(2x-x^{3}\right) [/mm]
[mm] f''(x)=e^{-\bruch{1}{2}x^{2}}*\left(2-3x^{2}\right)+\left(2x-x^{3}\right)*\left(-x*e^{-\bruch{1}{2}x^{2}}\right) [/mm]
[mm] =e^{-\bruch{1}{2}x^{2}}*\left(2-3x^{2}+(-2x+x^{4})\right) [/mm]
[mm] =e^{-\bruch{1}{2}x^{2}}*\left(2-5x^{2}+x^{4}\right) [/mm]

Marius

Bezug
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