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Hallo :)
Ich bräuchte Hilfe bei der Bildung
der ersten Ableitung
a) f(x)= [mm] \bruch{x^{2}}{e^{x}}
[/mm]
= [mm] x^{2}*(e^{x})^{-1} [/mm] ?
Produktregel:
[mm] u=x^{2} [/mm] u'=2x
[mm] v=(e^{x})^{-1} [/mm] v'= [mm] -e^{-x} [/mm] ?
..ist das bisher hin so richtig?
b) f(x)= [mm] e^{- /wurzel{x}}
[/mm]
Kettenregel:
f(z)= [mm] z^{- /wurzel{x}} [/mm] f'(z)= ?
z(x)= e z(x)= e
..wie muss es hier aussehen? :/
Vielen Dank im Voraus
Gruß
Muellermilch
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Hallo :)
für f' kriege ich dann raus:
f'(x)= [mm] x^{2} [/mm] * [mm] (-e^{-x})+(e^{x})^{-1}*2x
[/mm]
kann man hier noch was machen?
Gruß,
Muellermlich
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Hallo Muellermilch,
> Hallo :)
>
> für f' kriege ich dann raus:
>
> f'(x)= [mm]x^{2}[/mm] * [mm](-e^{-x})+(e^{x})^{-1}*2x[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> kann man hier noch was machen?
Du könntest noch [mm]e^{-x}[/mm] oder auch [mm]xe^{-x}[/mm] ausklammern.
Im Hinblick auf weitere Ableitungen würde ich [mm]e^{-x}[/mm] ausklammern.
>
> Gruß,
> Muellermlich
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:12 So 23.01.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Müllermilch!
Bedenke, dass gilt:
[mm] $e^{-\wurzel{x}} [/mm] \ = \ [mm] e^{-x^{\bruch{1}{2}}}$
[/mm]
Wende für die Ableitung nun die  Kettenregel an.
Gruß
Loddar
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> Hallo Müllermilch!
>
>
> Bedenke, dass gilt:
>
> [mm]e^{-\wurzel{x}} \ = \ e^{-x^{\bruch{1}{2}}}[/mm]
>
ist die ableitung von [mm] z^{-x^{\bruch{1}{2}}} [/mm] dann:
[mm] -x^{\bruch{1}{2}}*z^{-x^{\bruch{1}{2}}} [/mm] ?
> Wende für die Ableitung nun die Kettenregel an.
>
>
> Gruß
> Loddar
>
Gruß,
Muellermlich
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:12 Mo 24.01.2011 | | Autor: | Sierra |
Hallo,
setze z = [mm] -x^\bruch{1}{2}
[/mm]
Dann ist
f(z) = [mm] e^z
[/mm]
und die Ableitung
f'(z) = z' * [mm] e^z
[/mm]
Rechne z' nochmal aus und setze es dann ein, genauso wie du z wieder mit
[mm] -x^\bruch{1}{2} [/mm] ersetzen musst, damit du die Ableitung in Abhängigkeit von x erhältst.
Viele Grüße
Sierra
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> Hallo,
>
> setze z = [mm]-x^\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Dann ist
> f(z) = [mm]e^z[/mm]
> und die Ableitung
> f'(z) = z' * [mm]e^z[/mm]
>
> Rechne z' nochmal aus und setze es dann ein, genauso wie du
> z wieder mit
> [mm]-x^\bruch{1}{2}[/mm] ersetzen musst, damit du die Ableitung in
> Abhängigkeit von x erhältst.
Versteh ich leider nicht ganz
also ich wende jetz die Kettenregel an:
f(z)= [mm] z^{x^{-\bruch{1}{2}}} [/mm] f'(z)= ?
z(x)= e z'(x)=e
Ich weiß nicht wie ich nun auf F'(z) kommen kann
da f(z) einen exponenten enthält der ebenfalls einen exponenten beinhaltet
> Viele Grüße
> Sierra
Gruß,
muellermilch
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Hallo.
Ich möchte versuchen die obige Aufgabe zu lösen und zu erklären.
Wir betrachten die Funktion:
[mm] f(x)=e^{-x^{\bruch{1}{2}}}
[/mm]
Diese Funktion ist verkettet, wie hier bereits gesagt wurde.
Die Verkettung könnte folgendermaßen aussehen:
u : x [mm] \mapsto -x^{\bruch{1}{2}}=y
[/mm]
v : y [mm] \mapsto e^y
[/mm]
Möchtest du nun f(x) ableiten, so gilt:
[mm] f'(x)=u'(x)\cdot\v'(y)
[/mm]
D.h zunächst leitest du u(x) nach x ab.
[mm] u(x)=-x^{\bruch{1}{2}}.
[/mm]
u'(x)=?
-x hat also einen festen Exponenten nämlich [mm] \bruch{1}{2}.
[/mm]
Wie leitet man denn sowas ab?
Ferner gilt ja:
[mm] v'(y)=(e^y)'
[/mm]
Was ist denn die Ableitung der Exponentialfunktion.
Hier ist zu beachten, dass nach y abgeleitet wird und nicht nach x.
Also kommt raus?
Ich hoffe, dass dir meine Erklärung helfen konnte.
Und hier gehe ich nochmal auf deine Frage ein:
Du schreibst: f(z)= $ [mm] z^{x^{-\bruch{1}{2}}} [/mm] $ f'(z)=
Ich denke, dass du dich selbst etwas verwirrt hast.
Was Sierra wohl meinte, war, dass du eine Funktion in Abhängigkeit von z erstellen sollst.
Du gibst also bestimmte Zahlen für die Variable z ein und erhälst bestimmte Werte.
Diese Funktion lautet:
[mm] f(z)=e^z
[/mm]
Deine Anfangsfunktion war jedoch:
[mm] f(x)=e^{-x^{\bruch{1}{2}}}
[/mm]
Deshalb sollst du für [mm] z=-x^{\bruch{1}{2}} [/mm] annehmen, sodass aus
[mm] f(z)=e^z \Rightarrow [/mm] f(x): [mm] e^{-x^{\bruch{1}{2}}} [/mm] folgt.
Diese Funktion sollst du nun ableiten.
[mm] f(z)=e^z [/mm]
Da [mm] z=-x^{\bruch{1}{2}} [/mm] gilt, handelt es sich um eine Verkettung.
Es gilt also: Innere mal Äußere Ableitung
[mm] f'(z)=z'*(e^z)'
[/mm]
Wobei gilt [mm] (e^z)'=e^z [/mm] Ist ja die Besonderheit der e-Funktion.
Und z kannst du denke ich selbst ableiten, wenn du bedenkst, dass [mm] z=-x^{\bruch{1}{2}} [/mm] ist.
Ich hoffe ich konnte dir helfen.
Viele Grüße
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> Hallo.
>
> Ich möchte versuchen die obige Aufgabe zu lösen und zu
> erklären.
>
>
> Wir betrachten die Funktion:
>
> [mm]f(x)=e^{-x^{\bruch{1}{2}}}[/mm]
>
> Diese Funktion ist verkettet, wie hier bereits gesagt
> wurde.
>
> Die Verkettung könnte folgendermaßen aussehen:
>
> u : x [mm]\mapsto -x^{\bruch{1}{2}}=y[/mm]
> v : y [mm]\mapsto e^y[/mm]
>
> Möchtest du nun f(x) ableiten, so gilt:
>
> [mm]f'(x)=u'(x)\cdot\v'(y)[/mm]
>
> D.h zunächst leitest du u(x) nach x ab.
> [mm]u(x)=-x^{\bruch{1}{2}}.[/mm]
> u'(x)=?
>
> -x hat also einen festen Exponenten nämlich [mm]\bruch{1}{2}.[/mm]
> Wie leitet man denn sowas ab?
u'(x)= [mm] -\bruch{1}{2}x^{-\bruch{1}{2}} [/mm] ?!
> Ferner gilt ja:
> [mm]v'(y)=(e^y)'[/mm]
>
> Was ist denn die Ableitung der Exponentialfunktion.
> Hier ist zu beachten, dass nach y abgeleitet wird und
> nicht nach x.
> Also kommt raus?
>
> Ich hoffe, dass dir meine Erklärung helfen konnte.
>
> Und hier gehe ich nochmal auf deine Frage ein:
>
> Du schreibst: f(z)= [mm]z^{x^{-\bruch{1}{2}}}[/mm] f'(z)=
> Ich denke, dass du dich selbst etwas verwirrt hast.
> Was Sierra wohl meinte, war, dass du eine Funktion in
> Abhängigkeit von z erstellen sollst.
Das versteh ich nicht o.O
abhängig von z machen?
> Du gibst also bestimmte Zahlen für die Variable z ein und
> erhälst bestimmte Werte.
Ich möcht es nur ganz einfach nach den Ableitungregeln machen,
nichts extra, sollte auch nicht sein
> Diese Funktion lautet:
> [mm]f(z)=e^z[/mm]
>
> Deine Anfangsfunktion war jedoch:
> [mm]f(x)=e^{-x^{\bruch{1}{2}}}[/mm]
>
> Deshalb sollst du für [mm]z=-x^{\bruch{1}{2}}[/mm] annehmen, sodass
> aus
> [mm]f(z)=e^z \Rightarrow[/mm] f(x): [mm]e^{-x^{\bruch{1}{2}}}[/mm] folgt.
>
> Diese Funktion sollst du nun ableiten.
> [mm]f(z)=e^z[/mm]
> Da [mm]z=-x^{\bruch{1}{2}}[/mm] gilt, handelt es sich um eine
> Verkettung.
ja
> Es gilt also: Innere mal Äußere Ableitung
>
> [mm]f'(z)=z'*(e^z)'[/mm]
>
> Wobei gilt [mm](e^z)'=e^z[/mm] Ist ja die Besonderheit der
> e-Funktion.
> Und z kannst du denke ich selbst ableiten, wenn du
> bedenkst, dass [mm]z=-x^{\bruch{1}{2}}[/mm] ist.
>
> Ich hoffe ich konnte dir helfen.
Aber danke für die Mühe :)
> Viele Grüße
Gruß,
Muellermlich
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Hallo.
Das mit dem Abhängig machen bezog sich auf die Variable z.
Wenn du eine Funktion hast ordnet diese Funktion ja jedem Argument (x-Wert) einen bestimmten Wert zu.
Statt deine Funktion auf x beruhen zu lassen, nimmst du jetzt z.
Aber vergiss das einfach. Ich versuche es nochmal zu erklären:
Deine Ausgangsfunktion bei b) lautet:
[mm] f(x)=e^{-\wurzel{x}}
[/mm]
Nach den Potenzgesetzen gilt:
[mm] \wurzel{x}=x^{\bruch{1}{2}}.
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] \Rightarrow f(x)=e^{-x^\bruch{1}{2}}.
[/mm]
Die Kettenregel habt ihr doch schon besprochen, oder?
Eine verkettete Funktion: [mm] (g\circ{f})(x) [/mm] kann dargestellt werden als:
g(f(x)).
Hierbei sieht man folgendes:
f: x [mm] \mapsto [/mm] y
g: y [mm] \mapsto [/mm] z
In Worten ausgedrückt:
1.Ich nehme ein Argument x und setzte es in die Funktion f ein.
Daraus bekomme ich den Wert y.
2.Der Wert y ist Argument meiner Funktion g.
Ich nehme y und setzte es in g ein und erhalte z.
Genau diesem Procedere folgt die Funktion [mm] f(x)=e^{-x^{\bruch{1}{2}}}
[/mm]
Die Funktion f(x) lässt sich also als Verkettung ausdrücken.
Dies schreiben wir mal so:
v: x [mm] \mapsto -x^{\bruch{1}{2}}=y
[/mm]
u: y [mm] \mapsto e^y
[/mm]
[mm] (u\circ{v})(x)=f(x)
[/mm]
In Worten ausgedrückt:
1. Ich habe ein Argument x (eine beliebige Zahl aus dem Definitionsbereich) und setze sie in meine Funktion v ein.
Diese Funktion ordnet jedem Argument folgenden Wert zu : [mm] -x^{\bruch{1}{2}}=y. [/mm]
2. Diese [mm] y=-x^{\bruch{1}{2}} [/mm] ist jetzt mein Argument für die Funktion u.
Sie ordnet jedem Argument y einen Wert [mm] e^y=z [/mm] zu.
Die Kettenregel besagt jetzt, dass eine verkettete Funktion nach folgendem Prinzip dargestellt werden kann:
[mm] (u\circ\{v})'(x)=v'(x)*u'(y)=v'(x)*u'(v(x))
[/mm]
Ich hoffe nun ist es verständlicher. Solltest du etwas nicht verstehen einfach fragen.
Viele Grüße
Ps: Bei Verkettungen ist es wichtig zu beachten, wie du die Verkettung aufschreibst.
Hast du z.B folgende Verkettung [mm] (u\circ{v})(x) [/mm] mit:
v: x [mm] \mapsto [/mm] 3x=y
u: y [mm] \mapsto y^2
[/mm]
So bedeutet dies: [mm] u(f(x))=(3x)^2 [/mm] und nicht [mm] v(u(y))=3x^2.
[/mm]
D.h die Verkettung ist nicht Kommutativ.
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