ebene schneidet schiefen Zylin < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 Do 11.08.2005 | | Autor: | Fussel |
Hallo,
ich habe folgendes Problem, dass ich rechnerisch lösen muss, es wäre toll, wenn mir jemand weiterhelfen würde. Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Gegeben ist ein schiefer Kreiszylinder. Der Zylinder wird geschnitten durch eine Ebene E.
E ist weder parallel noch senkrecht zur Kreisebene.
E ist nicht parallel zur Zylinderachse, der Schnitt ist also eine Ellipse.
E ist nicht senkrecht zur Zylinderachse, der Schnitt ist also nicht der Querschnitt des Zylinders.
Die Schnittgerade von E und der Kreisebene ist weder parallel noch senkrecht zur Zylinderachse.
Falls ich mich missverständlich ausgedrückt habe: der Schnitt von E und der Kreisebene muss den Kreis nicht schneiden. Mit Kreisebene meine ich die unbegrenzte Ebene, in der der Kreis liegt. Es ist allerdings in Bezug auf meine Frage auch egal.
Meine Frage ist: wie berechne ich die beiden Achsen der Schnittellipse, ihre Längen und ihre Lagen im Raum? Ich würde einen eigenen Lösungsansatz hinzufügen wenn ich einen hätte.
Viele Grüße,
Fussel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:31 Do 11.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Bist du sicher, dass das eine "Schul-Aufgabe" ist? Also, prinzipiell könnte das ja schon sein. Allerdings habe ich in der Schule nie mit Zylindern gerechnet und diese Aufgabe scheint mir doch schon recht komplex zu sein...
Hast du denn den Zylinder und die Ebene gegeben? Vielleicht fällt mir was ein, wenn ich was konkretes vor mir liegen habe und ein bisschen rumrechnen kann...
> Meine Frage ist: wie berechne ich die beiden Achsen der
> Schnittellipse, ihre Längen und ihre Lagen im Raum? Ich
> würde einen eigenen Lösungsansatz hinzufügen wenn ich einen
> hätte.
Was ist denn mit Achse der Schnittellipse gemeint?
Viele Grüße
Bastiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:01 Do 11.08.2005 | | Autor: | Fussel |
Hallo Bastiane,
erst mal: toll, dass Du mir helfen willst. Ich weiß ehrlich gesagt auch nicht, ob das eine Schulaufgabe ist, ich hatte Mathe nicht bis zum Abi.
Mit Schnittellipse meine ich die Ellipse, die der Schnitt des Zylinders mit E ist.
Mit Achsen meine ich den längsten Durchmesser und den kürzesten Durchmesser der Ellipse.
Zylinder und Ebene sind nicht gegeben. Es geht mir darum, wie man dieses Problem allgemein löst, um es auf eine Aufgabe anzuwenden, die etwas komplizierter ist: es sollen drei Zylinder sich durchdringen und eine geschlossene Oberfläche bilden, das Dreieck der Zylinderachsen soll bestimmte Seitenverhältnisse haben (nicht gleichseitig) und außerdem sollen die Schnitte der Zylinder auf drei gegebenen Ebenen liegen. Diese Bedingungen lassen sich, denke ich erfüllen, wenn die Zylinder schief sein dürfen.
Du kannst also irgendwelche Größen festlegen.
Viele Grüße,
Fussel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:33 Do 11.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Fussel!
> Hallo Bastiane,
> erst mal: toll, dass Du mir helfen willst. Ich weiß
> ehrlich gesagt auch nicht, ob das eine Schulaufgabe ist,
> ich hatte Mathe nicht bis zum Abi.
> Mit Schnittellipse meine ich die Ellipse, die der Schnitt
> des Zylinders mit E ist.
> Mit Achsen meine ich den längsten Durchmesser und den
> kürzesten Durchmesser der Ellipse.
> Zylinder und Ebene sind nicht gegeben. Es geht mir darum,
> wie man dieses Problem allgemein löst, um es auf eine
> Aufgabe anzuwenden, die etwas komplizierter ist: es sollen
> drei Zylinder sich durchdringen und eine geschlossene
> Oberfläche bilden, das Dreieck der Zylinderachsen soll
> bestimmte Seitenverhältnisse haben (nicht gleichseitig) und
> außerdem sollen die Schnitte der Zylinder auf drei
> gegebenen Ebenen liegen. Diese Bedingungen lassen sich,
> denke ich erfüllen, wenn die Zylinder schief sein dürfen.
> Du kannst also irgendwelche Größen festlegen.
> Viele Grüße,
> Fussel
Ich fürchte, da kann ich dir doch nicht helfen, das scheint doch alles komplizierter zu sein, als ich dachte. Und eine Schul-Aufgabe ist es wahrscheinlich auch nicht. Wenn du willst, kann ich es ins Forum Uni-Sonstiges verschieben oder von mir aus auch woanders hin. Evlt. hilft dir da eher jemand (aber viele gucken auch immer in allen Foren vorbei...)
Darf ich fragen, was du machst? Brauchst du das beruflich oder so?
Viele Grüße
Bastiane
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Hallo.
Ich denke, man kann annehmen, daß die Achse des Zylinders gegeben ist...
Das Problem vereinfacht sich wesentlich, wenn man ein paar Koordinatentransformationen ausführt.
Zunächsteinmal sollte es recht einfach sein, den Zylinder so zu verschieben, daß die Achse durch den Ursprung geht. Qualitativ ändert sich an der Ellipse im Schnitt natürlich nichts.
Der nächste Schritt wäre, den Zylinder achsenparall zu drehen.
Dabei sollte man auch nicht vergessen, die Ebene gleich mitzudrehen, da sich ja sonst der Schnitt verändert.
Ich weiß nicht, inwieweit Du mit orthogonalen Matrizen vertraut bist, eventuell müßte man hierzu dann etwas länger ausholen, das Thema ist soweit jedoch nicht sehr schwierig.
Was Du danach jedoch hast, ist ein deutlich vereinfachtes Problem,
denn: Du hast deine Ebene (bestenfalls in Koordinatenform) $ax+by+cz+d=0$ und zusätzlich, da der Zylinder ja nun parallel zu einer Achse ist (nehmen wir einfach mal die z-Achse), eine Gleichung der Form [mm] $x^2+y^2=r^2$, [/mm] wobei r der Radius des Zylinders ist.
Dies läßt sich dann ja relativ einfach lösen, genauso läßt sich (sofern das nötig sein sollte), die Drehung sowie die Verschiebung rechnerisch auch recht schnell wieder rückgängig machen.
Gruß,
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:21 Di 23.08.2005 | | Autor: | Fussel |
Hallo Bastiane und Christian,
Vielen Dank für eure Hilfe.
Zu Bastianes Frage, was ich beruflich mache: ich bin Künstler und es geht um ein Objekt, das ich bauen möchte. Drum wußte ich auch nicht genau, in welches Forum die Frage gehört.
Meine Lösung:
Ich hab den Zylinder so verschoben, dass die Zylinderachse auf der y-Achse liegt,
die Hauptachse der Querschnittellipse auf der x-Achse und die Nebenachse auf der z-Achse.
a ist die große Halbachse der Querschnittellipse, b ist die kleine Halbachse
Den Winkel zwischen E und der Zylinderachse habe ich in zwei Winkel [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] zerlegt:
[mm] \alpha [/mm] ist der Winkel zwischen der Zylinderachse und dem Schnitt von E und der xy-Ebene.
2a' ist die Teilstrecke dieser Schnittgeraden, die innerhalb des Zylinders liegt und beträgt also [mm] 2a/sin\alpha
[/mm]
[mm] \beta [/mm] ist der Winkel zwischen der Zylinderachse und dem Schnitt von E und der yz-Ebene.
2b' ist die Teilstrecke dieser Schnittgeraden, die innerhalb des Zylinders liegt und beträgt [mm] 2b/sin\beta.
[/mm]
[mm] \gamma [/mm] ist der Winkel zwischen a' und b'.
[mm] cos\gamma=cos\alpha *cos\beta
[/mm]
Die andere Ellipse, der Schnitt zwischen E und dem Zylinder, kann ja als verzerrte Projektion der Querschnittellipse auf E angesehen werden.
Die Koordinatengleichung für die querschnittellipse ist ja
[mm] x^{2} /a^{2}+y^{2} /b^{2}=1, [/mm] das umgeformt ergibt die Funktionsgleichung [mm] f(x)=b*\wurzel{1- x^{2} /a^{2}}
[/mm]
Für die andere Ellipse gilt dann entsprechend: jedem Abstand x vom Ellipsenmittelpunkt auf a' kann ein Abstand
[mm] b'*\wurzel{1- x^{2} /a'^{2}} [/mm] mit dem Winkel [mm] \gamma [/mm] zugeordnet werden.
So konnte ich die gesuchten Ellipsen zeichnen, außerdem auf der Mantefläche des Zylinders zumindest vier Punkte bestimmen, die auf der Ellipse liegen, nämlich die Randpunkte der Strecken 2a' und 2b', so bin ich zurechtgekommen.
Viele Grüße,
Fussel
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