ebene zweier vektoren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:52 Do 09.03.2006 | | Autor: | thary |
Hallo,
wie berechne ich die Ebene zweier Vektoren? Gleichsetzen? oder wie?
G1= [mm] \vektor{0+r \\ 2+r \\ -1+r}
[/mm]
[mm] G2=\vektor{1+s \\ 3+s \\ 0+0s}
[/mm]
Danke!
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Du benötigst die Punkt-Richtungs-Form:
Ein Punkt [mm] P_{1} [/mm] der Ebene E mit dem Ortsvektor [mm] \vec{r_{1}} [/mm] und zwei nicht-kollineare Richtungsvektoren [mm] \vec{a} \not= \vec{0} [/mm] und [mm] \vec{b} \not= \vec{0} [/mm] der Ebene
$ [mm] \vec{r} [/mm] ( [mm] \lambda [/mm] ; [mm] \mu [/mm] ) = [mm] \vec{r_{1}} [/mm] + [mm] \lambda \vec{a} [/mm] + [mm] \mu \vec{b} [/mm] $
du hast 2 (nicht kollinineare) Richtungsvektoren und benötigst nun einen Punkt.
Wie du schon vermutet hast, erhälst du diesen, wenn du die beiden Richtungsvektoren gleichsetzt.
Gruß
Daniel
//Edit:
Ich habe grade nochmal kurz über deine beiden Vektoren nachgedacht.. wenn du die gleichsetzt würde das nichts bringen, denn du erhälst kein Ergebnis.
Die Vektoren dürften ja bereits Ortsvektoren sein. also ist der Punkt der 0-Punkt ... demnach ist [mm] \vec{r_{1}} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Do 09.03.2006 | | Autor: | thary |
hallo,
danke erstmal.
die richtungsvektoren sind also nur die terme mit t oder alles? und [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] sind nur variabeln?
doch, wenn ich die gleichsetze komme ich auf ein ergebnis.. und habe dann den punkt
r1= [mm] \vektor{1 \\ 3 \\ 0}
[/mm]
danke!
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Hallo und guten Morgen zusammen !
Ist jetzt thary schon zufrieden mit den bereits gegebenen Antworten ?
Erlaube mal, mich einzumischen.
Wenn man die Geradeninterpretation beibehaelt, so gibt es in der Tat den Schnittpunkt
mit den Parametern r=-1 und s=0, also
Schnittpunkt (-1,1,-2)=(0,2,-1)+ [mm] (-1)\cdot [/mm] (1,1,1)
Dann ist die Ebene die Menge aller Vektoren
[mm] \{ (0,2,-1)+r\cdot (1,1,1)+s\cdot (1,1,0)\: |\: r,s\in\IR\}
[/mm]
(oder man nimmt halt anstelle von r und s die Notation [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu).
[/mm]
Ok soweit ?
Gruss,
Mathias
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ich habe bei meiner obrigen Antwort glaube ich die Aufgabe falsch interprätiert...
angenommen G1 und G2 stehen für zwei Graden, dann ist die Aufgabenstellung auch eine ganz andere.
$ [mm] G_{1} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ -1} [/mm] + r [mm] \cdot \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] $
$ [mm] G_{2} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 3 \\ 0} [/mm] + s [mm] \cdot \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] $
Nun sind deine "Vektoren" auch als Gradengleichungen zu erkennen 
wenn die beiden Graden eine Ebene aufspannen, haben sie auch einen Schnittpunkt (dies wäre ggf zu überprüfen.)
einer der beiden Ortsvektoren [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ -1} [/mm] oder [mm] \vektor{1 \\ 3 \\ 0} [/mm] wäre dein [mm] \vec{r_{1}} [/mm] ... die beiden Richtungsvektoren der Geradengleichungen wären dann die beiden Richtungsvektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] der Ebene...
Ich hoffe so stimmts jetzt 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 Do 09.03.2006 | | Autor: | thary |
ok, nun noch eine ganz kurze frage.. für die richtungsvektoren muss ich dann die richtungsvektoren mit den parametern r,s nehmen, die ich vorher ausgerechnet habe, als ich den schnittpunkt berechnet habe,oder?
danke!
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die Parameter s und t oder [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] gehören zur Ebenengleichung du musst diese also nicht näher bestimmen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Do 09.03.2006 | | Autor: | thary |
das heisst ich kann die ebene nich weiter bestimmen?
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eine Ebene besteht aus einem Ortsvektor, 2 Variablen und 2 Richtungsvektoren, da gibt es nichts weiteres zu bestimmen:
E: $ [mm] x=\vec{o}+ \mu \cdot \vec{r_{1}}+\nu \cdot \vec{r_{2}} [/mm] $
[mm] \vec{o}=Ortsvektor
[/mm]
[mm] \vec{r}=Richtungsvektoren
[/mm]
Das ist eine fertige Ebene in der es nichts Weiteres zu bestimmen gibt.
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