eff. Zins mit Newton-Verfahren < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:02 Mo 06.07.2009 | | Autor: | PiPchen |
| Aufgabe | Ein Kredit in Höhe von 100.000 € soll in zehn Jahren
a) durch jährliche Zahlungen von jeweils 12.000 €
b) monatliche Zahlungen von jeweils 1.000 €
vollständig getilgt werden. Berechnen Sie in beiden Fällen den effektiven Jahreszins mit Hilfe des Newton-Verfahrens. Wie verändert sich das Ergebnis bei einmaliger Bearbeitungsgebühr von 1 bzw. 2 % der Kreditsumme ? |
hallo,
also ich habe für Teil a) folgenden Ansatz erst einmal benutzt:
[mm] \summe_{k=1}^{10} [/mm] [k|12.000] = [0|100.000]
[mm] \gdw 12.000*s_{10}(q) [/mm] = 100.000
[mm] \gdw [/mm] 12.000* [ [mm] (1+i_{eff})^{10}-1 [/mm] ] / ( 1 + [mm] i_{eff}) [/mm] - 1 ) = 100.000
[mm] \gdw (1+i_{eff})^{10} [/mm] = [mm] (100.000/12.000)*i_{eff}+1
[/mm]
[mm] \gdw (1+i_{eff})^{10} [/mm] - [mm] (100.000/12.000)*i_{eff} [/mm] - 1 = 0
Ist dieser Ansatz bisher richtig so ??
Danach habe ich x als [mm] i_{eff} [/mm] definiert und das Newton-Verfahren anwenden wollen:
[mm] x_{k+1} [/mm] = [mm] x_{k} [/mm] - ( f(x) / f'(x) )
wenn ich [mm] x_{0} [/mm] = 0,1 wähle, konvergiert diese x-Wert-Folge schnell gegen 0, was ja nicht sein kann.
f(x) sieht bei mir so aus: [mm] (1+x)^{10} [/mm] - (100.000/12.000)*x - 1
f'(x) dementsprechend: 10* [mm] (1+x)^{9} [/mm] - (100.000/12.000)
jemand eine Idee wo was falsch sein könnte ??
außerdem: wie gehe ich in Teil b) vor ? Mir fällt da dieser Ansatz ein :
[mm] \summe_{k=1}^{120} [/mm] [k|1.000] = [0|100.000]
danke für die Hilfe
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Hallo PiPchen,
> Ein Kredit in Höhe von 100.000 € soll in zehn Jahren
>
> a) durch jährliche Zahlungen von jeweils 12.000 €
> b) monatliche Zahlungen von jeweils 1.000 €
>
> vollständig getilgt werden. Berechnen Sie in beiden
> Fällen den effektiven Jahreszins mit Hilfe des
> Newton-Verfahrens. Wie verändert sich das Ergebnis bei
> einmaliger Bearbeitungsgebühr von 1 bzw. 2 % der
> Kreditsumme ?
> hallo,
>
> also ich habe für Teil a) folgenden Ansatz erst einmal
> benutzt:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{10}[/mm] [k|12.000] = [0|100.000]
Diese Notation ist mir unbekannt.
>
> [mm]\gdw 12.000*s_{10}(q)[/mm] = 100.000
> [mm]\gdw[/mm] 12.000* [ [mm](1+i_{eff})^{10}-1[/mm] ] / ( 1 + [mm]i_{eff})[/mm] - 1 )
> = 100.000
> [mm]\gdw (1+i_{eff})^{10}[/mm] = [mm](100.000/12.000)*i_{eff}+1[/mm]
> [mm]\gdw (1+i_{eff})^{10}[/mm] - [mm](100.000/12.000)*i_{eff}[/mm] - 1 = 0
>
> Ist dieser Ansatz bisher richtig so ??
Ich denke, daß die Restschuld auch noch verzinst wird.
>
> Danach habe ich x als [mm]i_{eff}[/mm] definiert und das
> Newton-Verfahren anwenden wollen:
>
> [mm]x_{k+1}[/mm] = [mm]x_{k}[/mm] - ( f(x) / f'(x) )
>
> wenn ich [mm]x_{0}[/mm] = 0,1 wähle, konvergiert diese x-Wert-Folge
> schnell gegen 0, was ja nicht sein kann.
>
> f(x) sieht bei mir so aus: [mm](1+x)^{10}[/mm] - (100.000/12.000)*x
> - 1
> f'(x) dementsprechend: 10* [mm](1+x)^{9}[/mm] - (100.000/12.000)
[mm]x=0[/mm] ist aber Nullstelle der Funktion [mm]f\left(x\right)[/mm].
>
> jemand eine Idee wo was falsch sein könnte ??
>
>
> außerdem: wie gehe ich in Teil b) vor ? Mir fällt da
> dieser Ansatz ein :
>
> [mm]\summe_{k=1}^{120}[/mm] [k|1.000] = [0|100.000]
>
> danke für die Hilfe
>
> vielen dank
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Di 07.07.2009 | | Autor: | PiPchen |
Dass es so nicht stimmen kann, hab ich ja auch gemerkt.
aber wo ist der Fehler ? Das mit der Restschuld glaub ich nicht. Über den effektiven Zinssatz soll die Gleichung ja genau aufgehen.
Hat jemand eine Idee, wo man konkret was anders machen muss ?
danke
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Hallo PiPchen,
> Dass es so nicht stimmen kann, hab ich ja auch gemerkt.
>
> aber wo ist der Fehler ? Das mit der Restschuld glaub ich
> nicht. Über den effektiven Zinssatz soll die Gleichung ja
> genau aufgehen.
Nun, die Funktion die Du aufgestellt hast,
ist für [mm] x \ge 0 [/mm] monoton steigend.
Somit kann diese Funktion für x>0 keine Nullstelle haben.
Der Fehler liegt dann im Ansatz.
>
> Hat jemand eine Idee, wo man konkret was anders machen muss
> ?
>
> danke
Gruß
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:42 Mi 08.07.2009 | | Autor: | Josef |
> Ein Kredit in Höhe von 100.000 € soll in zehn Jahren
>
> a) durch jährliche Zahlungen von jeweils 12.000 €
> b) monatliche Zahlungen von jeweils 1.000 €
>
> vollständig getilgt werden. Berechnen Sie in beiden
> Fällen den effektiven Jahreszins mit Hilfe des
> Newton-Verfahrens. Wie verändert sich das Ergebnis bei
> einmaliger Bearbeitungsgebühr von 1 bzw. 2 % der
> Kreditsumme ?
> hallo,
>
> also ich habe für Teil a) folgenden Ansatz erst einmal
> benutzt:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{10}[/mm] [k|12.000] = [0|100.000]
>
> [mm]\gdw 12.000*s_{10}(q)[/mm] = 100.000
> [mm]\gdw[/mm] 12.000* [ [mm](1+i_{eff})^{10}-1[/mm] ] / ( 1 + [mm]i_{eff})[/mm] - 1 )
> = 100.000
> [mm]\gdw (1+i_{eff})^{10}[/mm] = [mm](100.000/12.000)*i_{eff}+1[/mm]
> [mm]\gdw (1+i_{eff})^{10}[/mm] - [mm](100.000/12.000)*i_{eff}[/mm] - 1 = 0
>
> Ist dieser Ansatz bisher richtig so ??
>
der Ansatz zu a) lautet:
[mm] 100.000*q^{10} [/mm] - [mm] 12.000*\bruch{q^{10}-1}{q-1} [/mm] = 0
Viele Grüße
Josef
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 Mi 08.07.2009 | | Autor: | PiPchen |
hey danke für den Hinweis. ich habe heute erfahren, dass der effektive Zinssatz für den fall a) ohne Gebühr 3,87% betragen soll.
Dein Ansatz erscheint mir eigentlich richtig, aber wenn ich dort für q dann 1,0387 einsetze, hab ich immer noch keine Nullstelle ...
Diese Aufgabe zermürbt mich ^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:44 Do 09.07.2009 | | Autor: | Josef |
> hey danke für den Hinweis. ich habe heute erfahren, dass
> der effektive Zinssatz für den fall a) ohne Gebühr 3,87%
> betragen soll.
> Dein Ansatz erscheint mir eigentlich richtig, aber wenn
> ich dort für q dann 1,0387 einsetze, hab ich immer noch
> keine Nullstelle ...
> Diese Aufgabe zermürbt mich ^^
Hallo,
3,87 % erhalte ich bei einer Gebühr von 2 %.
genaues Ergebnis: q = 1,038625825
Zu Aufgabe a) ohne Gebühr erhalte ich:
[mm] 100.000*q^{10} [/mm] - [mm] 12.000*\bruch{q^{10}-1}{q-1} [/mm] = 0
q = 1,034601537997
Viele Grüße
Josef
q = 1,0346
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:33 Mo 13.07.2009 | | Autor: | PiPchen |
hey,
also laut den aufzeichnungen eines anderen studenten sollen sich folgende lösungen ergeben:
0% Gebühr: 3,87% effektiver Zins
1% Gebühr: 4,20% "
2% Gebühr: 4,33% "
na ja mir fällt jetzt auch nichts anderes mehr ein, worans liegen kann.
der ansatz scheint ja richtig zu sein.
danke für die hilfe bisher
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:37 Mo 13.07.2009 | | Autor: | Josef |
> also laut den aufzeichnungen eines anderen studenten sollen
> sich folgende lösungen ergeben:
>
> 0% Gebühr: 3,87% effektiver Zins
> 1% Gebühr: 4,20% "
> 2% Gebühr: 4,33% "
>
> na ja mir fällt jetzt auch nichts anderes mehr ein, worans
> liegen kann.
> der ansatz scheint ja richtig zu sein.
>
meine ich auch.
Mach die Probe. Nimm die Formel für die Ermittlung der Annuitätenrate:
A = [mm] 100.000*\bruch{1,0387^{10}*0,0387}{1,0387^{10}-1}
[/mm]
A = nicht 12.000 !!!
Der "andere Student" soll dir doch mal die Rechnung vorrechnen, oder den richtigen Lösungsansatz geben:
Viele Grüße
Josef
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:16 Mo 13.07.2009 | | Autor: | PiPchen |
na ja der hat auch nur diese lösungen zum überprüfen. die rechnung wurde bei ihm auch ausgelassen. na ja ich belass es mal dabei. danke für die hilfe =)
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