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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:12 So 23.01.2011 | | Autor: | Braten |
| Aufgabe | | Wenn [mm] x\in \Lambda^n(V), y\in \Lambda^m(V) [/mm] => x [mm] \wedge [/mm] y [mm] =(-1)^{m*n}* [/mm] y [mm] \wedge [/mm] x |
Hallo,
ich hoffe ihr könnt mir bei meinem kleinen Problem helfe. Ich möchte gerne obige Gleichung beweisen. Leider bin ich noch etwas unbeholfen in diesem Thema. Naja hier erstmal mein Ansatz. Im folgenden sei [mm] T^k [/mm] der Alternator und sei weiterhin [mm] x\otimes y=\summe_{i=1}^{k}(v_1_i\otimes...\otimes v_{(n+m)}_i) [/mm] dann gilt erstmal:
[mm] x\wedge [/mm] y [mm] =\bruch{(n+m)!}{n!*m!}*T^{n+m}(x\otimes [/mm] y)
[mm] =\bruch{(n+m)!}{n!*m!}*T^{n+m}(\summe_{i=1}^{k}(v_1_i\otimes...\otimes v_{(n+m)}_i)=\bruch{(n+m)!}{n!*m!}*\summe_{i=1}^{k}T^{n+m}((v_1_i\otimes...\otimes v_{(n+m)}_i)
[/mm]
[mm] =\bruch{(n+m)!}{n!*m!}*\summe_{i=1}^{k}(\bruch{1}{(n+m)!}*\sum_{\sigma\in S_{n+m}} sgn(\sigma)(v_{\sigma(1i)} \otimes...\otimes v_{\sigma{(n+m)i}})
[/mm]
ist das soweit erstmal richtig?? Leider wird mir diese Summe zu unübersichtlich. Kennt jemand einen besseren weg?
Gruß
Braten
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Braten!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Wenn [mm]x\in \Lambda^n(V), y\in \Lambda^m(V)[/mm] => x [mm]\wedge[/mm] y
> [mm]=(-1)^{m*n}*[/mm] y [mm]\wedge[/mm] x
>
> Hallo,
>
> ich hoffe ihr könnt mir bei meinem kleinen Problem helfe.
> Ich möchte gerne obige Gleichung beweisen. Leider bin ich
> noch etwas unbeholfen in diesem Thema. Naja hier erstmal
> mein Ansatz. Im folgenden sei [mm]T^k[/mm] der Alternator
Den benötigen wir hier nicht!
> und sei
> weiterhin [mm]x\otimes y=\summe_{i=1}^{k}(v_1_i\otimes...\otimes v_{(n+m)}_i)[/mm]
> dann gilt erstmal:
>
> [mm]x\wedge[/mm] y [mm]=\bruch{(n+m)!}{n!*m!}*T^{n+m}(x\otimes[/mm] y)
>
> [mm]=\bruch{(n+m)!}{n!*m!}*T^{n+m}(\summe_{i=1}^{k}(v_1_i\otimes...\otimes v_{(n+m)}_i)=\bruch{(n+m)!}{n!*m!}*\summe_{i=1}^{k}T^{n+m}((v_1_i\otimes...\otimes v_{(n+m)}_i)[/mm]
>
> [mm]=\bruch{(n+m)!}{n!*m!}*\summe_{i=1}^{k}(\bruch{1}{(n+m)!}*\sum_{\sigma\in S_{n+m}} sgn(\sigma)(v_{\sigma(1i)} \otimes...\otimes v_{\sigma{(n+m)i}})[/mm]
>
> ist das soweit erstmal richtig?? Leider wird mir diese
> Summe zu unübersichtlich. Kennt jemand einen besseren
> weg?
Als erstes stellt man fest, dass es genügt die Behauptung für zerlegte Elemente zu zeigen.
Sei also [mm] $x=v_1\wedge \ldots \wedge v_n$ [/mm] und [mm] $y=v_{n+1}\wedge\ldots \wedge v_{n+m}$
[/mm]
Die Aussage folgt dann (offenbar?) aus:
[mm] $v_{\sigma 1}\wedge \ldots \wedge v_{\sigma (n+m)} [/mm] = [mm] (\text{Sign}\, \sigma)v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n+m}$
[/mm]
>
> Gruß
> Braten
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 So 23.01.2011 | | Autor: | Braten |
Vielen Dank für deine Hilfe. Benutzt du hier die Tatsache, dass
sgn(ab)=sgn(a)*sgn(b) für zwei permutationen gilt?
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Hallo Braten!
> Vielen Dank für deine Hilfe. Benutzt du hier die Tatsache,
> dass
> sgn(ab)=sgn(a)*sgn(b) für zwei permutationen gilt?
Ja!
LG mathfunnel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:04 So 23.01.2011 | | Autor: | Braten |
Dann wäre das geklärt! Vielen Dank für deine Hilfe mathfunnel. Da fühl ich mich hier gleich richtig wohl
Gruß
Braten
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