eigenschaft von Ableitung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:45 Sa 20.01.2007 | | Autor: | CPH |
| Aufgabe | eine Funktion [mm] f:\IR \to \IR [/mm] heißt gerade, wenn [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] gilt:
f(-x)=f(x),
sie heißt ungerade, wenn [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] gilt:
f(-x)=-f(x)
Zeige, dass die Ableitung einer diff'baren geraden Funktion ungerade und die einer ungeraden Funktion gerade ist. |
Anschaulich ist dieses problem sowas von klar:
BSP:
Polynome:
gerade polynome haben nur gerade exponenten.
(ableitungsregeln haben wir noch nicht bewiesen...)
aber wenn ich so eine Funktion ableite, dann sind alle exponenten ungerade
also eine Ungerade funktion.
Aber wie zeige ich das für alle geraden Funktionen, wie sieht eine gerade Funktion allgemein aus???
MFG
CH
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[mm] $\rmfamily \text{Hi,}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Die allgemeine Form eines Types von Funktionen, z.\,B. ganzrationaler Funktionen, die gerade sind, ist ja}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily f\colon \mathbbm{R}\to\mathbbm{R},x\mapsto a_{n}x^n+a_{n-2}x^{n-2}+\dots+a_{2}x^2+a_{0}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Ich weiß zwar nicht, ob das so geht, aber ich könnte mir vorstellen, dass man einfach mal für gerade}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Funktionen }2n\text{ als Exponent annimmt, da das doppelte einer Zahl ja immer gerade ist.}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily f\colon \mathbbm{R}\to\mathbbm{R},x\mapsto a_{2n}x^{2n}+a_{2n-2}x^{2n-2}+\dots+a_{2}x^{2}+a_{0}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Wenn man das jetzt ableitet, ist zu sehen, dass die Exponenten immer ungerade sind.}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Ist das akzeptabel so?}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Gruß, Stefan.}$
[/mm]
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Einfach beide Seiten differenzieren. Beachte, daß [mm]x \mapsto f(-x)[/mm] eine Verkettung ist mit [mm]x \mapsto -x[/mm] als innerer und [mm]t \mapsto f(t)[/mm] als äußerer Funktion. Wenn du die Kettenregel bereits verwenden darfst, ist diese Aufgabe also ein Klacks. Andernfalls mußt du das Ableiten über den Differenzenquotienten bewerkstelligen.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:53 So 21.01.2007 | | Autor: | CPH |
erst mal vielen Dank an alle
Ich darf die kettenregel nicht anwenden.
wie soll ich denn das mit dem differentialquotienten machen, ich kenn den nur für eine Funktion, nicht für die Verkettung!
wie sieht der ansatz aus??
MFG
CPH
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Di 23.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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