eindeutiger Fixpunkt < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:52 Sa 28.04.2018 | | Autor: | Noya |
| Aufgabe | Sei X = [mm] (0,\infty) [/mm] ausgestattet mit der Standard-Metrik d(x,y) = |x−y| für alle x,y [mm] \in [/mm] X und f [mm] \in C^{1}(X;X) [/mm] so, dass [mm] x|f'(x)|\le [/mm] kf(x) für alle x [mm] \in [/mm] X für ein k [mm] \in [/mm] [0,1). Zeige, dass f einen eindeutigen Fixpunkt besitzt.
Tipp: Zeige zunächst, dass [mm] d_1(x,y) [/mm] = |ln(x)−ln(y)| eine Metrik auf X definiert. |
Hallo ihr Lieben,
Zunächst zeige ich den Hinweis:
[mm] d_1(x,y)=|ln(x)-ln(y)| [/mm] Metrik auf X=(0, [mm] \infty)
[/mm]
1.) [mm] d_1(x,y)=0\gdw ln(x)-ln(y)=0\gdw [/mm] x=y
2.) [mm] d_1(x,y)=|ln(x)-ln(y)|=|(-1)*(ln(y)-ln(x)|=|ln(y)-ln(x)| [/mm] = [mm] d_1(y,x)
[/mm]
3.) [mm] d_1(x,z)=|ln(x)-ln(z)|=|ln(x)-ln(y)+ln(y)-ln(z)| \le [/mm] |ln(x)-ln(y)|+|ln(y) [mm] -ln(z)|=d_1(x,y)+d_1(y,z)
[/mm]
[mm] \Rightarrow d_1(x,y)=|ln(x)-ln(y)| [/mm] Metrik auf X
so aber nun weiß ich nicht recht weiter mit der Aufgabe. Könnte mir da bitte jemand auf die Sprünge helfen.
Vielen Dank
Noya
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Hiho,
1.) Wann ist eine Funktion zu einer bestimmten Metrik $d$ denn eine Kontraktion?
2.) Umstellen deiner Gleichung gibt dir: [mm] $\frac{|f'(t)|}{f(t)} \le [/mm] k [mm] \frac{1}{t}$ [/mm] für alle [mm] $t\in [/mm] X$.
Integriere nun beide Seiten über den Bereich $[y,x]$ und bedenke, dass das Riemann-Integral monoton ist.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:34 So 29.04.2018 | | Autor: | Noya |
> Hiho,
>
> 1.) Wann ist eine Funktion zu einer bestimmten Metrik [mm]d[/mm]
> denn eine Kontraktion?
>
Eine Abbildung f : X [mm] \to [/mm] Y zwischen metrischen Räumen (M1,d1) und (M,d2) heißt kontrahierend oder strikt-kontraktiv, wenn es ein k [mm] \in [/mm] ]0,1[ gibt, so dass für alle [mm] x_1,x_2 \in M_1
[/mm]
[mm] d_2(f(x_1),f(x_2) \le k*d_1(x_1,x_2). [/mm] Die Zahl k heißt auch ein Kontraktionsmodul von f.
> 2.) Umstellen deiner Gleichung gibt dir:
> [mm]\frac{|f'(t)|}{f(t)} \le k \frac{1}{t}[/mm] für alle [mm]t\in X[/mm].
stimmt. darf ich ja da f [mm] \in C^1 [/mm] ist und somit f [mm] \not= [/mm] 0 und [mm] x\not= [/mm] 0 , da x [mm] \in X=(0,\infty)
[/mm]
> Integriere nun beide Seiten über den Bereich [mm][y,x][/mm] und
> bedenke, dass das Riemann-Integral monoton ist.
[mm] \integral_{y}^{x}{\frac{|f'(t)|}{f(t)} dt} \le \integral_{y}^{x}{k \frac{1}{t}dt}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] ln(x)-ln(y) [mm] \le [/mm] k*(ln(x)-ln(y))
[mm] \gdw d_1(x,y) \le k*d_1(x,y)
[/mm]
und da wir gezeigt haben, dass [mm] d_1(x,y) [/mm] Metrik ist gilt aus dem obigen
[mm] d_1(x,y) \le k*d_1(x,y) [/mm] also f Selbstabb. & kontraktion. [mm] \Rightarrow [/mm] f besitzt nach BFS eindeutigen Fixpunkt
Wäre das so korrekt?
Danke für deine Hilfe :)
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Hiho,
> Wäre das so korrekt?
Von der Idee her gut, Umsetzung nein.
> stimmt. darf ich ja da f [mm]\in C^1[/mm] ist und somit f [mm]\not=[/mm] 0 und [mm]x\not=[/mm] 0 , da x [mm]\in X=(0,\infty)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\integral_{y}^{x}{\frac{|f'(t)|}{f(t)} dt} \le \integral_{y}^{x}{k \frac{1}{t}dt}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] ln(x)-ln(y) [mm]\le[/mm] k*(ln(x)-ln(y))
> [mm]\gdw d_1(x,y) \le k*d_1(x,y)[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Sowieso schon nicht [mm] $\gdw$ [/mm] und unkonzentriert aufgeschrieben!
Machen wir es kleinschrittig:
1.) Es ist im Allgemeinen sowieso immer [mm] $\integral_{y}^{x}{\frac{|f'(t)|}{f(t)} dt} \not= \ln(x)-\ln(y) [/mm] $, was du vermutlich meintest war aber eh [mm] $\integral_{y}^{x}{\frac{|f'(t)|}{f(t)} dt} [/mm] = [mm] \ln(f(x))-\ln(f(y)) [/mm] $ aber das stimmt auch im Allgemeinen nicht. Was aber stimmt, ist [mm] $\integral_{y}^{x}{\frac{f'(t)}{f(t)} dt} [/mm] = [mm] \ln(f(x))-\ln(f(y)) [/mm] $
2.) Es gilt auch nicht [mm] $d_1(x,y) \not= \ln(x) [/mm] - [mm] \ln(y)$, [/mm] sondern [mm] $d_1(x,y) [/mm] = [mm] |\ln(x) [/mm] - [mm] \ln(y)|$
[/mm]
In beiden Fällen hast du also die Beträge nicht beachtet!
Versuche also mit den Rechenregeln fürs Integral herzuleiten, dass gilt:
[mm] $d_1(f(x),f(y)) \le \integral_{y}^{x}{\frac{|f'(t)|}{f(t)} dt} \le \integral_{y}^{x}{k \frac{1}{t}dt} \le kd_1(x,y)$
[/mm]
Nicht so schlampig aufschreiben, sauberer arbeiten!
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 So 29.04.2018 | | Autor: | Noya |
ja stimmt... war sehr schlampig und in eile dahin geschmiert...
> Versuche also mit den Rechenregeln fürs Integral
> herzuleiten, dass gilt:
>
> [mm]d_1(f(x),f(y)) \le \integral_{y}^{x}{\frac{|f'(t)|}{f(t)} dt} \le \integral_{y}^{x}{k \frac{1}{t}dt} \le kd_1(x,y)[/mm]
>
[mm] d_1(f(x),f(y))=|ln(f(x))-ln(f(y))|= |\integral_{y}^{x}{\frac{f'(t)}{f(t)} dt}| \le \integral_{y}^{x} |{\frac{f'(t)}{f(t)}| dt} [/mm] da hänge ich dann damit das [mm] \le \integral_{y}^{x} {\frac{|f'(t)|}{f(t)} dt} [/mm]
weiter gilt
[mm] \integral_{y}^{x}{k \frac{1}{t}dt}=k*(ln(x)-ln(y)) \le k*|(ln(x)-ln(y))|=kd_1(x,y)
[/mm]
aber da fehlen mir wie gesagt zwischenschritte, die ich gerade nicht hinkriege...Wärst du da nochmal so nett und würdest mir auf den Sprung helfen?
wenn ich das gezeigt hätte,würde doch mit der argumentation aus der vorherigen frage folgen, dass f nur einen Fixpunkt hat oder?
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Hiho,
> [mm]d_1(f(x),f(y))=|ln(f(x))-ln(f(y))|= |\integral_{y}^{x}{\frac{f'(t)}{f(t)} dt}| \le \integral_{y}^{x} |{\frac{f'(t)}{f(t)}| dt}[/mm]
> da hänge ich dann damit das [mm]\le \integral_{y}^{x} {\frac{|f'(t)|}{f(t)} dt}[/mm]
f ist eine Abbildung [mm] $f:X\to [/mm] X$, und [mm] $X=\ldots$, [/mm] damit ist $f(x) [mm] \ldots$
[/mm]
> wenn ich das gezeigt hätte,würde doch mit der
> argumentation aus der vorherigen frage folgen, dass f nur
> einen Fixpunkt hat oder?
Jo, wenn du den (trivialen) Schritt oben hast, dann sind die Eigenschaften des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt und aus dem folgt dann das Gewünschte.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 So 29.04.2018 | | Autor: | Noya |
> Hiho,
>
> > [mm]d_1(f(x),f(y))=|ln(f(x))-ln(f(y))|= |\integral_{y}^{x}{\frac{f'(t)}{f(t)} dt}| \le \integral_{y}^{x} |{\frac{f'(t)}{f(t)}| dt}[/mm]
> > da hänge ich dann damit das [mm]\le \integral_{y}^{x} {\frac{|f'(t)|}{f(t)} dt}[/mm]
>
> f ist eine Abbildung [mm]f:X\to X[/mm], und [mm]X=\ldots[/mm], damit ist
> [mm]f(x) \ldots[/mm]
f(x) > 0 , aber Ableitung kann dennoch negativ werden... also
[mm] \integral_{y}^{x} |{\frac{f'(t)}{f(t)} |dt} \le \integral_{y}^{x} {\frac{|f'(t)|}{f(t)} dt} \le \integral_{y}^{x} {\frac{k}{t} dt}\le [/mm] ... [mm] \le d_1(x,y)
[/mm]
> Jo, wenn du den (trivialen) Schritt oben hast, dann sind
> die Eigenschaften des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt
> und aus dem folgt dann das Gewünschte.
so oder?
Danke :D
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Hiho,
> f(x) > 0 , aber Ableitung kann dennoch
> negativ werden... also
>
> [mm]\integral_{y}^{x} |{\frac{f'(t)}{f(t)} |dt} \le \integral_{y}^{x} {\frac{|f'(t)|}{f(t)} dt} \le \integral_{y}^{x} {\frac{k}{t} dt}\le[/mm]
> ... [mm]\le d_1(x,y)[/mm]
Passt… die erste Ungleichung ist sogar eine Gleichung, es ist doch: [mm] $\left|\frac{f'(t)}{f(t)}\right [/mm] | = [mm] \frac{|f'(t)|}{|f(t)|} [/mm] = [mm] \frac{|f'(t)|}{f(t)}$
[/mm]
Gruß,
Gono
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:48 Mo 30.04.2018 | | Autor: | fred97 |
Nach den Hilfestellungen von Gono sieht es so aus, als sei die Aufgabe gelöst.
Dem ist aber (noch) nicht so: zu zeigen ist noch, dass [mm] $(X,d_1)$ [/mm] ein vollständiger metrischer Raum ist.
Bekommst Du das hin ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 Mo 30.04.2018 | | Autor: | Noya |
> Nach den Hilfestellungen von Gono sieht es so aus, als sei
> die Aufgabe gelöst.
>
> Dem ist aber (noch) nicht so: zu zeigen ist noch, dass
> [mm](X,d_1)[/mm] ein vollständiger metrischer Raum ist.
>
> Bekommst Du das hin ?
ich bin mir sehr unsciher gerade.
unsere definition:
Sei (M,d) ein metrischer Raum. Seien [mm] (x_n)_n \subset [/mm] M eine Folge und x [mm] \subset [/mm] M. Man sagt :
a) [mm] (x_n)_n [/mm] konvergiert gegen x, falls [mm] \forall \epsilon [/mm] >0 [mm] \exists n_0 \in \IN [/mm] : [mm] d(x_n,x_m) [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] gilt für alle n > [mm] n_0.
[/mm]
b) [mm] (x_n)_n [/mm] konvergiert in M, falls ein x [mm] \IN [/mm] M existiert, so dass [mm] x_n \to_{d} [/mm] x
[mm] c)(x_n)_n [/mm] heißt Cauchy-Folge, falls [mm] \forall \epsilon [/mm] >0 [mm] \exists n_0 \in \IN [/mm] : [mm] d(x_n,x_m) [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] für alle n,m [mm] \le n_0.
[/mm]
d) Der metrische Raum (M,d) heißt vollständig, falls jede Cauchy-Folge in M konvergiert.
oder
Sei M ein vollständiger metrischer Raum und A [mm] \subset [/mm] M. Dann gilt
A ist vollständig [mm] \gdw [/mm] A ist abgeschlossen.
hier mit [mm] A=X=(0,\infty) [/mm] und M = [mm] \IR
[/mm]
ich will zeigen, dass X bzgl [mm] d_1(x,y)=|ln(x)-ln(y)| [/mm] metrischer Raum ist.
ich bekomme gerade nicht gezeigt, dass jede Cauchyfolge in X konvergiert oder, dass [mm] (0,\infty) [/mm] abgeschlossen ist.
Würde mir da bitte nochmal jemand helfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:44 Mo 30.04.2018 | | Autor: | fred97 |
> > Nach den Hilfestellungen von Gono sieht es so aus, als sei
> > die Aufgabe gelöst.
> >
> > Dem ist aber (noch) nicht so: zu zeigen ist noch, dass
> > [mm](X,d_1)[/mm] ein vollständiger metrischer Raum ist.
> >
> > Bekommst Du das hin ?
> ich bin mir sehr unsciher gerade.
>
> unsere definition:
> Sei (M,d) ein metrischer Raum. Seien [mm](x_n)_n \subset[/mm] M
> eine Folge und x [mm]\subset[/mm] M. Man sagt :
> a) [mm](x_n)_n[/mm] konvergiert gegen x, falls [mm]\forall \epsilon[/mm] >0
> [mm]\exists n_0 \in \IN[/mm] : [mm]d(x_n,x_m)[/mm] < [mm]\epsilon[/mm] gilt für alle
> n > [mm]n_0.[/mm]
> b) [mm](x_n)_n[/mm] konvergiert in M, falls ein x [mm]\IN[/mm] M existiert,
> so dass [mm]x_n \to_{d}[/mm] x
> [mm]c)(x_n)_n[/mm] heißt Cauchy-Folge, falls [mm]\forall \epsilon[/mm] >0
> [mm]\exists n_0 \in \IN[/mm] : [mm]d(x_n,x_m)[/mm] < [mm]\epsilon[/mm] für alle n,m
> [mm]\le n_0.[/mm]
> d) Der metrische Raum (M,d) heißt vollständig,
> falls jede Cauchy-Folge in M konvergiert.
>
> oder
>
> Sei M ein vollständiger metrischer Raum und A [mm]\subset[/mm] M.
> Dann gilt
> A ist vollständig [mm]\gdw[/mm] A ist abgeschlossen.
> hier mit [mm]A=X=(0,\infty)[/mm] und M = [mm]\IR[/mm]
>
>
> ich will zeigen, dass X bzgl [mm]d_1(x,y)=|ln(x)-ln(y)|[/mm]
> metrischer Raum ist.
>
> ich bekomme gerade nicht gezeigt, dass jede Cauchyfolge in
> X konvergiert oder, dass [mm](0,\infty)[/mm] abgeschlossen ist.
>
> Würde mir da bitte nochmal jemand helfen?
Sei [mm] (x_n) [/mm] eine Cauchyfolge in [mm] (X,d_1). [/mm] Wegen
[mm] |\ln(x_n)- \ln(x_m)| =d_1(x_n,x_m)
[/mm]
ist ( [mm] \ln(x_n)) [/mm] eine Cauchyfolge in $ [mm] (\IR,| \cdot|)$. [/mm] Da $ [mm] (\IR,| \cdot|)$ [/mm] vollständig ist, ex. ein [mm] y_0 \in \IR [/mm] mit
| [mm] \ln(x_n)-y_0| \to [/mm] 0.
Dann ist [mm] e^{y_0} \in [/mm] X und [mm] d_1(x_n, e^{y_0}) \to [/mm] 0.
[mm] (x_n) [/mm] konvergiert also in [mm] (X,d_1) [/mm] gegen [mm] e^{y_0}.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Mo 30.04.2018 | | Autor: | Noya |
Erstmal vielen Dank!
Noch eine Frage dazu und zwar :
müsste man das auch über dieses kriterium zeigen können, oder?
> > Sei M ein vollständiger metrischer Raum und A [mm]\subset[/mm] M.
> > Dann gilt
> > A ist vollständig [mm]\gdw[/mm] A ist abgeschlossen.
> > hier mit [mm]A=X=(0,\infty)[/mm] und M = [mm]\IR[/mm]
Wir wissen ja, dass [mm] (\IR,d_1) [/mm] metrischer raum ist und X [mm] \subset \IR.
[/mm]
Wie würde das dann funktionieren?
Also zz., dass X abgeschlossen ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 Mo 30.04.2018 | | Autor: | fred97 |
> Erstmal vielen Dank!
> Noch eine Frage dazu und zwar :
> müsste man das auch über dieses kriterium zeigen
> können, oder?
>
> > > Sei M ein vollständiger metrischer Raum und A [mm]\subset[/mm] M.
> > > Dann gilt
> > > A ist vollständig [mm]\gdw[/mm] A ist abgeschlossen.
>
> > > hier mit [mm]A=X=(0,\infty)[/mm] und M = [mm]\IR[/mm]
> Wir wissen ja, dass [mm](\IR,d_1)[/mm] metrischer raum ist
Ja,ja, manchmal weiss man Sachen, die gar nicht stimmen.
[mm] d_1 [/mm] ist keine Metrik auf [mm] \IR, [/mm] da nur definiert für positive x,y
> und X
> [mm]\subset \IR.[/mm]
> Wie würde das dann funktionieren?
> Also zz., dass X abgeschlossen ist?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:43 Mo 30.04.2018 | | Autor: | Noya |
Stimmt! Nicht drüber nachgedacht ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
Danke :D
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