eindimensionaler Vektorraum < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:04 Fr 20.07.2012 | | Autor: | Hakki |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich bin grade dabei einen Beweis nachzuarbeiten, den wir in der linearen Algebra hatten. Ein kleiner Teil davon ist mir nicht klar.
Wir haben [mm] A_{1},...,A_{r} [/mm] kommutierende Endomorphismen in einem K-Vektorraum V mit dim(V) = 1.
Wir möchten zeigen, dass die kommutierenden Endomorphismen einen gemeinsamen Eigenvektor haben.
Jetzt steht im Beweis, dass, wenn dim(V) = 1 gilt, dann haben alle [mm] A_{i} \in [/mm] K unendlich viele Eigenvektoren v [mm] \in [/mm] K und deswegen sei der Fall trivial.
Aber wieso haben die dann unendlich viele Eigenvektoren?
Danke für das Beantworten!
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Hallo,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo,
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> ich bin grade dabei einen Beweis nachzuarbeiten, den wir in
> der linearen Algebra hatten. Ein kleiner Teil davon ist mir
> nicht klar.
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> Wir haben [mm]A_{1},...,A_{r}[/mm] kommutierende Endomorphismen in
> einem K-Vektorraum V mit dim(V) = 1.
> Wir möchten zeigen, dass die kommutierenden
> Endomorphismen einen gemeinsamen Eigenvektor haben.
> Jetzt steht im Beweis, dass, wenn dim(V) = 1 gilt, dann
> haben alle [mm]A_{i} \in[/mm] K unendlich viele Eigenvektoren v [mm]\in[/mm]
> K und deswegen sei der Fall trivial.
> Aber wieso haben die dann unendlich viele Eigenvektoren?
Wenn dim(V) = 1, so gilt mit einem Basisvektor $b [mm] \in [/mm] V$:
$V = [mm] \{\alpha \cdot b, \alpha \in K\}$
[/mm]
(ist das klar?).
Ein Endomorphismus [mm] $\phi: [/mm] V [mm] \to [/mm] V$ erfüllt dann: [mm] $\phi(b) \in [/mm] V$, d.h. [mm] $\phi(b) [/mm] = [mm] \gamma \cdot [/mm] b$ mit einem [mm] $\gamma \in [/mm] K$.
Daraus folgt direkt (Eigenwertgleichung!), dass [mm] $\gamma$ [/mm] Eigenwert von [mm] $\phi$ [/mm] ist mit Eigenvektor $b$. Insbesondere ist ganz $V$ Eigenraum zum Eigenwert [mm] $\gamma$. [/mm] Allerdings besteht der dann nur aus unendlich vielen Eigenvektoren, wenn auch $V$ unendlich viele Elemente hat, also wenn $K$ unendlich viele Elemente hat.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Sa 21.07.2012 | | Autor: | Hakki |
Danke für die schnelle Antwort!
Ich möchte sicher gehen, dass ich es richtig verstanden habe.
Also wir haben den Basisvektor b [mm] \in [/mm] V und ein Endomorphismus f: V [mm] \to [/mm] V erfüllt dann f(b) [mm] \in [/mm] V, d.h. f(b) = [mm] \lambda [/mm] * b mit [mm] \lambda \in [/mm] K
Das ist ja die Eigenwertgleichung und somit ist [mm] \lambda [/mm] Eigenwert von f mit Eigenvektor b.
Nun hat jede von o verschiedener Vektrorraum über einem unendlichen Körper K unendlich viele Basen.
Und deswegen gibt es undnendlcih viele Eigenvektoren b.
Habe ich es richtig verstanden?
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Hallo,
> Also wir haben den Basisvektor b [mm]\in[/mm] V und ein
> Endomorphismus f: V [mm]\to[/mm] V erfüllt dann f(b) [mm]\in[/mm] V, d.h.
> f(b) = [mm]\lambda[/mm] * b mit [mm]\lambda \in[/mm] K
>
> Das ist ja die Eigenwertgleichung und somit ist [mm]\lambda[/mm]
> Eigenwert von f mit Eigenvektor b.
> Nun hat jede von o verschiedener Vektrorraum über einem
> unendlichen Körper K unendlich viele Basen.
Das stimmt schon, aber damit ist nicht klar, warum die alle Eigenvektoren zum selben Eigenwert sind.
Du solltest besser einfach zeigen, dass jeder beliebige Vektor $v$ des Vektorraums $V$ sich ja als $v = [mm] \alpha \cdot [/mm] b$ mit dem einen oben definierten Basisvektor b und einem Skalar [mm] $\alpha \in [/mm] K$ schreiben lässt und daher
$f(v) = [mm] f(\alpha \cdot [/mm] b) = [mm] \alpha \cdot [/mm] f(b) = [mm] \alpha \cdot \lambda \cdot [/mm] b = [mm] \lambda \cdot [/mm] v$,
das bedeutet, jeder Vektor $v$ des Vektorraums ist Eigenvektor zum gleichen Eigenwert [mm] $\lambda$!
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:45 So 22.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> > Also wir haben den Basisvektor b [mm]\in[/mm] V und ein
> > Endomorphismus f: V [mm]\to[/mm] V erfüllt dann f(b) [mm]\in[/mm] V, d.h.
> > f(b) = [mm]\lambda[/mm] * b mit [mm]\lambda \in[/mm] K
> >
> > Das ist ja die Eigenwertgleichung und somit ist [mm]\lambda[/mm]
> > Eigenwert von f mit Eigenvektor b.
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> > Nun hat jede von o verschiedener Vektrorraum über einem
> > unendlichen Körper K unendlich viele Basen.
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> Das stimmt schon, aber damit ist nicht klar, warum die alle
> Eigenvektoren zum selben Eigenwert sind.
>
> Du solltest besser einfach zeigen, dass jeder beliebige
> Vektor [mm]v[/mm] des Vektorraums [mm]V[/mm] sich ja als [mm]v = \alpha \cdot b[/mm]
> mit dem einen oben definierten Basisvektor b und einem
> Skalar [mm]\alpha \in K[/mm] schreiben lässt und daher
>
> [mm]f(v) = f(\alpha \cdot b) = \alpha \cdot f(b) = \alpha \cdot \lambda \cdot b = \lambda \cdot v[/mm],
>
> das bedeutet, jeder Vektor [mm]v[/mm] des Vektorraums ist
> Eigenvektor zum gleichen Eigenwert [mm]\lambda[/mm]!
Jeder ? Nein. Jedes v [mm] \ne [/mm] 0.
FRED
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>
> Viele Grüße,
> Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:29 Mo 23.07.2012 | | Autor: | Hakki |
Danke schön, jetzt habe ich es verstanden :)
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