eine bijektive funktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:19 Mo 27.09.2010 | | Autor: | corleone |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | zeige, dass folgende funktion bijektiv ist:
$f:(-2,3)\to \IR, t\mapsto \begin{cases}\frac{t}{t+2\ , & \mbox{für } t \le 0 \\ \frac{t}{3-t}, & \mbox{für } t > 0\end{cases}$ |
Tipp: Man zeige, dass f das Intervall $(-2,0)$ bijektiv auf das Intervall $(-\infty,0)$, sowie das Intervall $(0,3)$ bijektiv auf das Intervall $(0,\infty)$ abbildet. Warum folgt daraus die Bijektivität von $f$?
Hallo, erstmal danke fürs lesen...
bei der aufgabe habe ich keine ahnung wie ich vorgehen soll, habe noch nie bijektivität für abbildungen die mit ungleichungen versehen sind gezeigt.
kann mir vllt. jemand den tipp erklären, ich verstehe nicht ganz was damit gemeint ist, bzw. sowas wie einen ansatz wie ich injekt, bzw. surj. zeige...
vielen dank für eure mühe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:37 Mo 27.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> zeige, dass folgende funktion bijektiv ist:
> [mm]f:(-2,3)\mapsto \IR, t\mapsto \begin{cases}t/8t+2) , & \mbox{für } t\mbox{ \le} \\ t/(3-t), & \mbox{für } t \mbox{ >} \end{cases}[/mm]
>
> Tipp: Man zeige, dass f das Intervall (-2,0) bijektiv auf
> das Intervall [mm](-\infty,0),[/mm] sowie das Intervall (0,3)
> bijektiv auf das Intervall [mm](0,\infty)[/mm] abbildet. Warum folgt
> daraus die Bijektivität von f?
>
> Hallo, erstmal danke fürs lesen...
Wenn man es lesen könnte ....
FRED
> bei der aufgabe habe ich keine ahnung wie ich vorgehen
> soll, habe noch nie bijektivität für abbildungen die mit
> ungleichungen versehen sind gezeigt.
>
> kann mir vllt. jemand den tipp erklären, ich verstehe
> nicht ganz was damit gemeint ist, bzw. sowas wie einen
> ansatz wie ich injekt, bzw. surj. zeige...
>
> vielen dank für eure mühe
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hallo corleone,
ich hab's soweit ich es entziffern konnte, editiert.
Ist die Funktionsdefinition so in deinem Sinne?
Gruß
schachuzipus
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Hallo,
ich habe genau die gleiche Aufgabe und bitte um eine Antwort
Die Aufgabenstellung, die editiert wurde ist so richtig.
Vielen Dank für eure Hilfe!!
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Hallo,
seid beide ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> zeige, dass folgende funktion bijektiv ist:
> [mm]f:(-2,3)\to \IR, t\mapsto \begin{cases}\frac{t}{t+2\ , & \mbox{für } t \le 0 \\
\frac{t}{3-t}, & \mbox{für } t > 0\end{cases}[/mm]
> >
> vielen dank für eure mühe
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
>
> Tipp: Man zeige, dass f das Intervall [mm](-2,0)[/mm] bijektiv auf
> das Intervall [mm](-\infty,0)[/mm], sowie das Intervall [mm](0,3)[/mm]
> bijektiv auf das Intervall [mm](0,\infty)[/mm] abbildet. Warum folgt
> daraus die Bijektivität von [mm]f[/mm]?
>
> Hallo, erstmal danke fürs lesen...
> bei der aufgabe habe ich keine ahnung wie ich vorgehen
> soll, habe noch nie bijektivität für abbildungen die mit
> ungleichungen versehen sind gezeigt.
Es handelt sich hier um eine abschnittweise definierte Funktion, also eine, die aus zwei Funktionsteilen zusammengesetzt ist.
Habt Ihr sie mal aufgezeichnet?
>
> kann mir vllt. jemand den tipp erklären, ich verstehe
> nicht ganz was damit gemeint ist, bzw. sowas wie einen
> ansatz wie ich injekt, bzw. surj. zeige...
Dann sagt doch erstmal, wie injektiv und surjektiv definiert sind und woran man anschaulich erkennt, ob eine Funktion injektiv bzw. surjektiv ist.
In dem Tip steht, daß Ihr erstmal die Funktionen g und h mit
g: [mm] (-2,0]\to \IR_0^{-}
[/mm]
[mm] g(t):=\bruch{t}{t+2},
[/mm]
h: (0,3) [mm] \to \IR^{+}
[/mm]
[mm] h(t):=\bruch{t}{3-t}
[/mm]
völlig getrennt voneinander auf Injektivität und Surjektivität untersuchen sollt.
Macht das doch mal!
Meinetwegen könnt Ihr uns auch erstmal anhand der Graphen davon überzeugen, daß die Funktionen injektiv und surjektiv sind.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
danke für deine schnelle Antwort.
Ich hab den Graphen mal gezeichnet. Im Bereich (-2,3) ist es eine Gerade. Außerhalb dieses Bereiches macht der Graph einen "Sprung" bei x=-3 liegt bei +3 und x=+4 bei -4.
Das heißt doch das swe Graph nicht injektiv außerhalb des Intervalls sein kann, weil
für alle x, x´element aus X aus x ungleich x´nicht f(x) ungleich f (x´) folgt oder?
und surjektiv kann sie nicht sein, weil es nicht für alle y mindestens ein x mit f(x)=y gibt.
Wie schreibe ich das jetzt mathematisch auf?
Bin da leider noch überhaupt nicht drin und hab meine Probleme die Dinge mathematisch aufzuschreiben.
Danke für deine Hilfe!
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Hallo lakritzstange,
> Hallo Angela,
>
> danke für deine schnelle Antwort.
> Ich hab den Graphen mal gezeichnet. Im Bereich (-2,3) ist
> es eine Gerade.
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Es ist doch [mm]\frac{t}{t+2}=\frac{t+2-2}{t+2}=1-\frac{2}{t+2}[/mm]
Und das ist doch keine Gerade !
Im anderern Intervall ist es analog auch keine Gerade ...
> Außerhalb dieses Bereiches macht der Graph
> einen "Sprung" bei x=-3 liegt bei +3 und x=+4 bei -4.
Was hast du denn da gezeichnet?
An den Definitionsgrenzen [mm]x=-2[/mm] und [mm]x=3[/mm] gibt's jeweils eine Polstelle!
> Das heißt doch das swe Graph nicht injektiv außerhalb
> des Intervalls sein kann, weil
> für alle x, x´element aus X aus x ungleich x´nicht f(x)
> ungleich f (x´) folgt oder?
> und surjektiv kann sie nicht sein, weil es nicht für alle
> y mindestens ein x mit f(x)=y gibt.
>
> Wie schreibe ich das jetzt mathematisch auf?
> Bin da leider noch überhaupt nicht drin und hab meine
> Probleme die Dinge mathematisch aufzuschreiben.
Betrachte es abschnittsweise wie in der Aufgabe steht und wie Angela auch sagte:
Zuerst den Teil im Intervall [mm](-2,0][/mm] die Funktion g
Was ist [mm]g(0)[/mm] Wie siehts mit [mm]\lim\limits_{t\downarrow -2}g(t)[/mm] aus?
Die Funktion ist auf diesem Intervall offenbar stetig, was sagen dir die Ergebnisse also?
Analog für die andere Teilfunktion ...
Wenn ihr dieses Stetigkeitsargument noch nicht hattet oder niocht verwenden dürft, nehmt für beide Teilintervalle und die beiden Teilfunktionen die Definitionen von "injektiv", "surjektiv" her und zeigt beide Eigenschaften für die beiden Teilfunktionen
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> Danke für deine Hilfe!
Gruß
schachuzipus
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