eine konvergenz teilfolge mit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Entscheiden sie für jede der folgenden aussagen,ob sie richtig oder falsch ist.begründen sie ihre antworten.
(a)Sei an:=(-1)hoch n und sei (ani)iN eine konvergente teilfolge mit grenzwert x.Dann gilt x=1 oder x=-1????
(b)Sei an:=(-2)hoch n und sei (ani)iN eine konvergente teilfolge mit grenzwert x.dann gilt x=2 oder X=-2 ???
(c)Sei an eine folge,so daß gilt:für jedes cR gibt es ein nN mit an>c.
dann konvergiert die folge (an)nN nicht ???
(d)sei an eine folge mit {an:nN}={1/i:iN}.dann konvergiert die folge (an)nN. ???
(e)Sei nN und seien x1,.......,xn nicht notwendig verschiedene reelle zahlen.dann gibt es eine folge reeller zahlen,die für jedes i=1,......,n eine gegen xi konvergente teilfolge besitzt. ?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt
bitte hilft mir ,ich muss morgen abgeben
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Hallo Katharina,
Du musst Dich schon etwas mehr und früher mit Deinen Übungsaufgaben beschäftigen, sonst hast Du auch keine Zeit, die Lösungstipps zu verstehen und umzusetzen...
Hoffentlich kommt meine Antwort jetzt nicht zu spät:
> Entscheiden sie für jede der folgenden aussagen,ob sie
> richtig oder falsch ist.begründen sie ihre antworten.
> (a)Sei an:=(-1)hoch n und sei (ani)iN eine konvergente
> teilfolge mit grenzwert x.Dann gilt x=1 oder x=-1????
Die Folge hat nur 2 Werte, 1 und -1, immer abwechselnd: dan konvergiert die Auswahlfolge mit z.B. geradem [mm] n_i [/mm] gegen...?
> (b)Sei an:=(-2)hoch n und sei (ani)iN eine konvergente
> teilfolge mit grenzwert x.dann gilt x=2 oder X=-2 ???
Hier klappt das nicht, wie in Punkt a), weil [mm] 2^{n} [/mm] für z.B. gerade [mm] n_i [/mm] gegen Unendlich geht.
> (c)Sei an eine folge,so daß gilt:für jedes cR gibt es ein
> nN mit an>c.
> dann konvergiert die folge (an)nN nicht ???
"Für jede Schranke gibt es ein Folgeglied, dass drüber liegt": das heißt der vorige Satz. Wenn [mm] a_n [/mm] konvergiert, müssen aber fast alle Folgeglieder in einer Umgebung um den Grenzwert liegen, also:...
> (d)sei an eine folge mit {an:nN}={1/i:iN}.dann
> konvergiert die folge (an)nN. ???
Probier's mal mit dem Grenzwert 0: dann brauchst Du für jedes [mm] \varepsilon [/mm] ein i, sodass 1/i < [mm] \varepsilon [/mm] ist, dann ist die Bedingung |0-1/i| < [mm] \varepsilon [/mm] erfüllt.
> (e)Sei nN und seien x1,.......,xn nicht notwendig
> verschiedene reelle zahlen.dann gibt es eine folge reeller
> zahlen,die für jedes i=1,......,n eine gegen xi konvergente
> teilfolge besitzt. ?
Ja, Du kannst die Folge [mm] (a_n) [/mm] so definieren, dass [mm] x_1 [/mm] bis [mm] x_n [/mm] von [mm] a_n [/mm] immer wieder von vorne durchgezählt wird:
[mm] a_1 [/mm] = [mm] x_1, a_2 [/mm] = [mm] x_2, [/mm] ..., [mm] a_n [/mm] = [mm] x_n, a_{n+1} [/mm] = [mm] x_1, [/mm] ..., [mm] a_{2n} [/mm] = [mm] x_n, a_{2n+1} [/mm] = [mm] x_1 [/mm] ... usw.
Gruß, Richard
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