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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:27 Sa 19.06.2010 | | Autor: | lilia25 |
| Aufgabe | a) Untersuchen Sie, ob folgende Gebiete einfach zusammenhängend sind:
[mm] G_1=\{ z\in \IC : |z|>\bruch{1}{2}\} [/mm] , [mm] G_2=\{z\in\IC:|z|>1\} [/mm] \ [mm] \{ z\in\IC: Re(z)>1, Im(z)=1\}.
[/mm]
b) Es sei M, N [mm] \subset \IC [/mm] Gebiete und es gebe einen Homöomorphismus [mm] f:M\to [/mm] N. Zeigen Sie: M ist genau dann einfach zusammenhängend, wenn N einfach zusammenhängend ist. |
Hallo, alle zusammen!!
In der Vorlesung habe ich stehen, dass ein Gebiet einfach zusammenhängend ist, wenn jeder geschloßene Weg in diesem Gebiet nullhomotop ist, also homotop zu einem konstanten Weg ist, also wenn es eine stetige Abbildung [mm] g:[a,b]\times[0,1]\to [/mm] U gibt mit [mm] g(s,0)=\gamma_0(s), g(s,1)=\gamma_1(s), [/mm] wobei [mm] \gamma_0,\gamma_1:[a,b]\to\IC [/mm] zwei geschloßene Wege. Aber ich verstehe es irgendwie nicht. Ich habe im Internet ein paar anschauliche Beispiele zu Homotopie zweier Wege gefunden, das ist mir mehr oder weniger klar geworden, aber ich kann mir nicht vorstellen, die Homotopie eines geschloßenen Weges zu einem konstanten Weg. Wie sieht dieser konstante Weg denn aus? Ist das ein Punkt? Oder eine Gerade, aber eine Gerade ist nie geschloßen.
Könnte mir jemand helfen? Ich blike hier gar nicht durch...
Vielen-vielen Dank schon mal im Voraus!!
Gruß
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> a) Untersuchen Sie, ob folgende Gebiete einfach
> zusammenhängend sind:
> [mm]G_1=\{ z\in \IC : |z|>\bruch{1}{2}\}[/mm] ,
> [mm]G_2=\{z\in\IC:|z|>1\}[/mm] \ [mm]\{ z\in\IC: Re(z)>1, Im(z)>1\}.[/mm]
> b)
> Es sei M, N [mm]\subset \IC[/mm] Gebiete und es gebe einen
> Homöomorphismus [mm]f:M\to[/mm] N. Zeigen Sie: M ist genau dann
> einfach zusammenhängend, wenn N einfach zusammenhängend
> ist.
> Hallo, alle zusammen!!
> In der Vorlesung habe ich stehen, dass ein Gebiet einfach
> zusammenhängend ist, wenn jeder geschloßene Weg in diesem
> Gebiet nullhomotop ist, also homotop zu einem konstanten
> Weg ist, also wenn es eine stetige Abbildung
> [mm]g:[a,b]\times[0,1]\to[/mm] U gibt mit [mm]g(s,0)=\gamma_0(s), g(s,1)=\gamma_1(s),[/mm]
> wobei [mm]\gamma_0,\gamma_1:[a,b]\to\IC[/mm] zwei geschloßene Wege.
> Aber ich verstehe es irgendwie nicht. Ich habe im Internet
> ein paar anschauliche Beispiele zu Homotopie zweier Wege
> gefunden, das ist mir mehr oder weniger klar geworden, aber
> ich kann mir nicht vorstellen, die Homotopie eines
> geschloßenen Weges zu einem konstanten Weg. Wie sieht
> dieser konstante Weg denn aus? Ist das ein Punkt? Oder eine
> Gerade, aber eine Gerade ist nie geschloßen.
> Könnte mir jemand helfen? Ich blike hier gar nicht
> durch...
> Vielen-vielen Dank schon mal im Voraus!!
> Gruß
Hallo lilia25,
ein "konstanter Weg" sieht grafisch wirklich einfach aus wie ein Punkt.
Jedem Parameterwert t des Definitionsintervalls wird derselbe Punkt
in [mm] \IC [/mm] zugeordnet.
Ein geschlossener Weg ist also nullhomotop, falls er stetig, und ohne
das betrachtete Gebiet zu verlassen, zu einem Punkt zusammengezogen
werden kann.
Einfache Skizzen zeigen, dass weder [mm] G_1 [/mm] noch [mm] G_2 [/mm] nullhomotop sein
können (falls du die Mengen richtig notiert hast).
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 Sa 19.06.2010 | | Autor: | lilia25 |
Hallo, Al-Chwarizmi !!
Einen herzlichen Dank für deine Hilfe!!
Jetzt ist es klar, was die einfach zusammenhängenden Gebiete sind.
Also zur Aufgabe: [mm] |z|>\bruch{1}{2} [/mm] heißt, dass man nur die Punkte in [mm] \IC [/mm] nimmt, die von der Null einen Abstand größer als 1/2 haben.
Also die Menge stellt die Punkte außerhalb des Kreises um 0 mit Radius 1/2 dar. Das bedeutet, dass [mm] \overline {K_{1/2}(0)} [/mm] nicht in der Menge drin liegt, also man kann dann nicht jeden Weg zu einem Punkt zusammen ziehen.
Ist das richtig? Oder bin wieder auf dem Holzweg...
Vielen Dank!!
Beste Grüße
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Hallo Lilia
> Jetzt ist es klar, was die einfach zusammenhängenden
> Gebiete sind.
> Also zur Aufgabe: [mm]|z|>\bruch{1}{2}[/mm] heißt, dass man nur
> die Punkte in [mm]\IC[/mm] nimmt, die von der Null einen Abstand
> größer als 1/2 haben. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Also die Menge stellt die Punkte außerhalb des Kreises um
> 0 mit Radius 1/2 dar.
> Das bedeutet, dass [mm]\overline {K_{1/2}(0)}[/mm]
damit meinst du bestimmt die abgeschlossene Kreisscheibe
> nicht in der Menge drin liegt, also man kann dann nicht
> jeden Weg zu einem Punkt zusammen ziehen.
> Ist das richtig?
Ja, alle geschlossenen Wege, die das kreisförmige Loch wenigstens
einmal umrunden (gesamte Umlaufszahl [mm] \not=0), [/mm] können nicht
stetig innerhalb des Gebietes [mm] G_1 [/mm] zu einem Punkt kontrahiert
werden.
LG Al-Chw.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:52 So 20.06.2010 | | Autor: | lilia25 |
Hallo, Al-Chwarizmi!!!
Riesen Danke Schön für deine Hilfe!!
Ich überlege jetzt, wie ich das mathematisch aufschreiben soll:
Angenommen, [mm] G_1 [/mm] wäre einfach zusammenhängend, dann sei [mm] \gamma_1:[a,b]\to \IC [/mm] der Weg, der ein mal den Kreis [mm] K_{1/2}(0) [/mm] umläuft, und [mm] \gamma_{0}=a [/mm] der konstante Weg. Außerdem existiert eine stetige Abbildung [mm] H:[a,b]\times{[0,1]}\to G_1, [/mm] so dass [mm] H(1,t)=\gamma_{1}(t) [/mm] und [mm] H(0,t)=\gamma_{0}=a, [/mm] da die beide Wege homotop sind, liegt a in [mm] int(\gamma_{1}), [/mm] aber da [mm] \gamma_{1} [/mm] den Kreis [mm] K_{1/2}(0) [/mm] umläuft gilt [mm] a\in K_{1/2}(0) [/mm] und somit [mm] a\notin G_1 \Rightarrow [/mm] Widerspruch zur Annahme.
Kann ich das so formulieren?
Ich habe noch Probleme mit der zweiten Menge, da sind die reelle Achse und rechte Halbebene ab 1 ausgeschloßen. Welchen Weg könnte man nehmen, um zu zeigen, dass [mm] G_2 [/mm] nich einfach zusammenhängend ist?
Vielen-viele Dank!!
Beste Grüße
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> Hallo, Al-Chwarizmi!!!
> Riesen Danke Schön für deine Hilfe!!
> Ich überlege jetzt, wie ich das mathematisch
> aufschreiben soll:
> Angenommen, [mm]G_1[/mm] wäre einfach zusammenhängend, dann sei
> [mm]\gamma_1:[a,b]\to \IC[/mm] der Weg, der ein mal den Kreis
> [mm]K_{1/2}(0)[/mm] umläuft, und [mm]\gamma_{0}=a[/mm] der konstante Weg.
> Außerdem existiert eine stetige Abbildung
> [mm]H:[a,b]\times{[0,1]}\to G_1,[/mm] so dass [mm]H(1,t)=\gamma_{1}(t)[/mm]
> und [mm]H(0,t)=\gamma_{0}=a,[/mm] da die beide Wege homotop sind,
> liegt a in [mm]int(\gamma_{1}),[/mm] aber da [mm]\gamma_{1}[/mm] den Kreis
> [mm]K_{1/2}(0)[/mm] umläuft gilt [mm]a\in K_{1/2}(0)[/mm] und somit [mm]a\notin G_1 \Rightarrow[/mm]
> Widerspruch zur Annahme.
> Kann ich das so formulieren?
Nun ja, wie man einen solchen Beweis rein formal (und
ganz ohne Rückgriff auf die Anschauung) führen soll, ist
mir auch nicht gerade geläufig.
Vielleicht hat da sonst jemand den entscheidenden Tipp.
> Ich habe noch Probleme mit der zweiten Menge, da sind die
> reelle Achse und rechte Halbebene ab 1 ausgeschloßen. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Nach meiner Ansicht ist [mm] G_2 [/mm] ebenfalls das Äußere einer
Kreisscheibe, aus dem ferner noch ein ins Unendliche
reichender Strahl entfernt ist, welcher ausserhalb des
zentralen Lochs beginnt und dieses nicht durchquert
bzw. berührt.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 So 20.06.2010 | | Autor: | lilia25 |
Hallo,Al-Chwarizmi!!!
Ach na klar ist das ein Stück der reellen Achse, das bei 1 anfängt und in das Unendliche geht, das war mein Denkfehler.
Aber mir ist es trotzdem nicht klar, welchen Weg man für den Beweis nehmen kann. Passt der Weg um dieses Loch, der durch 1 geht, denn 1 lieg nicht in dem Einheitskreis und nicht in diesem Strahl?
Vielen Dank!!!
Beste grüße
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> Hallo,Al-Chwarizmi!!!
> Ach na klar ist das ein Stück der reellen Achse, das bei 1
> anfängt und in das Unendliche geht ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nein, die Menge
$\ [mm] G_2=\{z\in\IC:|z|>1\} [/mm] \ [mm] \{ z\in\IC: Re(z)>1, Im(z)=1\}$
[/mm]
liegt nicht auf der reellen Achse, sondern auf der dazu
parallelen Geraden Im(z)=1
Sie berührt also den Einheitskreis bei weitem nicht.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:16 Mo 21.06.2010 | | Autor: | lilia25 |
Hallo, Al-Chwarizmi!!
Tut mir leid ich habe es falsch abgeschrieben, es muss heißen:
[mm] G_2=\{z\in\IC:|z|>1\} [/mm] \ [mm] \{ z\in\IC: Re(z)>1, Im(z)=0\}
[/mm]
Das war blöd von mir.
Sorry
Habe ich dann recht oder doch nicht?
Schöne Grüße
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> Hallo, Al-Chwarizmi!!
> Tut mir leid ich habe es falsch abgeschrieben, es muss
> heißen:
>
> [mm]G_2=\{z\in\IC:|z|>1\}[/mm] \ [mm]\{ z\in\IC: Re(z)>1, Im(z)=0\}[/mm]
>
> Das war blöd von mir.
> Sorry
> Habe ich dann recht oder doch nicht?
> Schöne Grüße
Aha, in diesem Fall schliesst der Strahl doch nahtlos an die
abgeschlossene Kreisscheibe an, und das verbleibende
Gebiet [mm] G_2 [/mm] ist dann einfach zusammenhängend, das heisst
alle in ihm liegenden geschlossenen Kurven sind nullhomotop.
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]") Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:40 Di 22.06.2010 | | Autor: | lilia25 |
Hallo, Al-Chwarizmi!!
Ach, stimmt!! Dann kann ich ja keinen geschloßenen Weg um diese Scheibe herum zeichnen, ohne dass die reelle Achse geschnitten wird.
Vielen Dank für deine Hilfe!!!
Das war wirklich sehr nett von dir!!
Beste Grüße
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