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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:49 Mi 20.07.2011 | | Autor: | lzaman |
| Aufgabe | Bringen sie [mm]z\in\IC[/mm] in Normaldartsellung
[mm]z=\left( \bruch{1-i}{\wurzel{2}}\right)^{24}[/mm] |
Hallo an alle, die Aufgabe scheint mir recht simple zu sein, dennoch bin ich mir unsicher.
Meine Lösung lautet:
Diese komplexe zahl hat Betrag 1 und Argument [mm]2 \bruch{1}{4} \pi[/mm]
Also ist
[mm]\bruch{1-i}{\wurzel{2}}=e^{i 2\bruch{1}{4}\pi }[/mm] daher ist [mm]z=\left( \bruch{1-i}{\wurzel{2}}\right)^{24}=e^{i54\pi}=1[/mm]
Könntet Ihr das bitte nachprüfen.
Danke
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Moin!
> Bringen sie [mm]z\in\IC[/mm] in Normaldartsellung
>
> [mm]z=\left( \bruch{1-i}{\wurzel{2}}\right)^{24}[/mm]
>
> Hallo an alle, die Aufgabe scheint mir recht simple zu
> sein, dennoch bin ich mir unsicher.
>
> Meine Lösung lautet:
>
> Diese komplexe zahl hat Betrag 1 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") und Argument [mm]2 \bruch{1}{4} \pi[/mm]
Der Polarwinkel ist bei mir [mm] \arctan\frac{-1/\sqrt(2)}{1/\sqrt(2)}=\arctan(-1)=-\frac{\pi}{4}
[/mm]
>
> Also ist
>
> [mm]\bruch{1-i}{\wurzel{2}}=e^{i 2\bruch{1}{4}\pi }[/mm] daher ist
> [mm]z=\left( \bruch{1-i}{\wurzel{2}}\right)^{24}=e^{i54\pi}=1[/mm]
>
> Könntet Ihr das bitte nachprüfen.
>
> Danke
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Mi 20.07.2011 | | Autor: | lzaman |
Ja, da ist mein Fehler!
Allerdings bleibt z=1, da [mm]cos(-54\pi)=1[/mm] ist.
Richtig?
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Hallo lzaman,
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> Ja, da ist mein Fehler!
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> Allerdings bleibt z=1, da [mm]cos(-54\pi)=1[/mm] ist.
Woher kommt [mm]\cos(-54\pi)[/mm] ??
Das Argument ist doch [mm]-\frac{\pi}{4}[/mm] bzw. [mm]\frac{7}{4}\pi[/mm], wenn du das Argument aus [mm](0,2\pi][/mm] nimmst.
Also [mm]\left(e^{\frac{7}{4}\pi i}\right)^{24}=e^{24\cdot{}\frac{7}{4}\pi i}=e^{42\pi i}=\cos(42\pi)+i\sin(42\pi)=...[/mm]
>
> Richtig?
Teilweise, zumindest im Ergebnis stimmt es ...
Aber du siehst hoffentlich ein, dass Freds Weg der eindeutig schnellere ist, auch, wenn du hier das Argument ja auch direkt ablesen kannst (einfach 1-i einzeichnen und ablesen ...)
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:10 Mi 20.07.2011 | | Autor: | fred97 |
Es ist [mm] $(1-i)^2=-2i$
[/mm]
Damit ist
[mm] $(1-i)^{24}=2^{12}*i^{12}=2^{12}
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Mi 20.07.2011 | | Autor: | lzaman |
Das kann nicht stimmen Fred. Du hast die [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] nicht beachtet.
Oder irre ich mich da?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 Mi 20.07.2011 | | Autor: | fred97 |
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> Das kann nicht stimmen Fred. Du hast die
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] nicht beachtet.
Du Scherzkeks ! Ich habs Dir überlassen, zu berechnen:
[mm](\bruch{1}{\wurzel{2}})^{24}[/mm]
Das kriegst Du doch hin.
FRED
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> Oder irre ich mich da?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:00 Mi 20.07.2011 | | Autor: | lzaman |
Jetzt bin ich ganz durcheinander.
Ich mache es bissle ausführlicher:
Nach der Formel [mm]z^n=r^n \cdot e^{n\cdot \varphi}[/mm]
ist [mm]z^{24}=r^{24} \cdot e^{24\cdot \varphi}[/mm] und [mm]\varphi[/mm] ist für [mm]a>0, b<0[/mm] mit [mm]z=a+ib[/mm] doch [mm]arctan\left(\bruch{b}{a}\right)+2\pi [/mm] im Bereich von [mm](0,2\pi][/mm].
Wegen [mm]\wurzel{\left(\bruch{1}{\wurzel{2}}\right)^2+\left(-\bruch{1}{\wurzel{2}\right)^2}}=1[/mm] ist mein [mm]r=1 [/mm] und mein [mm]\varphi=\bruch{7}{4}\pi[/mm]
Aha! hier ist mein Fehler. Wegen falschem Vorzeichen kam ich zunächst auf [mm]\varphi=2\bruch{1}{4}\pi[/mm].
Es ist also:
[mm] \bruch{1-i}{\wurzel{2}}=e^{i\bruch{7}{4}\pi } [/mm] daher ist [mm] z=\left( \bruch{1-i}{\wurzel{2}}\right)^{24}=e^{i42\pi}=1 [/mm]
Danke für eure Hilfe!
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