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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:10 Sa 08.12.2012 | | Autor: | bobiiii |
| Aufgabe | Eine Funktion sei definiert durch $f(t):=t$ für [mm] $0\le t\le [/mm] 2$ und $2t-2$ für $t>2$
Bestimmen Sie eine explizite Darstellung der Integralfunktion [mm] $F(x)=\int_{0}^{x} f(t)\, [/mm] dt$ |
Hallo!
Vielleicht kann mir jemand bei diesem Beispiel bitte helfen.
Ich hab schon erfahren, dass man es durch eine Fallunterscheidung berechnen kann, also:
> Fall: [mm] $x\le2$
[/mm]
> Fall: $x>2$ dann teilst Du das Integral auf in [mm] $\int_{0}^{2} f(t)\, dt+\int_{2}^{x} f(t)\, [/mm] dt$
Nur weiß ich nicht weiter, also ich weiß nicht was ich jetzt mit dieser Gleichung anstellen soll.
Gruß,
bobiiii
Ich hab diese Frage schon in einem anderen Forum gestellt(http://www.onlinemathe.de/forum/explizite-Darstellung-einer-Integralfunktion).
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:21 Sa 08.12.2012 | | Autor: | Walde |
hi bobiii,
du musst jetzt nur noch für f(t) einsetzen, was es in den entsprechenden Bereichen für t ist (ist ja in der Aufgabenstellung angegeben) und dann die entstehenden Integral ausrechnen (mit Stammfunktion bilden, Grenzen einsetzen, usw.)
LG walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:26 Sa 08.12.2012 | | Autor: | bobiiii |
Hallo Walde!
f(t):=t für $ [mm] 0\le t\le [/mm] 2 $ und 2t-2 für t>2
Was sind jetzt aber meine t-werte? Und wie bekomme ich die f(t)-Werte. Verstehe ich leider nicht.
$ [mm] \int_{0}^{2} f(t)\, dt+\int_{2}^{x} f(t)\, [/mm] dt $
Wie rechne ich das aus, wenn [mm] $\int_{2}^{x}$ [/mm] steht, was nehme ich für x?
Gruß,
bobiii
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:15 Sa 08.12.2012 | | Autor: | Walde |
Hi,
> Hallo Walde!
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> f(t):=t für [mm]0\le t\le 2[/mm] und 2t-2 für t>2
>
> Was sind jetzt aber meine t-werte? Und wie bekomme ich die
> f(t)-Werte. Verstehe ich leider nicht.
Also nochmal in Worten: falls t sich zwischen 0 und 2 befindet, gilt f(t)=t.
Da beim linken Integral die Grenzen 0 und 2 sind, heisst das, die Integrationsvariable t läuft gerade zwischen 0 und 2. Dh. im Integal darf man für f(t) dann was schreiben?
Selbes Prinzip für das rechte Integral. in welchem Bereich befindet sich t? Was darf man dann anstelle von f(t) auch schreiben? Nur dass x nicht fest vorgegeben ist, du darfst aber davon ausgehen, dass es grösser als 2 ist.
>
> [mm]\int_{0}^{2} f(t)\, dt+\int_{2}^{x} f(t)\, dt[/mm]
>
> Wie rechne ich das aus, wenn [mm]\int_{2}^{x}[/mm] steht, was nehme
> ich für x?
Das ganze kommt ja von $ [mm] F(x)=\int_{0}^{2} f(t)\, dt+\int_{2}^{x} f(t)\, [/mm] dt$, d.h. x ist die Funktionsvariable von F und dafür hast/brauchst du keinen speziellen Wert. Das bleibt einfach x beim Einsetzen der Grenzen im rechten Integral
>
> Gruß,
> bobiii
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 Sa 08.12.2012 | | Autor: | bobiiii |
Hallo,
Danke für den bisherigen Aufwand. Ich glaube ich verstehe es langsam, aber noch nicht ganz.
> Also nochmal in Worten: falls t sich zwischen 0 und 2
> befindet, gilt f(t)=t.
> Da beim linken Integral die Grenzen 0 und 2 sind, heisst
> das, die Integrationsvariable t läuft gerade zwischen 0
> und 2. Dh. im Integal darf man für f(t) dann was
> schreiben?
Hier setze ich also einaml 2 und einmal 0 ein? Muss dann stehen [mm] \frac{x^2}{2}-\frac{x^2}{2}
[/mm]
> Selbes Prinzip für das rechte Integral. in welchem Bereich
> befindet sich t? Was darf man dann anstelle von f(t) auch
> schreiben? Nur dass x nicht fest vorgegeben ist, du darfst
> aber davon ausgehen, dass es grösser als 2 ist.
Beim Rechten kenne ich mich nicht so gut aus, ich setze dann doch einmal 2 ein, aber für die obere Grenze wäre es ja 2x-x????
Und hier sollte dann ja [mm] \frac{2*x^2}{2}-\frac{2*x^2}{2} [/mm] stehen?
Gruß,
bobiiii
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:13 Sa 08.12.2012 | | Autor: | Walde |
Hi bobiii,
> Hallo,
>
> Danke für den bisherigen Aufwand. Ich glaube ich verstehe
> es langsam, aber noch nicht ganz.
>
> > Also nochmal in Worten: falls t sich zwischen 0 und 2
> > befindet, gilt f(t)=t.
> > Da beim linken Integral die Grenzen 0 und 2 sind, heisst
> > das, die Integrationsvariable t läuft gerade zwischen 0
> > und 2. Dh. im Integal darf man für f(t) dann was
> > schreiben?
>
> Hier setze ich also einaml 2 und einmal 0 ein? Muss dann
> stehen [mm]\frac{x^2}{2}-\frac{x^2}{2}[/mm]
Mir ist absolut nicht klar, wie du darauf kommst (beim linken Integral ist doch überhaupt kein x dabei). Mach doch mal Schritt für Schritt.
Mal zuerst nur das linke Integral:
Du hast [mm] \integral_0^2{f(t)dt}=...
[/mm]
was muss der nächste Schritt sein?
>
> > Selbes Prinzip für das rechte Integral. in welchem Bereich
> > befindet sich t? Was darf man dann anstelle von f(t) auch
> > schreiben? Nur dass x nicht fest vorgegeben ist, du darfst
> > aber davon ausgehen, dass es grösser als 2 ist.
>
> Beim Rechten kenne ich mich nicht so gut aus, ich setze
> dann doch einmal 2 ein, aber für die obere Grenze wäre es
> ja 2x-x????
> Und hier sollte dann ja [mm]\frac{2*x^2}{2}-\frac{2*x^2}{2}[/mm]
> stehen?
Nein.
>
> Gruß,
> bobiiii
>
Machen wir mal langsam. Erst das linke, dann das rechte. Aber schreib jeden Zwischenschritt auf, erst dann kann man sehen, wo es schief geht.
Lg walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 Sa 08.12.2012 | | Autor: | bobiiii |
Hallo!
> Mir ist absolut nicht klar, wie du darauf kommst (beim
> linken Integral ist doch überhaupt kein x dabei). Mach
> doch mal Schritt für Schritt.
> Mal zuerst nur das linke Integral:
> Du hast [mm]\integral_0^2{f(t)dt}=...[/mm]
Also das linke ist ja ein rechtwinkeliges Dreieck, oder?
Also [mm] \frac{2*2}{2}, [/mm] oder? Es kommt also 2 raus?
Gruß,
bobiiii
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:28 Sa 08.12.2012 | | Autor: | Walde |
> Hallo!
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> > Mir ist absolut nicht klar, wie du darauf kommst (beim
> > linken Integral ist doch überhaupt kein x dabei). Mach
> > doch mal Schritt für Schritt.
> > Mal zuerst nur das linke Integral:
> > Du hast [mm]\integral_0^2{f(t)dt}=...[/mm]
>
> Also das linke ist ja ein rechtwinkeliges Dreieck, oder?
> Also [mm]\frac{2*2}{2},[/mm] oder? Es kommt also 2 raus?
>
> Gruß,
> bobiiii
Ja stimmt. Aber da es hier um Integralrechnung geht, hatte ich mehr sowas erwartet:
[mm] \integral_0^2{f(t) dt}=\integral_0^2{t dt}=[\bruch{1}{2}t^2]_0^2=2-0=2
[/mm]
also t für f(t) , dann Stammfunktion, dann Grenzen einsetzen.
Analog dann das rechte Intregral.
LG walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Sa 08.12.2012 | | Autor: | bobiiii |
Hallo
$ [mm] \integral_2^x{f(t) dt}=\integral_2^x{2t-2 dt}=[t^2-2]_2^x=x^2-2x-2 [/mm] $
Kann das stimmen?
Ist die Lösung dann [mm] F(x)=x^2-2x [/mm] ?
Gruß,
bobiiii
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:59 Sa 08.12.2012 | | Autor: | Walde |
> Hallo
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> [mm]\integral_2^x{f(t) dt}=\integral_2^x{2t-2 dt}=[t^2-2]_2^x=x^2-2x-2[/mm]
>
> Kann das stimmen?
Nein, da hast du beim Bilden der Stammfunktion einen Fehler gemacht. Das kannst du leicht nachkontrollieren, wenn du [mm] t^2-2 [/mm] ableitest, kommt nicht 2t-2 raus...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Sa 08.12.2012 | | Autor: | bobiiii |
Hallo,
> Nein, da hast du beim Bilden der Stammfunktion einen Fehler
> gemacht. Das kannst du leicht nachkontrollieren, wenn du
> [mm]t^2-2[/mm] ableitest, kommt nicht 2t-2 raus...
Stimmt, ich hab die richtige Stammfunktion auf meinem Block gebildet, dann aber falsch weitergerechnet und auch falsch hier rein geschrieben...
Es sollte so sein:
$ [mm] \integral_2^x{f(t) dt}=\integral_2^x{2t-2 dt}=[t^2-2t]_2^x=x^2-2x [/mm] $
Und F(x) sollte [mm] x^2-2x+2 [/mm] sein?
Gruß,
bobiiii
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:27 Sa 08.12.2012 | | Autor: | Walde |
> Hallo,
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> > Nein, da hast du beim Bilden der Stammfunktion einen Fehler
> > gemacht. Das kannst du leicht nachkontrollieren, wenn du
> > [mm]t^2-2[/mm] ableitest, kommt nicht 2t-2 raus...
>
> Stimmt, ich hab die richtige Stammfunktion auf meinem Block
> gebildet, dann aber falsch weitergerechnet und auch falsch
> hier rein geschrieben...
>
> Es sollte so sein:
> [mm]\integral_2^x{f(t) dt}=\integral_2^x{2t-2 dt}=[t^2-2t]_2^x=x^2-2x[/mm]
Ok.
>
> Und F(x) sollte [mm]x^2-2x+2[/mm] sein?
>
Nicht so schnell. Das gilt nur für den Fall x>2. Soweit so gut.
Wenn [mm] x\le2 [/mm] ist, kommt ein ja anderes F heraus, weil du dann das Integral nicht mehr so aufteilen kannst, wie am Anfang, sondern es dann so aussieht:
[mm] F(x)=\integral_0^x{f(t)dt}
[/mm]
Aber das sollte jetzt nicht mehr schwer sein. F ist dann insgesamt wieder eine abschnittsweise definierte Funktion.
Lg walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 Sa 08.12.2012 | | Autor: | bobiiii |
Hallo,
Danke für die Kontrolle, ich bin jetzt aber ein bisschen verwirrt.
f(t):=t für $ [mm] 0\le t\le [/mm] 2 $ und 2t-2 für t>2
Es wurde ja beides berechnet. Es kommt ja 2 und [mm] x^2-2x [/mm] raus. Reicht es dann nicht einfach die beiden zu addieren und fertig?
> Nicht so schnell. Das gilt nur für den Fall x>2. Soweit so
> gut.
>
> Wenn [mm]x\le2[/mm] ist, kommt ein ja anderes F heraus, weil du dann
> das Integral nicht mehr so aufteilen kannst, wie am Anfang,
> sondern es dann so aussieht:
>
> [mm]F(x)=\integral_0^x{f(t)dt}[/mm]
Das verstehe ich leider nicht.
Gruß,
bobiiii
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:51 Sa 08.12.2012 | | Autor: | Walde |
> Hallo,
>
> Danke für die Kontrolle, ich bin jetzt aber ein bisschen
> verwirrt.
> f(t):=t für [mm]0\le t\le 2[/mm] und 2t-2 für t>2
> Es wurde ja beides berechnet. Es kommt ja 2 und [mm]x^2-2x[/mm]
> raus. Reicht es dann nicht einfach die beiden zu addieren
> und fertig?
Ja, aber nur für den Fall, dass man über die 2 hinaus integriert, also falls x>2 ist. Da kannst du addieren und es ist [mm] F(x)=x^2-2x+2 [/mm] ,aber nur für x>2.
>
> > Nicht so schnell. Das gilt nur für den Fall x>2. Soweit so
> > gut.
> >
> > Wenn [mm]x\le2[/mm] ist, kommt ein ja anderes F heraus, weil du dann
> > das Integral nicht mehr so aufteilen kannst, wie am Anfang,
> > sondern es dann so aussieht:
> >
> > [mm]F(x)=\integral_0^x{f(t)dt}[/mm]
>
> Das verstehe ich leider nicht.
Das steht doch so in deiner Aufgabenstellung:
Es ist so, dass sich die Integrandenfunktion ab der Stelle 2 verändert. Zunächst hast du eine Urspungsgerade mit Steigung 1, ab x=2 aber eine Gerade mit Steigung 2, also viel steiler. Das heisst, es macht einen Unterschied, ob man nur bis 2 oder noch weiter Integriert. Deshalb die Fallunterscheidung für [mm] $x\le [/mm] 2$ und $x>2$. Den komplizierten Teil hast du jetzt.
Fehlt noch der andere Fall: die Berechnung von [mm] F(x)=\integral_0^x{f(t)dt} [/mm] für [mm] $x\le [/mm] 2$. Das Prinzip bleibt das Gleiche. f(t) ersetzen (durch was?), Stammfunktion bilden, Grenzen einsetzen.
Lg walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Sa 08.12.2012 | | Autor: | bobiiii |
Hallo,
> Fehlt noch der andere Fall: die Berechnung von
> [mm]F(x)=\integral_0^x{f(t)dt}[/mm] für [mm]x\le 2[/mm]. Das Prinzip bleibt
> das Gleiche. f(t) ersetzen (durch was?), Stammfunktion
> bilden, Grenzen einsetzen.
Muss man f(t) also durch [mm] x^2-2x+x [/mm] ersetzen? und dann die Stammfunktion aus dem bilden?
Gruß,
bobiiii
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 Sa 08.12.2012 | | Autor: | Walde |
> Hallo,
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> > Fehlt noch der andere Fall: die Berechnung von
> > [mm]F(x)=\integral_0^x{f(t)dt}[/mm] für [mm]x\le 2[/mm]. Das Prinzip bleibt
> > das Gleiche. f(t) ersetzen (durch was?), Stammfunktion
> > bilden, Grenzen einsetzen.
>
> Muss man f(t) also durch [mm]x^2-2x+x[/mm] ersetzen? und dann die
> Stammfunktion aus dem bilden?
Nein, es gilt doch nicht [mm] f(t)=x^2-2x+x [/mm] das macht doch keinen Sinn, weil die rechte Seite gar kein t drin hat.
Das t läuft doch jetzt zwischen 0 und x also [mm] $0\le t\le [/mm] x$ aber x ist höchstens 2, also [mm] $0\le t\le [/mm] 2$ und was man in diesem fall für f(t) schreibt, hatten wir ja oben schon.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Sa 08.12.2012 | | Autor: | bobiiii |
Hallo,
> Das t läuft doch jetzt zwischen 0 und x also [mm]0\le t\le x[/mm]
> aber x ist höchstens 2, also [mm]0\le t\le 2[/mm] und was man in
> diesem fall für f(t) schreibt, hatten wir ja oben schon.
Also ist es wieder f(t)=t und dann [mm] \frac{1}{2}t^2 [/mm] als Stammfunktion ? Dann wäre es ja wieder 2?
Ich verstehe aber nicht was dann dieses [mm] F(x)=x^2-2x+2 [/mm] bringt?
Gruß,
bobiiii
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:24 Sa 08.12.2012 | | Autor: | Walde |
> Hallo,
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> > Das t läuft doch jetzt zwischen 0 und x also [mm]0\le t\le x[/mm]
> > aber x ist höchstens 2, also [mm]0\le t\le 2[/mm] und was man in
> > diesem fall für f(t) schreibt, hatten wir ja oben schon.
>
> Also ist es wieder f(t)=t und dann [mm]\frac{1}{2}t^2[/mm] als
> Stammfunktion ?
Ja.
>Dann wäre es ja wieder 2?
Nein, denn die obere Grenze ist nicht 2, sondern x
> Ich verstehe aber nicht was dann dieses [mm]F(x)=x^2-2x+2[/mm]
> bringt?
Das ist die Interalfunktion F(x) für x>2
Anschaulich gesagt: So berechnet man den Flächeninhalt unter der Funktion f, wenn x>2. Falls aber [mm] x\le [/mm] 2 braucht man eine andere Formel, da wäre diese hier falsch.
Es fehlt noch der Fall, wenn [mm] x\le [/mm] 2.
Du weisst doch dass man sich ein Integral als Flächeninhalt zwischen Funktion und x-Achse vorstellen kann. D.h. also die Integralfunktion [mm] F(x)=\integral_0^x{f(t)dt} [/mm] kann man auffassen als Formel für den Flächeninhalt zwischen f und der x-Achse. (vereinfacht gesagt) Hier ist es aber so, dass die den Flächeninhalt begrenzende Funktion f sich mittendrin ändert (an x=2), deshalb muss sich auch die Formel für den Flächeninhalt ändern. Je nachdem, ob man nur bis 2 oder weiter integriert.
Lg walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Sa 08.12.2012 | | Autor: | bobiiii |
Hallo!
Also dann kommt ja [mm] \frac{1}{2}x^2 [/mm] raus.
Ich hab dann also [mm] F(x)=\frac{1}{2}x^2 [/mm] für [mm] x\le2 [/mm] und [mm] F(x)=x^2-2+2 [/mm] für x>2.
Was mache ich aber jetzt mit diesen zwei Formeln?
Gruß,
bobiiii
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 Sa 08.12.2012 | | Autor: | Walde |
Das ist deine Lösung, damit ist die Aufgabe gelöst.
Es war [mm] f(t)=\begin{cases} t, & \mbox{für } t\le2 \\ 2t-2, & \mbox{für } t>2 \end{cases}
[/mm]
und für [mm] F(x)=\integral_0^x{f(t)dt} [/mm] ist [mm] F(x)=\begin{cases} \bruch{1}{2}x^2, & \mbox{für } x\le2 \\ x^2-2x+2, & \mbox{für } x>2 \end{cases}
[/mm]
Fall abgeschlossen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Sa 08.12.2012 | | Autor: | bobiiii |
Hallo!
Super! Danke für die Hilfe und die Geduld für mein Bsp!
Nur noch eine allerletzte Frage. Sollte man
> und für [mm]F(x)=\integral_0^x{f(t)dt}[/mm] ist [mm]F(x)=\begin{cases} \bruch{1}{2}x^2, & \mbox{für } x\le2 \\ x^2-2x+2, & \mbox{für } x>2 \end{cases}[/mm]
nicht so aufschreiben?
[mm]F(x)=\integral_0^x{f(t)dt}[/mm] ist [mm]F(x)=\begin{cases} \bruch{1}{2}x^2, & \mbox{für } 0\le x\le 2 \\ x^2-2x+2, & \mbox{für } x>2 \end{cases}[/mm]
also
[mm] 0\le x\le [/mm] 2
Gruß,
bobiiii
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 Sa 08.12.2012 | | Autor: | Walde |
Gern geschehen.
> Hallo!
>
> Super! Danke für die Hilfe und die Geduld für mein Bsp!
> Nur noch eine allerletzte Frage. Sollte man
>
> > und für [mm]F(x)=\integral_0^x{f(t)dt}[/mm] ist [mm]F(x)=\begin{cases} \bruch{1}{2}x^2, & \mbox{für } x\le2 \\ x^2-2x+2, & \mbox{für } x>2 \end{cases}[/mm]
>
> nicht so aufschreiben?
>
> [mm]F(x)=\integral_0^x{f(t)dt}[/mm] ist [mm]F(x)=\begin{cases} \bruch{1}{2}x^2, & \mbox{für } 0\le x\le 2 \\ x^2-2x+2, & \mbox{für } x>2 \end{cases}[/mm]
>
> also
> [mm]0\le x\le[/mm] 2
Ja, so ist es richtig.
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> Gruß,
> bobiiii
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:44 Sa 08.12.2012 | | Autor: | bobiiii |
Hallo Walde,
Nochmals vielen Dank!
Gruß,
bobiiii
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