endl. Vereinigung echter U.V.R < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:40 Sa 22.04.2006 | | Autor: | neli |
| Aufgabe | [mm] k^{n} [/mm] ist nicht endliche Vereinigung [mm] k^{n} [/mm] = [mm] \bigcup_{i=1}^{t}U_i [/mm] echter Unterräume [mm] U_i \subset k^{n}
[/mm]
(Tip: Wähle eine von den [mm] U_i [/mm] verschiedene Hyperebene H und betrachte die [mm] H\cap U_i [/mm] .Induktion) |
Kann mit dem Tip noch nicht so wirklich was anfangen
habe es mal auf eine andere Art versucht bin mir aber da nicht so sicher ob ich einen Schluss machen darf oder nicht
Beweiß ist per induktion nach t
für t=1
ist klar, dass [mm] k^n \not= \bigcup_{i=1}^{1} U_i [/mm] = [mm] U_1 [/mm] ist, da ja [mm] U_1 \subset k^n [/mm] ist
t [mm] \to [/mm] t+1
nach I.V ist [mm] U_1 [/mm] nicht [mm] \subset \bigcup_{i=2}^{t+1} U_i [/mm] , da sonst
[mm] k^n [/mm] = [mm] \bigcup_{i=2}^{t+1} U_i [/mm] wäre
folglich existiert ein b [mm] \in U_1 [/mm] mit b [mm] \not\in \bigcup_{i=2}^{t+1} U_i
[/mm]
Nach Vorraussetung ist [mm] U_1 \subset k^n [/mm] daher existiert ein a [mm] \in k^n [/mm] \ [mm] U_1 [/mm]
sei g = a+kb g ist eine Gerade in [mm] k^n [/mm] Da k unendlich (Vorraussetzung aus einer früheren Teilaufgabe) ist auch g unendlich
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] ein Index j [mm] \in [/mm] {1,....t+1} s.d. [mm] g\cap U_j [/mm] unendlich
da b [mm] \in U_1 [/mm] und [mm] a\not\in U_1 [/mm] ist [mm] g\cap U_1 [/mm] = [mm] \emptyset
[/mm]
Also ist für ein j [mm] \ge [/mm] 2 [mm] g\cap U_j [/mm] = [mm] \infty [/mm] daher existieren [mm] \lambda, \mu \in [/mm] k s.d. [mm] a+\lambda [/mm] b und a+ [mm] \mu [/mm] b [mm] \in U_j [/mm] mit [mm] \lambda \not= \mu
[/mm]
Da [mm] U_j [/mm] ein Unterraum ist
(a+ [mm] \lambda [/mm] b)-(a+ [mm] \mu [/mm] b) = [mm] (\lambda [/mm] - [mm] \mu)b \in U_j
[/mm]
W.S da b [mm] \not\in U_j [/mm] für j [mm] \ge [/mm] 2
Bin mir aber nicht sicher, ob ich folgern darf, dass wenn g in [mm] k^n [/mm] und g unendlich ein [mm] U_j [/mm] unendlich viele Punkte von g enthalten muss.
Ich finde es anschaulich sehr logisch, da ja wenn in jedem Unterraum [mm] U_i [/mm] nur entlich viele Punkte von g lägen, aber die Vereinigung der [mm] U_i [/mm] ganz [mm] k^n [/mm] wäre g ja schlecht unendlich viele Punkte enthalten kann aber habe so ein wenig das Gefühl dass ich bei der Argumentation schon etwas von dem, was ich zeige, vorwegnehme.
Bin da etwas unsicher und würde mich sehr freuen, wenn mir Jemand diesbezüglich Klarheit verschaffen könnte
ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt
herzlichen Dank im Vorraus
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Hallo und guten Morgen,
meiner Ansicht nach stimmt Dein Beweis. Nur ein kleiner Formfehler:
> Beweiß ist per induktion nach t
>
> für t=1
> ist klar, dass [mm]k^n \not= \bigcup_{i=1}^{1} U_i[/mm] = [mm]U_1[/mm]
> ist, da ja [mm]U_1 \subset k^n[/mm] ist
>
> t [mm]\to[/mm] t+1
> nach I.V ist [mm]U_1[/mm] nicht [mm]\subset \bigcup_{i=2}^{t+1} U_i[/mm] ,
> da sonst
> [mm]k^n[/mm] = [mm]\bigcup_{i=2}^{t+1} U_i[/mm] wäre
das gilt nicht nach Induktionsvoraussetzung, sondern nach Annahme.
Eigentlich handelt es sich bei Deinem ganzen Beweis nicht um einen Induktionsbeweis.
Den Fall t=1 betrachtet man separat, fuer [mm] t\geq [/mm] 2 funktioniert Dein Beweis ohne Induktionsannahme.
Gruss,
Mathias
> folglich existiert ein b [mm]\in U_1[/mm] mit b [mm]\not\in \bigcup_{i=2}^{t+1} U_i[/mm]
>
> Nach Vorraussetung ist [mm]U_1 \subset k^n[/mm] daher existiert ein
> a [mm]\in k^n[/mm] \ [mm]U_1[/mm]
> sei g = a+kb g ist eine Gerade in [mm]k^n[/mm] Da k unendlich
> (Vorraussetzung aus einer früheren Teilaufgabe) ist auch g
> unendlich
> [mm]\Rightarrow \exists[/mm] ein Index j [mm]\in[/mm] {1,....t+1} s.d.
> [mm]g\cap U_j[/mm] unendlich
> da b [mm]\in U_1[/mm] und [mm]a\not\in U_1[/mm] ist [mm]g\cap U_1[/mm] = [mm]\emptyset[/mm]
> Also ist für ein j [mm]\ge[/mm] 2 [mm]g\cap U_j[/mm] = [mm]\infty[/mm] daher
> existieren [mm]\lambda, \mu \in[/mm] k s.d. [mm]a+\lambda[/mm] b und a+ [mm]\mu[/mm]
> b [mm]\in U_j[/mm] mit [mm]\lambda \not= \mu[/mm]
> Da [mm]U_j[/mm] ein Unterraum ist
> (a+ [mm]\lambda[/mm] b)-(a+ [mm]\mu[/mm] b) = [mm](\lambda[/mm] - [mm]\mu)b \in U_j[/mm]
> W.S
> da b [mm]\not\in U_j[/mm] für j [mm]\ge[/mm] 2
>
> Bin mir aber nicht sicher, ob ich folgern darf, dass wenn g
> in [mm]k^n[/mm] und g unendlich ein [mm]U_j[/mm] unendlich viele Punkte von g
> enthalten muss.
Ist doch offensichtlich. Denn sonst wäre g als endliche Vereinigung endlicher Mengen selber endlich.
(Du benutzt halt lediglich noch, dasss nicht g ganz in [mm] U_1 [/mm] liegt.)
Viele Grüße,
Mathias
> Ich finde es anschaulich sehr logisch, da ja wenn in jedem
> Unterraum [mm]U_i[/mm] nur entlich viele Punkte von g lägen, aber
> die Vereinigung der [mm]U_i[/mm] ganz [mm]k^n[/mm] wäre g ja schlecht
> unendlich viele Punkte enthalten kann aber habe so ein
> wenig das Gefühl dass ich bei der Argumentation schon etwas
> von dem, was ich zeige, vorwegnehme.
> Bin da etwas unsicher und würde mich sehr freuen, wenn mir
> Jemand diesbezüglich Klarheit verschaffen könnte
>
> ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt
>
> herzlichen Dank im Vorraus
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