endl.d. Unterraum vollständig? < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] (R,\parallel.\parallel) [/mm] ein vollständiger normierter Raum über K mit K = [mm] \IR. [/mm] Sei S [mm] \subseteq [/mm] R ein Unterraum von R mit dim(S) < [mm] \infty. [/mm]
Zeigen Sie, dass S bezüglich der Norm [mm] \parallel.\parallel [/mm] vollständig ist. |
Hallo,
ich weiß nicht so recht wie ich an obige Aufgabe heran gehen soll.
Da R ein vollständiger, normierter Raum (also ein Banachraum) über [mm] \IR [/mm] ist, heißt es ja, dass jede Cauchy-Folge in R gegen ein Element aus R konvergiert. R kann auch unendlich dimensional sein.
Wenn ich zeigen möchte, dass S bzgl. [mm] \parallel.\parallel [/mm] vollständig ist, muss ich also zeigen, dass jede Cauchy-Folge aus Elementen aus S auch in S konvergiert.
Ich nehme mir jetzt also eine Folge [mm] (x_n) [/mm] mit Elementen aus S und zeige, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (x_n) [/mm] ein Element aus S ist. Doch wie mache ich das?
Bringt es mich weiter, wenn ich eine (Cauchy-)Folge [mm] (y_n) [/mm] aus R nehme, von der ich ja weiß, dass sie in R konvergiert, und davon eine Teilfolge aus Elementen aus S bilde?
Vielen Dank im Voraus!
Gruß,
Gratwanderer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:35 Di 17.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm](R,\parallel.\parallel)[/mm] ein vollständiger normierter
> Raum über K mit K = [mm]\IR.[/mm] Sei S [mm]\subseteq[/mm] R ein Unterraum
> von R mit dim(S) < [mm]\infty.[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass S bezüglich der Norm [mm]\parallel.\parallel[/mm]
> vollständig ist.
> Hallo,
>
> ich weiß nicht so recht wie ich an obige Aufgabe heran
> gehen soll.
>
> Da R ein vollständiger, normierter Raum (also ein
> Banachraum) über [mm]\IR[/mm] ist, heißt es ja, dass jede
> Cauchy-Folge in R gegen ein Element aus R konvergiert. R
> kann auch unendlich dimensional sein.
>
> Wenn ich zeigen möchte, dass S bzgl. [mm]\parallel.\parallel[/mm]
> vollständig ist, muss ich also zeigen, dass jede
> Cauchy-Folge aus Elementen aus S auch in S konvergiert.
>
> Ich nehme mir jetzt also eine Folge
nicht irgendeine, wohl aber eine Cauchyfolge?
> [mm](x_n)[/mm] mit Elementen aus
> S und zeige, dass [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (x_n)[/mm]
Der Grenzwert einer Cauchyfolge aus [mm] $S\,$ [/mm] existiert erstmal nur im vollst. Raum [mm] $R\,,$ [/mm] weil die Folge dort auch Cauchy ist! Dein Limes ist also der Grenzwert in [mm] $R\,.$
[/mm]
> ein
> Element aus S ist. Doch wie mache ich das?
>
> Bringt es mich weiter, wenn ich eine (Cauchy-)Folge [mm](y_n)[/mm]
> aus R nehme, von der ich ja weiß, dass sie in R
> konvergiert, und davon eine Teilfolge aus Elementen aus S
> bilde?
>
> Vielen Dank im Voraus!
Ich finde die Aufgabenstellung eh verwirrend. Man kann leicht zeigen:
Abgeschlossene Unterräume eines Banachraums sind vollständig.
Vielleicht kommt aber meine Verwirrung nur daher, dass man evtl. die Endlichdimensionalität von [mm] $S\,$ [/mm] braucht, um zu zeigen, dass [mm] $S\,$ [/mm] ein abgeschlossener Unterraum ist.
Beweis der obigen Aussage (fundamentale Aussage aus der Funktionalanalysis):
Ist [mm] $(B,\|.\|)$ [/mm] ein Banachraum, und $U$ mit [mm] $\|.\|_{|U \times U}$ [/mm] ausgestattet - wir schreiben dafür auch kurz wieder [mm] $\|.\|$ [/mm] - so folgt dies wie folgt:
Sei [mm] $(u_n)_n$ [/mm] eine Cauchyfolge in [mm] $U\,.$ [/mm] Wegen $U [mm] \subseteq [/mm] B$ ist sie dann auch Cauchyfolge im vollst. Raum [mm] $(B,\|.\|)\,,$ [/mm] also konvergiert sie gegen ein $b [mm] \in B\,.$ [/mm] Damit ist [mm] $(u_n)_n$ [/mm] eine konvergente Folge in [mm] $U\,,$ [/mm] die gegen ein $b [mm] \in [/mm] B$ konvergiert. Weil [mm] $U\,$ [/mm] abgeschlossen ist, folgt dann aber $b [mm] \in U\,.$ [/mm] Also konvergiert die Cauchyfolge [mm] $(u_n)_n$ [/mm] gegen $b [mm] \in U\,,$ [/mm] und weil das eine bel. Cauchyfolge in [mm] $U\,$ [/mm] war, ist [mm] $U\,$ [/mm] mit [mm] $\|.\|$ [/mm] ein vollst. normierter Raum.
D.h. bei Dir oben:
Zeige nur noch: Ist [mm] $(x_n)$ [/mm] (irgend-)eine Folge in [mm] $S\,$ [/mm] die gegen ein $r [mm] \in [/mm] R$ konvergiert, dann folgt auch schon $r [mm] \in S\,.$ [/mm]
Gruß,
Marcel
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Vielen Dank für die hilfreichen Tipps!
Dennoch haben sich noch ein paar Fragen ergeben:
> Vielleicht kommt aber meine Verwirrung nur daher, dass man
> evtl. die Endlichdimensionalität von [mm]S\,[/mm] braucht, um zu
> zeigen, dass [mm]S\,[/mm] ein abgeschlossener Unterraum ist.
Hier liegt gerade mein Problem. Aus der endlichen Dimension von [mm]S\,[/mm]
folgt doch nicht gleich die Abgeschlossenheit, oder?
> Zeige nur noch: Ist [mm](x_n)[/mm] (irgend-)eine Folge in [mm]S\,[/mm] die
> gegen ein [mm]r \in R[/mm] konvergiert, dann folgt auch schon [mm]r \in S\,.[/mm]
Ok, sei also [mm](x_n)[/mm] eine (Cauchy-)Folge in [mm]S\,[/mm].
Ihr Grenzwert liegt sicherlich in [mm]R\,[/mm], d.h.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] [mm](x_n) =: r \in R[/mm]
> Noch ein Baustein für den Beweis: in endlichdimensionalen normierten Räumen gilt der Satz von Bolzano-Weierstraß.
Nach Bolzano-Weierstraß weiß ich, dass [mm](x_n)[/mm] (mind.) eine konvergente Teilfolge enthält.
Sei [mm](x_n^´{(k)} )[/mm] diese konvergente Teilfolge mit Elementen aus [mm]S\,[/mm]. Kann ich hieraus schon folgern, dass der Grenzwert der Teilfolge in [mm]S\,[/mm] liegt?
Gruß,
Gratwanderer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:08 Di 17.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank für die hilfreichen Tipps!
>
> Dennoch haben sich noch ein paar Fragen ergeben:
>
> > Vielleicht kommt aber meine Verwirrung nur daher, dass man
> > evtl. die Endlichdimensionalität von [mm]S\,[/mm] braucht, um zu
> > zeigen, dass [mm]S\,[/mm] ein abgeschlossener Unterraum ist.
>
> Hier liegt gerade mein Problem. Aus der endlichen Dimension
> von [mm]S\,[/mm]
> folgt doch nicht gleich die Abgeschlossenheit, oder?
nein, aber Fred hat doch einen wunderschönen Hinweis gegeben: In einem endlichdimensionalen normierten Vektorraum gilt Bolzano-Weierstraß, d.h. jede beschränkte Folge hat dort eine konvergente Teilfolge.
> > Zeige nur noch: Ist [mm](x_n)[/mm] (irgend-)eine Folge in [mm]S\,[/mm] die
> > gegen ein [mm]r \in R[/mm] konvergiert, dann folgt auch schon [mm]r \in S\,.[/mm]
>
> Ok, sei also [mm](x_n)[/mm] eine (Cauchy-)Folge in [mm]S\,[/mm].
Das "Cauchy" kannst Du nicht ignorieren: Das ist das Wesentliche hier! Also Klammern gehören da nicht rum!
> Ihr Grenzwert liegt sicherlich in [mm]R\,[/mm], d.h.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] [mm](x_n) =: r \in R[/mm]
>
> > Noch ein Baustein für den Beweis: in endlichdimensionalen
> normierten Räumen gilt der Satz von Bolzano-Weierstraß.
>
> Nach Bolzano-Weierstraß weiß ich, dass [mm](x_n)[/mm] (mind.) eine
> konvergente Teilfolge enthält.
>
> Sei [mm](x_n^´{(k)} )[/mm] diese konvergente Teilfolge mit
> Elementen aus [mm]S\,[/mm]. Kann ich hieraus schon folgern, dass der
> Grenzwert der Teilfolge in [mm]S\,[/mm] liegt?
Ja, aber da ist schon noch was zu tun:
1. Erinnere Dich, dass Cauchyfolgen stets beschränkt sind. Dann kannst Du Freds Baustein erstmal anwenden.
2. Und nun hast Du noch was zu tun:
Zeige nämlich:
Wenn in einem metrischen Raum (und ein normierter ist ja insbesondere ein metrischer-die Metrik wird von der Norm induziert!) eine Cauchyfolge eine konvergente Teilfolge hat, dann konvergiert die Folge, und zwar gegen den gleichen Wert wie die Teilfolge.
Das ist wirklich nur Schreibarbeit mit [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ und Anwendung der Definition (und Dreiecksungleichung).
Tipp:
Ist [mm] $x\,$ [/mm] der Grenzwert der Teilfolge [mm] $(x_{n_k})_k\,,$ [/mm] so benutze
[mm] $$d(x_n,x) \le d(x_n,x_{n_N})+d(x_{n_N},x_{n_M})+d(x_{n_M},x)$$
[/mm]
für $N,M [mm] \ge [/mm] n [mm] \ge [/mm] p$ und [mm] $p\,$ [/mm] als [mm] "Cauchyfolgen-$\varepsilon$-$P\,$" [/mm] genügend groß (auch bzgl. der Grenzwertabschätzung mit der Teilfolge). Anders gesagt: [mm] $\varepsilon/3$-Argument [/mm] mit Cauchyfolgenabschätzung/'Teilfolgenabschätzung gegen Grenzwert' durchführen. (Beachte: [mm] $(n_k)_k$ [/mm] ist eine streng monoton wachsende Folge in [mm] $\IN\,.$)
[/mm]
P.S.
Ich habe diese Aussagen gerade sowieso im Kopf - denn sie stehen etwa in Werner, Dirk, Funktionalanalysis - relativ am Anfang des Buches! (Die Aussage mit "Cauchyfolgen mit konvergenten Teilfolgen konvergieren schon selbst gegen den selben Grenzwert" habe ich selbst bewiesen, da der Beweis im Buch nicht steht - bzw. kann sein, dass er als Ü-Aufgabe gestellt wird.)
Gruß,
Marcel
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> Ja, aber da ist schon noch was zu tun:
> 1. Erinnere Dich, dass Cauchyfolgen stets beschränkt sind.
> Dann kannst Du Freds Baustein erstmal anwenden.
Ok, ich weiß also dass die Cauchy-Folge [mm](x_n)[/mm] beschränkt ist.
Nach Bolzano-Weierstraß besitzt [mm](x_n)[/mm] dann eine konvergente Teilfolge [mm](x_n)_k[/mm] in S.
> 2. Und nun hast Du noch was zu tun:
> Zeige nämlich:
> Wenn in einem metrischen Raum (und ein normierter ist ja
> insbesondere ein metrischer-die Metrik wird von der Norm
> induziert!) eine Cauchyfolge eine konvergente Teilfolge
> hat, dann konvergiert die Folge, und zwar gegen den
> gleichen Wert wie die Teilfolge.
Sei also [mm]\varepsilon > 0[/mm] und [mm]x[/mm] der Grenzwert der Teilfolge [mm](x_n)_k[/mm]. D.h.
[mm]
\forall \varepsilon > 0 \exists p \in \IN \forall m,n \in \IN: m,n > N \Rightarrow d(x_m,x_n) < \varepsilon
[/mm]
Jetzt betrachte ich für [mm]M,N \ge n \ge p[/mm]
[mm]
d(x_n,x) \le d(x_n,x_n_N) + d(x_n_N,x_n_M) + d(x_n_M,x) \le 3 \varepsilon
[/mm]
Und habe so gezeigt, dass die Folge [mm](x_n)[/mm] gegen x konvergiert. Richtig?
Gruß,
Gratwanderer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:40 Mi 18.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Ja, aber da ist schon noch was zu tun:
> > 1. Erinnere Dich, dass Cauchyfolgen stets beschränkt sind.
> > Dann kannst Du Freds Baustein erstmal anwenden.
>
> Ok, ich weiß also dass die Cauchy-Folge [mm](x_n)[/mm] beschränkt
> ist.
> Nach Bolzano-Weierstraß besitzt [mm](x_n)[/mm] dann eine
> konvergente Teilfolge [mm](x_n)_k[/mm] in S.
>
> > 2. Und nun hast Du noch was zu tun:
> > Zeige nämlich:
> > Wenn in einem metrischen Raum (und ein normierter ist
> ja
> > insbesondere ein metrischer-die Metrik wird von der Norm
> > induziert!) eine Cauchyfolge eine konvergente Teilfolge
> > hat, dann konvergiert die Folge, und zwar gegen den
> > gleichen Wert wie die Teilfolge.
>
> Sei also [mm]\varepsilon > 0[/mm] und [mm]x[/mm] der Grenzwert der Teilfolge
> [mm](x_n)_k[/mm]. D.h.
>
> [mm]
\forall \varepsilon > 0 \exists p \in \IN \forall m,n \in \IN: m,n > N \Rightarrow d(x_m,x_n) < \varepsilon
[/mm]
>
> Jetzt betrachte ich für [mm]M,N \ge n \ge p[/mm]
>
> [mm]
d(x_n,x) \le d(x_n,x_n_N) + d(x_n_N,x_n_M) + d(x_n_M,x) \le 3 \varepsilon
[/mm]
>
> Und habe so gezeigt, dass die Folge [mm](x_n)[/mm] gegen x
> konvergiert. Richtig?
ja, so sieht das im Wesentlichen aus, Du SOLLST es nur sauber aufschreiben:
Sei [mm] $\varepsilon [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Dann gibt es ein [mm] $K_1=K_1(\varepsilon)$ [/mm] so, dass für alle $k [mm] \ge K_1$ [/mm] sicher [mm] $d(x_{n_k},x) [/mm] < [mm] \varepsilon\,.$
[/mm]
Ferner finden wir auch ein [mm] $N_1=N_1(\varepsilon)$ [/mm] so, dass [mm] $d(x_{s},x_t)$ [/mm] für alle $s,t [mm] \ge N_1\,.$
[/mm]
Sei [mm] $p:=\max\{n_{K_1},\;N_1\}\,.$ [/mm] Seien $N,M [mm] \ge [/mm] n [mm] \ge p\,.$ [/mm] Weil [mm] $(n_k)_k$ [/mm] streng monoton wachsende Folge in [mm] $\IN$ [/mm] ist, sind dann auch [mm] $n_N,\;n_M \ge n_{N_1} \ge N_1\,.$ [/mm] Außerdem sind dann auch [mm] $n_M,\;n_N \ge n_p \ge n_{K_1}\,.$
[/mm]
In der obigen Ungleichung siehst Du dann, dass Du den ersten und letzten Summanden $< [mm] \varepsilon$ [/mm] bekommst, weil die Teilfolge, die ja gegen [mm] $x\,$ [/mm] konvergiert, dann einen entsprechend großen Index hat. Den mittleren bekommst Du wegen der Cauchyfolgeneigenschaft $< [mm] \varepsilon\,.$ [/mm] Und damit ist gezeigt, dass auch [mm] $(x_n)_n$ [/mm] schon selbst gegen $x [mm] \in [/mm] S$ konvergiert. Also liefert das die gewünschte Vollständigkeit von [mm] $S\,$ [/mm] - schließlich hatten wir ja nur irgendeine Cauchyfolge hergenommen.
Also nochmal das ganze in Stichworten (Beweiskonzept):
1.) Jede Cauchyfolge (in [mm] $S\,$) [/mm] ist beschränkt.
2.) Wegen der Endlichdim. von [mm] $S\,$ [/mm] kann man für jede Cauchyfolge eine in [mm] $S\,$ [/mm] konvergente (d.h. insbesondere, dass sie einen Grenzwert hat, der nicht nur in [mm] $R\,,$ [/mm] sondern auch in [mm] $S\,$ [/mm] liegt) Teilfolge wählen - denn in endl.-dim. NORMIERTEN Räumen gilt die Aussage von Bolzano-Weierstraß.
3.) Man weiß/kann beweisen: Hat eine Cauchyfolge in einem (metrischen oder) normierten Raum (hier ist die Metrik die von der Norm induzierte!) eine konvergente Teilfolge, dann konvergiert diese schon selbst, und zwar gegen den selben Grenzwert.
Fazit: Jede Cauchyfolge in [mm] $S\,$ [/mm] ist konvergent gegen ein Element aus [mm] $S\,.$ [/mm] Daher ist [mm] $S\,$ [/mm] vollständig (und damit Banach)!
P.S.
Ich glaub, ich wollte ursprünglich ausnutzen, dass eine in [mm] $R\,$ [/mm] konvergente Folge mit Gliedern aus $S [mm] \subseteq [/mm] R$ schon einen Grenzwert in [mm] $R\,$ [/mm] hat, der nur in [mm] $S\,$ [/mm] liegen kann. Irgendwie haben wir das ganze nun aber so nicht mehr durchgeführt, aber ich schreib' das auch mal hin, wie das ursprünglich geplant war (im Nachhinein denke ich, dass beide Wege eigentlich etwa den gleichen Aufwand habe):
1.) Man zeigt/erinnert sich, dass abgeschlossene Unterräume eines Banachraums schon vollständig sind.
2.) Man nimmt eine Folge in [mm] $S\,$ [/mm] her, die in [mm] $R\,$ [/mm] konvergiert. Da diese in [mm] $R\,$ [/mm] konvergiert, ist sie in [mm] $R\,$ [/mm] und damit auch in [mm] $S\,$ [/mm] beschränkt - denn auch in [mm] $S\,$ [/mm] ist sie Cauchy. Also hat sie eine Teilfolge, deren Grenzwert in [mm] $S\,$ [/mm] liegt.
3.) Die Folge selbst konvergiert gegen ein Element aus [mm] $R\,,$ [/mm] die Teilfolge gegen ein Element aus [mm] $S\,.$ [/mm] Weil aber jede Teilfolge einer konvergenten Folge gegen den Grenzwert der Folge konvergiert (in metrischen(!!) Räumen jedenfalls), muss der Grenzwert der Folge der gleiche sein wie der der Teilfolge - letzterer liegt aber in [mm] $S\,.$ [/mm] Damit liegt auch der Grenzwert der Folge in [mm] $S\,.$ [/mm] Also ist [mm] $S\,$ [/mm] abgeschlossen wegen der Beliebigkeit der Folge in [mm] $S\,$ [/mm] mit Grenzwert in [mm] $R\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:59 Di 17.04.2012 | | Autor: | fred97 |
Marcel hat Dir das wesentliche schon gesagt.
Noch ein Baustein für den Beweis: in endlichdimensionalen normierten Räumen gilt der Satz von Bolzano-Weierstraß.
FRED
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