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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:48 Fr 09.04.2010 | | Autor: | physicus |
Hallo zusammen!
Ich habe mir gerade etwas über endliche Körper angeschaut und verstehe folgenden Isomorphismus nicht ganz:
Ich kann ja [mm] \IF_{4}[/mm] als Zerfällungskörper vom Polynom [mm] X^4-X [/mm] über [mm] \IF_{2}[/mm] auffassen.
Es gilt:
[mm] X^4-X = X(X-1)(X^2+X+1) [/mm]
wobei die Nullstellen von [mm] X, X-1[/mm] gerade die Elemente von [mm] \IF_{2}[/mm] sind. Ich könnte jetzt [mm] \IF_{2}[/mm] durch Adjunktion einer Nullstelle erweitern um so eine explizite Form für [mm] \IF_{4}[/mm] zu erhalten. Also so was: Sei [mm] \alpha[/mm] eine Nullstelle von [mm] X^2+X+1[/mm] dann gilt:
[mm]\IF_{4} = \IF_{2}(\alpha)[/mm]
Wieso aber gilt folgender Isomorphismus:
[mm] \IF_{4} \cong \IF_{2}[X]/(X^2+X+1)[/mm]
Ich weiss, dass [mm] X^2+X+1[/mm] irreduzibel über [mm] \IF_{2}[/mm] ist. Mir ist auch bewusst, dass es es unter gewiesen Umständen einen Isomorphismus geben kann, welcher einen K-Homomorphismus fortsetzt. Allerdings sind hier diese Bedingungen ja nicht gegeben. Wieso gilt also dieser Iso?
Ich danke euch für die Hilfe!
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Nimm [mm]\IF_{4}=\IF_2[\alpha][/mm] als Beschreibung für den Körper [mm]\IF_4[/mm] und betrachte den Ringhomomorphismus
[mm]\varphi \colon \IF_2[X] \to \IF_2[\alpha]\;;\;X\mapsto\alpha[/mm].
Was ist der Kern von [mm]\varphi[/mm]. Wie erhältst du daraus den von dir gewünschten Isomorphismus?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:12 Fr 09.04.2010 | | Autor: | physicus |
Ah ich seh's!
Der Kern ist das Polynom: [mm] X^2+X+1[/mm]. Dann krieg ich den Iso indem ich den Homomorphiesatz anwende. Oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:16 Fr 09.04.2010 | | Autor: | Arralune |
genau.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:35 Fr 09.04.2010 | | Autor: | physicus |
Super danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Sa 10.04.2010 | | Autor: | physicus |
Ich habe das Gefühl, dass ich das ganze noch nicht so durchblicke:
[mm]\IF_{9}[/mm] können wir als Zerfällungskörper vom Polynom [mm] X^9-X [/mm] über [mm] \IF_{3}[/mm] auffassen.
[mm] X^9-X = X(X-1)(X+1)(X^2+1)(X^2+X-1)(X^2-X-1) [/mm]
über [mm] \IF_{3} [/mm] haben [mm] X(X-1)(X+1) [/mm] Nullstellen und [mm] (X^2+X-1) (X^2-X-1) [/mm] sind irreduzibel. Nun wenn ich jetzt einfach einen Zerfällungskörper konstruieren möchte, würde ich ja wie folgt vorgehen:
Ich wähle nun eines dieser 3 irreduziblen Polynome, sagen wir: [mm] X^2+1[/mm]. Dann bilde ich den Faktorring (ist ein Körper, da [mm] (X^2+1)[/mm] maximales Ideal ist):
[mm]\IF_{3}[X]/(X^2+1) [/mm]. Nach dem Verfahren von Kronecker hat [mm] X^2+1[/mm] eine Nullstelle, nämlich [mm] \pi{(X)} [/mm] wobei [mm] \pi [/mm] die kanonische Projektion ist. Ich würde dieses Verfahren solange wiederholen, bis die Polynome vollkommen zerfallen. Andererseits weiss ich dass ein Zerfällungskörper L gerade aus den Nullstellen meines Polynoms durch Adjunktion gebildet wird. Die Nullstellen der drei irreduziblen Polynome sind:
[mm] \alpha = i [/mm]
[mm] \beta = \bruch{1}{2}(-1- \wurzel{5}) [/mm]
[mm] \gamma = \bruch{1}{2}(1- \wurzel{5}) [/mm]
und natürlich jeweils noch [mm] -\alpha[/mm], [mm] -\beta[/mm], [mm] -\gamma[/mm]. Also würde folgendes Resultat folgen:
[mm]\IF_{9} \cong L = \IF_{3}(\alpha, \beta, \gamma) [/mm]
Angeblich gilt aber:
[mm]\IF_{9} \cong L' = \IF_{3}(\alpha)[/mm]
Aber wie kann das sein? Das würde ja bedeuten, dass ich [mm] \beta [/mm] und [mm] \gamma [/mm] in [mm] \IF_{3}(\alpha)[/mm] konstruieren könnte. Das kann ich doch aber nicht?
Genau das gleiche für [mm] \beta [/mm] und [mm] \gamma [/mm]. Am Schluss steht folgende Isomorphiekette:
[mm]\IF_{9} \cong \IF_{3}[X]/(X^2+1) \cong \IF_{3}[X]/(X^2+X-1) \cong \IF_{3}[X]/(X^2-X-1) [/mm]
und mit der Antwort auf die vorherige Frage würde das ja bedeuten:
[mm]\IF_{9} \cong \IF_{3}(\beta) \cong \IF_{3}(\gamma) [/mm]
Wo steckt mein Fehler?
Ich danke euch wirklich für eure Hilfe!
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Doch genau das kannst du. Es handelt sich hierbei um eine Besonderheit endlicher Körper.
Zunächst mal müssen wir uns die Nullstellen [mm]\beta[/mm] und [mm]\gamma[/mm] näher anschauen. Du hast da einen [mm]\sqrt{5}[/mm]-Faktor drinnen, was natürlich etwas seltsam ist, da es im [mm]\IF_3[/mm] gar keine [mm]5[/mm] gibt. Wir sollten deshalb besser direkt mit dem Polynom arbeiten, als mit dem Wurzelsymbol. (Das gleiche gilt für das [mm]i[/mm]: die Notation ist zwar möglich aber eher ungewöhnlich, da [mm]i[/mm] eben eine komplexe Zahl ist.)
Die Elemente aus [mm]\IF_3[\alpha[/mm] haben die Form [mm]a+b\cdot \alpha[/mm] und es gilt [mm](a+b\alpha)+(c+d\alpha)=(a+c)+(b+d)\alpha[/mm] sowie [mm](a+b\alpha)\cdot(c+d\alpha)=(ac-bd)+(ad+bc)\alpha[/mm]. Mit ein bisschen Rumprobieren findet man: [mm]1+\alpha[/mm] und [mm]1+2\alpha[/mm] sind die Nullstellen von [mm]X^2+X-1[/mm] und auch die [mm]\gamma[/mm] kann man finden.
Der Witz liegt hierbei in der Endlichkeit der ganzen Geschichte: [mm]\IF_3[\alpha][/mm] hat 9 Elemente. Die multiplikative Gruppe hat also [mm]8[/mm] Elemente, die multiplikative Ordnung jedes Elements ist also ein Teiler von 8. Das heißt aber, dass jedes Element, außer 0, Nullstelle des Polynoms [mm]X^8-1[/mm] ist und damit jedes Element Nullstelle von [mm]X^9-X[/mm] ist. Also zerfällt [mm]X^9-X[/mm] bereits in diesem Schritt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 So 11.04.2010 | | Autor: | physicus |
Hallo Arralune!
Du hilfst mir wirklich weiter! Danke für deine Bemühungen. Zu 100% versteh ich deinen Eintrag allerdings noch nicht:
1. [mm] \IF_{9}^{\*} = \IZ_{8} [/mm] welcher 8 Elemente hat, alle ausser der 0.
> Der Witz liegt hierbei in der Endlichkeit der ganzen
> Geschichte: [mm]X^9-X[/mm] hat 9 Nullstellen und [mm]\IF_3[\alpha][/mm] hat 9
> Elemente. Die multiplikative Gruppe hat also [mm]8[/mm] Elemente,
> die multiplikative Ordnung jedes Elements ist also ein
> Teiler von 8. Das heißt aber, dass jedes Element außer 0
> Nullstelle des Polynoms [mm]X^8-1[/mm] ist und damit jedes Element
> Nullstelle von [mm]X^9-X[/mm] ist. Also zerfällt [mm]X^9-X[/mm] bereits in
> diesem Schritt.
Damit meinst du doch nur, dass das Polynom [mm] X^9-X [/mm] über [mm]\IF_{9}[/mm] keine mehrfachen Wurzeln hat. (das braucht man ja auch im Beweis des Klassifikationssatzes über endliche Körper).
Jetzt zu meinem grössten Problem deines Artikels:
[mm] \IF_{3}[\alpha] [/mm] hat 9 Elemente, aber das reicht ja noch nicht aus, dass ich sagen kann, dass es gleich [mm] \IF_{9} [/mm]. Über den Klassifikationsatz von endlichen Körper erhalte ich, dass [mm] \IF_{9} [/mm] Zerfällungskörper des Polynoms [mm] X^9-X [/mm] über [mm] \IF_{3} [/mm] ist. Jetzt müsst ich doch zeigen, dass in [mm] \IF_{3}[\alpha] [/mm] die Nullstellen [mm] \beta[/mm] und [mm] \gamma [/mm] liegen. Dann wäre nämlich [mm] \IF_{3}[\alpha] [/mm] ebenfalls ein Zerfällungskörper des Polynoms mit 9 Elementen und somit (wieder nach Klassifikationssatz über endliche Körper) isomorph zu [mm] \IF_{9} [/mm].
Dass [mm] 1+\alpha [/mm] und [mm] 1+2\alpha [/mm] Nullstellen von [mm] X^2+X-1 [/mm] liegt in folgender Rechnung, oder:
[mm] (1+\alpha)^2+1+\alpha -1 = 1+2\alpha+\alpha^2+\alpha = 3\alpha [/mm]. Naja und 3 ist in [mm] \IF_{3} [/mm] ja Null. Also ist dein [mm] \beta= 1+\alpha [/mm] und [mm] -\beta = 1+2\alpha[/mm]. Dann machst du gleiches für für [mm] \gamma [/mm] und erhälst, dass man gamma auch als [mm] \alpha [/mm] darstellen kann. Richtig?
Entschuldige, wenn ich ein gerade auf dem Schlauch stehe. Vielleicht seh ich auch vor lauter Bäumen den Wald nicht mehr! Ich danke dir jedenfalls für deine Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:07 Mo 12.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> > Der Witz liegt hierbei in der Endlichkeit der ganzen
> > Geschichte: [mm]X^9-X[/mm] hat 9 Nullstellen und [mm]\IF_3[\alpha][/mm] hat 9
> > Elemente. Die multiplikative Gruppe hat also [mm]8[/mm] Elemente,
> > die multiplikative Ordnung jedes Elements ist also ein
> > Teiler von 8. Das heißt aber, dass jedes Element außer 0
> > Nullstelle des Polynoms [mm]X^8-1[/mm] ist und damit jedes Element
> > Nullstelle von [mm]X^9-X[/mm] ist. Also zerfällt [mm]X^9-X[/mm] bereits in
> > diesem Schritt.
>
> Damit meinst du doch nur, dass das Polynom [mm]X^9-X[/mm] über
> [mm]\IF_{9}[/mm] keine mehrfachen Wurzeln hat.
Nein - oben steht (klar und deutlich): [m]\IF_3[\alpha][/m] ist Zerfällungskörper von [m]X^9-X[/m]
> [mm]\IF_{3}[\alpha][/mm] hat 9 Elemente, aber das reicht ja noch
> nicht aus, dass ich sagen kann, dass es gleich [mm]\IF_{9} [/mm].
1. Was heißt bei dir gleich?
2. Aus 9 Elementen folgt (Klassifikationssatz), dass es [m]\IF_9[/m] ist.
> Über den Klassifikationsatz von endlichen Körper erhalte
> ich, dass [mm]\IF_{9}[/mm] Zerfällungskörper des Polynoms [mm]X^9-X[/mm]
> über [mm]\IF_{3}[/mm] ist. Jetzt müsst ich doch zeigen, dass in
> [mm]\IF_{3}[\alpha][/mm] die Nullstellen [mm]\beta[/mm] und [mm]\gamma[/mm] liegen.
Mühsam, aber machbar.
> Dann wäre nämlich [mm]\IF_{3}[\alpha][/mm] ebenfalls ein
> Zerfällungskörper des Polynoms mit 9 Elementen und somit
> (wieder nach Klassifikationssatz über endliche Körper)
> isomorph zu [mm]\IF_{9} [/mm].
Jeder Körper mit 9 Elementen ist Zerfällungskörper von [m]X^9-X[/m] - das ist der Punkt.
SEcki
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