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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - endliche Ordnung, komplex,
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endliche Ordnung, komplex,: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:25 Fr 14.11.2014
Autor: sissile

Aufgabe
Es sei G eine abelsche Gruppe. Beweisen Sie, dass [mm] H:=\{a \in G| ord(a) \mbox{ist endlich }\}eine [/mm] Untergruppe von G ist.
Wie sieht diese Untergruppe H aus, wenn [mm] G=\{z \in \IC | |z|=1 \} [/mm] mit der Multiplikation komplexer Zahlen?

Hallo zusammen,

Der Beweis macht mir keine Schwiergkeiten aber das komplexe Beispiel!

ZZ.: [mm] H:=\{a \in G| ord(a) \mbox{ist endlich }\} \le [/mm] G
-) ord(e)=1 -> e [mm] \in [/mm] H also [mm] H\not=\emptyset [/mm]
-) [mm] H\subseteq [/mm] G
-) a, b [mm] \in [/mm] H, d.h. ord(a)=t < [mm] \infty, [/mm] ord(b)=s [mm] <\infty [/mm]
[mm] e=ee=a^tb^s=(ab)^{ts} [/mm]
=> ord(ab) [mm] \le [/mm] ts < [mm] \infty [/mm]
=> ab [mm] \in [/mm] H
-) a [mm] \in [/mm] H
Schon gezeigt in anderen Bsp: [mm] ord(a)=ord(a^{-1}) [/mm]
=> [mm] a^{-1} \in [/mm] H


[mm] G=\{z \in \IC | |z|=1 \} [/mm]
H=?
Mir ist klar [mm] \{1,-1,i,-1\} \in [/mm] H
Aber wie zeig ich, dass das schon die einzigen sind(wie ich glaube)?

LG,
sissi

        
Bezug
endliche Ordnung, komplex,: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:31 Fr 14.11.2014
Autor: UniversellesObjekt

Hallo,

es gibt eine (aus dem ersten Semester Analysis?) ziemlich bekannte Bezeichnung für komplexe Zahl mit $ [mm] z^n=1$. [/mm] (Wie nennt man eine positive reelle Zahl mit $ [mm] z^2=a [/mm] $? Das hier ist verwandt.)

Im übrigen ist die Gruppe viel größer als du vermutest.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
                
Bezug
endliche Ordnung, komplex,: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:47 Fr 14.11.2014
Autor: sissile

Hallo,
Ach, darauf hätte ich selbst kommen müssen. Danke für´s aufmerksam machen!

Sei a [mm] \in [/mm] G, d.h. |a|=1
Dann ist die ord(a) endlich [mm] \gdw \exists [/mm] n [mm] \in \IN\setminus \{0\}: a^n=e=1 [/mm]

Die Gleichung [mm] a^n=1 [/mm] hat genau n komplexe Lösungen.
[mm] \partial_k [/mm] = [mm] e^{i \frac{2k \pi}{n}}, [/mm] k=0,1...,n-1 (Nach Analysis 1)

[mm] |\partial_k|^2 [/mm] = [mm] e^{i \frac{2k \pi}{n}} \overline{e^{i \frac{2k \pi}{n}}}=e^{i \frac{2k \pi}{n}-i\frac{2k \pi}{n}}=e^0=1 [/mm] => alle Lösungen auch in G

Also wissen wir schonmal, dass die komplexen Einheitswurzeln Elemente von H sind. Aber ob wir damit schon wissen, ob wir alle haben - da bin ich mir nicht sicher.

Bezug
                        
Bezug
endliche Ordnung, komplex,: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:53 Sa 15.11.2014
Autor: UniversellesObjekt

Naja, du hast ja jetzt $ [mm] a\in H\iff a^n=1$ [/mm] für ein passendes $ n $. Und dies ist doch gerade die Definition von "$ a $ ist eine $ n $-te Einheitswurzel".

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
                                
Bezug
endliche Ordnung, komplex,: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:53 Sa 15.11.2014
Autor: sissile

Danke ;=)
LG,
sissi

Bezug
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