endliche Ordnung, komplex, < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:25 Fr 14.11.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Es sei G eine abelsche Gruppe. Beweisen Sie, dass [mm] H:=\{a \in G| ord(a) \mbox{ist endlich }\}eine [/mm] Untergruppe von G ist.
Wie sieht diese Untergruppe H aus, wenn [mm] G=\{z \in \IC | |z|=1 \} [/mm] mit der Multiplikation komplexer Zahlen? |
Hallo zusammen,
Der Beweis macht mir keine Schwiergkeiten aber das komplexe Beispiel!
ZZ.: [mm] H:=\{a \in G| ord(a) \mbox{ist endlich }\} \le [/mm] G
-) ord(e)=1 -> e [mm] \in [/mm] H also [mm] H\not=\emptyset
[/mm]
-) [mm] H\subseteq [/mm] G
-) a, b [mm] \in [/mm] H, d.h. ord(a)=t < [mm] \infty, [/mm] ord(b)=s [mm] <\infty
[/mm]
[mm] e=ee=a^tb^s=(ab)^{ts} [/mm]
=> ord(ab) [mm] \le [/mm] ts < [mm] \infty
[/mm]
=> ab [mm] \in [/mm] H
-) a [mm] \in [/mm] H
Schon gezeigt in anderen Bsp: [mm] ord(a)=ord(a^{-1})
[/mm]
=> [mm] a^{-1} \in [/mm] H
[mm] G=\{z \in \IC | |z|=1 \}
[/mm]
H=?
Mir ist klar [mm] \{1,-1,i,-1\} \in [/mm] H
Aber wie zeig ich, dass das schon die einzigen sind(wie ich glaube)?
LG,
sissi
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Hallo,
es gibt eine (aus dem ersten Semester Analysis?) ziemlich bekannte Bezeichnung für komplexe Zahl mit $ [mm] z^n=1$. [/mm] (Wie nennt man eine positive reelle Zahl mit $ [mm] z^2=a [/mm] $? Das hier ist verwandt.)
Im übrigen ist die Gruppe viel größer als du vermutest.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Fr 14.11.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Ach, darauf hätte ich selbst kommen müssen. Danke für´s aufmerksam machen!
Sei a [mm] \in [/mm] G, d.h. |a|=1
Dann ist die ord(a) endlich [mm] \gdw \exists [/mm] n [mm] \in \IN\setminus \{0\}: a^n=e=1
[/mm]
Die Gleichung [mm] a^n=1 [/mm] hat genau n komplexe Lösungen.
[mm] \partial_k [/mm] = [mm] e^{i \frac{2k \pi}{n}}, [/mm] k=0,1...,n-1 (Nach Analysis 1)
[mm] |\partial_k|^2 [/mm] = [mm] e^{i \frac{2k \pi}{n}} \overline{e^{i \frac{2k \pi}{n}}}=e^{i \frac{2k \pi}{n}-i\frac{2k \pi}{n}}=e^0=1 [/mm] => alle Lösungen auch in G
Also wissen wir schonmal, dass die komplexen Einheitswurzeln Elemente von H sind. Aber ob wir damit schon wissen, ob wir alle haben - da bin ich mir nicht sicher.
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Naja, du hast ja jetzt $ [mm] a\in H\iff a^n=1$ [/mm] für ein passendes $ n $. Und dies ist doch gerade die Definition von "$ a $ ist eine $ n $-te Einheitswurzel".
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:53 Sa 15.11.2014 | | Autor: | sissile |
Danke ;=)
LG,
sissi
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