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Forum "Algebra" - endliche abelsche Gruppe
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endliche abelsche Gruppe: über Ordnung Idee ,Ansatz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:41 Mo 11.02.2013
Autor: Decehakan

Aufgabe
Sei G eine endliche abelsche Gruppe mit Exponenten e(G)=m d.h V x [mm] \varepsilon [/mm] G gilt [mm] x^m=1 [/mm] und [mm] m\varepsilon \IN [/mm] ist minimal mit dieser Eigenschaft.

Zeige [mm] \exists [/mm] g [mm] \in [/mm] G mit ord(g)=m





Wenn man sich die Aufgabe anguckt scheint die Aufgabe einfach zu sein , aber irgendwie komme ich nicht durch.

Also meine Vorarbeit ,mit der ich nicht weitgekommen bin.

Also es gilt Für alle x [mm] \in [/mm] G :  [mm] x^m=1 [/mm] ich könnte jetzt sagen ,dass dieses Polynom m nullstellen hat ,andererseits gilt die Gleichung für alle x  [mm] \in [/mm] G => e(G)=#G  (Kardinalität von G)

also #G=m

nun weiß ich noch   m ist  minimal und ord(g) | #G teilt

ich hoffe ihr könnt mir helfen


(Irgendwie habe ich das Gefühl ,ich hab  es richtig gemacht ,aber komme nicht auf die Existenz für ein g mit ord(g)=m)


Andererseit habe ich es mit Lagrange versucht ,aber für Lagrange muss es bereits eine UG geben , ach ...... :(


LG  ismail

        
Bezug
endliche abelsche Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:52 Mo 11.02.2013
Autor: hippias


> Sei G eine endliche abelsche Gruppe mit Exponenten e(G)=m
> d.h V x [mm]\varepsilon[/mm] G gilt [mm]x^m=1[/mm] und [mm]m\varepsilon \IN[/mm] ist
> minimal mit dieser Eigenschaft.
>  
> Zeige [mm]\exists[/mm] g [mm]\in[/mm] G mit ord(g)=m
>  
>
>
>
> Wenn man sich die Aufgabe anguckt scheint die Aufgabe
> einfach zu sein , aber irgendwie komme ich nicht durch.
>  
> Also meine Vorarbeit ,mit der ich nicht weitgekommen bin.
>  
> Also es gilt Für alle x [mm]\in[/mm] G :  [mm]x^m=1[/mm] ich könnte jetzt
> sagen ,dass dieses Polynom m nullstellen hat ,andererseits
> gilt die Gleichung für alle x  [mm]\in[/mm] G => e(G)=#G  
> (Kardinalität von G)
>  
> also #G=m

Das ist nicht richtig: siehe Klein'sche Vierergruppe.

>  
> nun weiß ich noch   m ist  minimal und ord(g) | #G teilt
>  
> ich hoffe ihr könnt mir helfen
>  
>
> (Irgendwie habe ich das Gefühl ,ich hab  es richtig
> gemacht ,aber komme nicht auf die Existenz für ein g mit
> ord(g)=m)

Der Standardtip: Wenn [mm] $x\in [/mm] G$ ein Element maximaler Ordnung ist, dann zeige, dass [mm] $o(y)\vert [/mm] o(x)$ fuer alle [mm] $y\in [/mm] G$ gilt.
Mittels Induktion koennte man sich auch schnell auf $p$-Gruppen beschraenken, fuer welche die Behauptung mehr oder weniger trivial ist.

>  
>
> Andererseit habe ich es mit Lagrange versucht ,aber für
> Lagrange muss es bereits eine UG geben , ach ...... :(
>  
>
> LG  ismail  


Bezug
        
Bezug
endliche abelsche Gruppe: Hauptsatz
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:32 Mo 11.02.2013
Autor: Schadowmaster

moin,

Kennst du den Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen?
Dieser sagt dir, dass deine endliche Gruppe isomorph ist zu [mm] $\IZ_{a_1} \times \IZ_{a_2} \times \ldots \times \IZ_{a_n}$ [/mm] mit [mm] $a_i \in \IN$ [/mm] und [mm] $a_i \mid a_{i+1}$. [/mm]

Nun kann man in dieser Form den Exponenten der Gruppe sofort ablesen und auch ein Element angeben, das genau diese Ordnung hat.


lg

Schadow

Bezug
                
Bezug
endliche abelsche Gruppe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:38 Mo 11.02.2013
Autor: Decehakan

danke dein Tipp war die Pointe ;-)

hätte gar nicht gedacht ,dass man mit dem Struktursatz über abelsche Gruppe sowas aussagen kann :)

Bezug
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