epsilon-delta-Kriterium < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:14 Di 07.12.2010 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | Beweisen Sie, dass die Funktion [mm] f: \IR \to \IR [/mm] mit [mm]f(x) = \bruch{x-1}{x^2 +1}[/mm] in [mm]x_o =-1 [/mm] stetig ist mit Hilfe des
[mm] \epsilon - \delta-[/mm]Kriteriums. |
ich bin mir nicht so sicher, ob ich richtig vorgehe.
ich rechne erst und muss dann alles andersrum aufschreiben:
[mm] |f(x) - f(x_0 )|[/mm] = [mm]|\bruch{x-1}{x^2+1} - \bruch{-2}{2}|[/mm] = [mm]|\bruch{x-1}{x^2+1}+1| [/mm]
[mm]\Rightarrow[/mm] wähle [mm]\epsilon = |\bruch{x-1}{x^2+1}|[/mm]
dann ist [mm] |f(x) - f(x_0 )| < \epsilon[/mm]
[mm]|\bruch{x-1}{x^2+1}+1|[/mm] = [mm]| (x-1) (\bruch{1}{x^2 +1} + \bruch{1}{x-1})|[/mm] = [mm] |x-1||\bruch{1}{x^2 +1} + \bruch{1}{x-1}|[/mm]
[mm]|x-1||\bruch{1}{x^2 +1} +\bruch{1}{x-1}| < \epsilon[/mm]
[mm]|x-1| < | \bruch{\epsilon}{|\bruch{1}{x^2 +1} +\bruch{1}{x-1}}|[/mm]
wähle [mm] \delta = | \bruch{\epsilon}{|\bruch{1}{x^2 +1} +\bruch{1}{x-1}}|[/mm]
= [mm]| \bruch{x-1}{x^2 +1}|*|\bruch{(x^2 +1)(x-1)}{x^2+x}|[/mm] = [mm]|\bruch{(x-1)^2}{x(x+1)}|[/mm]
damit hab ich ein [mm] \epsilon[/mm] und ein [mm]\delta[/mm] gefunden, die das [mm] \epsilon - \delta-[/mm]Kriterium erfüllen.
geht das so? oder total falsch?
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Hallo ella,
was genau machst du da eigentlich? Ich bin ein wenig verwirrt.
> [mm]\Rightarrow[/mm] wähle [mm]\epsilon = |\bruch{x-1}{x^2+1}|[/mm]
Du kannst dir doch gar kein Epsilon wählen, das ist gegeben!
Und zwar sollst du beim [mm] $\varepsilon$-$\delta$-Kriterium [/mm] zu jedem Epsilon ein [mm] \delta [/mm] finden!
Dieses [mm] \delta [/mm] wird im Normalfall von [mm] \epsilon [/mm] abhängen.
Fangen wir mal von vorn an:
$ |f(x) - [mm] f(x_0 [/mm] )| = [mm] |\bruch{x-1}{x^2+1} [/mm] - [mm] \bruch{-2}{2}| [/mm] = [mm] |\bruch{x-1}{x^2+1}+1| [/mm] $
Erstmal ist es meistens gut, das auf einen Hauptnenner zu bringen und weitestgehend zu vereinfachen.
Nun willst du ja zeigen, dass du obigen Ausdruck dann kleiner als [mm] \varepsilon [/mm] bekommst, für
[mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$, [/mm] d.h. du musst obigen Ausdruck wohl irgendwie so umformen, dass du [mm] |x-x_0| [/mm] dort oben herausbekommst. Wie sieht denn [mm] |x-x_0| [/mm] in deiner Aufgabe aus?
Kriegst du das oben irgendwie reingebastelt?
Dann sehen wir weiter.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Di 07.12.2010 | | Autor: | ella87 |
> Hallo ella,
>
> was genau machst du da eigentlich? Ich bin ein wenig
> verwirrt.
ich auch =) das war der verwirrte Tipp des Assistenten.
>
> > [mm]\Rightarrow[/mm] wähle [mm]\epsilon = |\bruch{x-1}{x^2+1}|[/mm]
>
> Du kannst dir doch gar kein Epsilon wählen, das ist
> gegeben!
> Und zwar sollst du beim [mm]\varepsilon[/mm]-[mm]\delta[/mm]-Kriterium zu
> jedem Epsilon ein [mm]\delta[/mm] finden!
>
> Dieses [mm]\delta[/mm] wird im Normalfall von [mm]\epsilon[/mm] abhängen.
>
> Fangen wir mal von vorn an:
>
> [mm]|f(x) - f(x_0 )| = |\bruch{x-1}{x^2+1} - \bruch{-2}{2}| = |\bruch{x-1}{x^2+1}+1|[/mm]
>
> Erstmal ist es meistens gut, das auf einen Hauptnenner zu
> bringen und weitestgehend zu vereinfachen.
hab ich gemacht. also:
[mm]|\bruch{x-1}{x^2+1}+1| = |\bruch{x-1+x^2 +1}{x^2 +1}| = |\bruch{x^2+x}{x^2 +1}|[/mm]
> Nun willst du ja zeigen, dass du obigen Ausdruck dann
> kleiner als [mm]\varepsilon[/mm] bekommst, für
>
> [mm]|x-x_0| < \delta[/mm], d.h. du musst obigen Ausdruck wohl
> irgendwie so umformen, dass du [mm]|x-x_0|[/mm] dort oben
> herausbekommst. Wie sieht denn [mm]|x-x_0|[/mm] in deiner Aufgabe
> aus?
> Kriegst du das oben irgendwie reingebastelt?
[mm]|x-x_0|[/mm] ist hier [mm]|x-(-1)| = |x+1| [/mm] und wenn ich das aus dem Ausdruck rausziehe komm ich auf
[mm]|x+1| |\bruch{x}{x^2+1}| [/mm]
>
> Dann sehen wir weiter.
>
Vermutung:
[mm]|x+1| |\bruch{x}{x^2+1}| [/mm] ist ja gleich [mm]|f(x) - f(x_0)|[/mm] weil wir da ja angefangen haben.
Dann kann ich zu jedem [mm] \epsilon[/mm] mit [mm] |f(x) - f(x_0)| < \epsilon[/mm] ein [mm] \delta [/mm] finden mit [mm]|x- x_0 | < \delta [/mm] finden.
nämlich [mm]\bruch{\epsilon}{|\bruch{x}{x^2+1}|}[/mm]
geht das in die richtige Richtung. Es orientiert sich so zumindest am [mm]\varepsilon[/mm]-[mm]\delta[/mm]-Kriterium
> MFG,
> Gono.
>
>
>
Grüße Ella
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:35 Di 07.12.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Ella
> > was genau machst du da eigentlich? Ich bin ein wenig
> > verwirrt.
>
> ich auch =) das war der verwirrte Tipp des Assistenten.
>
> >
> > > [mm]\Rightarrow[/mm] wähle [mm]\epsilon = |\bruch{x-1}{x^2+1}|[/mm]
> >
> > Du kannst dir doch gar kein Epsilon wählen, das ist
> > gegeben!
> > Und zwar sollst du beim [mm]\varepsilon[/mm]-[mm]\delta[/mm]-Kriterium zu
> > jedem Epsilon ein [mm]\delta[/mm] finden!
> >
> > Dieses [mm]\delta[/mm] wird im Normalfall von [mm]\epsilon[/mm] abhängen.
> >
> > Fangen wir mal von vorn an:
> >
> > [mm]|f(x) - f(x_0 )| = |\bruch{x-1}{x^2+1} - \bruch{-2}{2}| = |\bruch{x-1}{x^2+1}+1|[/mm]
>
> >
> > Erstmal ist es meistens gut, das auf einen Hauptnenner zu
> > bringen und weitestgehend zu vereinfachen.
>
>
> hab ich gemacht. also:
> [mm]|\bruch{x-1}{x^2+1}+1| = |\bruch{x-1+x^2 +1}{x^2 +1}| = |\bruch{x^2+x}{x^2 +1}|[/mm]
>
>
>
> > Nun willst du ja zeigen, dass du obigen Ausdruck dann
> > kleiner als [mm]\varepsilon[/mm] bekommst, für
> >
> > [mm]|x-x_0| < \delta[/mm], d.h. du musst obigen Ausdruck wohl
> > irgendwie so umformen, dass du [mm]|x-x_0|[/mm] dort oben
> > herausbekommst. Wie sieht denn [mm]|x-x_0|[/mm] in deiner Aufgabe
> > aus?
> > Kriegst du das oben irgendwie reingebastelt?
>
> [mm]|x-x_0|[/mm] ist hier [mm]|x-(-1)| = |x+1|[/mm] und wenn ich das aus
> dem Ausdruck rausziehe komm ich auf
> [mm]|x+1| |\bruch{x}{x^2+1}|[/mm]
> >
> > Dann sehen wir weiter.
> >
>
> Vermutung:
>
> [mm]|x+1| |\bruch{x}{x^2+1}|[/mm] ist ja gleich [mm]|f(x) - f(x_0)|[/mm] weil
> wir da ja angefangen haben.
> Dann kann ich zu jedem [mm]\epsilon[/mm] mit [mm]|f(x) - f(x_0)| < \epsilon[/mm]
> ein [mm]\delta[/mm] finden mit [mm]|x- x_0 | < \delta[/mm] finden.
> nämlich [mm]\bruch{\epsilon}{|\bruch{x}{x^2+1}|}[/mm]
>
>
> geht das in die richtige Richtung. Es orientiert sich so
> zumindest am [mm]\varepsilon[/mm]-[mm]\delta[/mm]-Kriterium
Halb ja, halb nein 
Mach dir mal klar, was dieses Kriterium bedeutet:
[mm] |x-x_0| <\delta \gdw x_0-\delta < x < x_0+\delta [/mm] ,
das heißt wenn x von [mm] $x_0$ [/mm] nicht weiter als [mm] $\delta$ [/mm] entfernt ist, dann darf $f(x)$ von [mm] $f(x_0)$ [/mm] nicht weiter als [mm] $\epsilon$ [/mm] entfernt sein, und zwar egal, wie klein das [mm] $\epsilon$ [/mm] auch vorgegeben ist.
Der entscheidende Punkt ist, dass dein [mm] $\delta$ [/mm] nur von [mm] $\epsilon$ [/mm] abhängt, nicht von x.
Du musst also noch einen weiteren Schritt machen und [mm] $\left|\bruch{x}{x^2+1}\right|$ [/mm] abschätzen. Dabei hilft dir die binomische Formel:
[mm] 0 \le (1-|x|)^2 = x^2-2|x|+1 \implies 2|x|\le 1+x^2 \implies \left|\bruch{x}{x^2+1}\right| \le \bruch{1}{2} [/mm]
Zusammengesetzt mit deiner Rechnung:
[mm] |f(x)-f(x_0)| = |x+1| \left|\bruch{x}{x^2+1}\right| \le \bruch{1}{2}|x+1| [/mm] .
Das heisst, du kannst [mm] $\delta=2\epsilon$ [/mm] setzen, denn dann folgt aus [mm] $|x+1|<\delta=2\epsilon$, [/mm] dass
[mm] |f(x)-f(x_0)| \le \bruch{1}{2}|x+1| < \bruch{1}{2}\delta = \epsilon [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:39 Di 07.12.2010 | | Autor: | ella87 |
Super! Vielen Dank!
Jetzt ist mir auch komplett klar, was das [mm]\epsilon-\delta[/mm]-Kriterium aussagt!
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