epsilon-delta Kriterium < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:24 Fr 01.08.2014 | | Autor: | Syny |
| Aufgabe | | Sei f : [mm] [0,+\infty[ \to \IR [/mm] gegeben durch f(x) = [mm] \wurzel{1+2x}. [/mm] Zeigen Sie mit dem e-d-Argument, dass [mm] \limes_{x\rightarrow\0} [/mm] =1. |
Hallo,
und zwar habe ich mal die Frage wie man oben genannte Aufgabe richtig löst.
Habe so etwas auf zwei Arten gesehen aber weis nicht ob beide eine richtige Lösung ausspucken.
Verfahren 1:
|x-xo| < d
nun wurde für x0 = 0 gesetzt da dies der Wert ist gegen den wir gehen also.
|x| < d
dann wurde so umgeformt das auf beiden Seiten die Ursprungsgleichung entstand. (rechts mit d statt x)
| [mm] \wurzel{1+2x}| [/mm] < [mm] \wurzel{1+2d} [/mm]
jetzt wurde die Gleichung mit d gleich epsilon gesetzt
[mm] \wurzel{1+2d} [/mm] = [mm] \varepsilon
[/mm]
und dann nach epsilon umgeformt
d = [mm] 1/2(\varepsilon^{2}-1) [/mm]
und damit
[mm] |\wurzel{1+2x} [/mm] - 0| [mm] <\varepsilon
[/mm]
Verfahren 2:
es wird f(x) - f(x0) gerechnet
[mm] \wurzel{1+2x} [/mm] - [mm] \wurzel{1+2x0} [/mm]
das ganze umgeformt um auf etwas wie x-x0 innerhalb der Gleichung zu kommen
[mm] |-1|*|\bruch{2x-2x0}{ \wurzel{1+2x}+ \wurzel{1+2x0}}
[/mm]
dann wurde die Gleichung "Vergrößert" (der teil mit x wegfallen gelassen)
und x-x0 durch d ersetzt
[mm] |-1|*|\bruch{2d}{\wurzel{1+2x0}}|
[/mm]
dies wurde nun gleich [mm] \varepsilon [/mm] gesetzt und die |-1| weggestrichen(hätte man das nicht davor schon können?)
[mm] |\bruch{2d}{\wurzel{1+2x0}} [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm]
und nach d umgeformt
[mm] 1/2*(\wurzel{1-x0^{2}}*\varepsilon) [/mm] = d
Wäre nett wenn mir jemand sagen könnte welches Verfahren stimmt(falls überhaupt eins stimmt)
mfg Syny
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Hallo,
> Sei f : [mm][0,+\infty[ \to \IR[/mm] gegeben durch f(x) =
> [mm]\wurezl{1+2x}.[/mm] Zeigen Sie mit dem e-d-Argument, dass
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0}[/mm] =1.
> Hallo,
>
> und zwar habe ich mal die Frage wie man oben genannte
> Aufgabe richtig löst.
> Habe so etwas auf zwei Arten gesehen aber weis nicht ob
> beide eine richtige Lösung ausspucken.
>
> Verfahren 1:
> |x-xo| < d
>
> nun wurde für x0 = 0 gesetzt da dies der Wert ist gegen
> den wir gehen also.
>
> |x| < d
>
> dann wurde so umgeformt das auf beiden Seiten die
> Ursprungsgleichung entstand. (rechts mit d statt x)
>
> | [mm]\wurzel{1+2x}|[/mm] < [mm]\wurzel{1+2d}[/mm]
>
> jetzt wurde die Gleichung mit d gleich epsilon gesetzt
>
> [mm]\wurzel{1+2d}[/mm] = [mm]\varepsilon[/mm]
>
> und dann nach epsilon umgeformt
>
> d = [mm]1/2(\varepsilon^{2}-1)[/mm]
[mm] $\delta$ [/mm] muss positiv sein, dass ist hier nicht immer gegeben.
>
> und damit
>
> [mm]|\wurzel{1+2x}[/mm] - 0| [mm]<\varepsilon[/mm]
>
> Verfahren 2:
>
> es wird f(x) - f(x0) gerechnet
>
> [mm]\wurzel{1+2x}[/mm] - [mm]\wurzel{1+2x0}[/mm]
>
> das ganze umgeformt um auf etwas wie x-x0 innerhalb der
> Gleichung zu kommen
>
> [mm]|-1|*|\bruch{2x-2x0}{ \wurzel{1+2x}+ \wurzel{1+2x0}}[/mm]
>
> dann wurde die Gleichung "Vergrößert" (der teil mit x
> wegfallen gelassen)
> und x-x0 durch d ersetzt
Sorry, ich kann hier nicht folgen.
> [mm]|-1|*|\bruch{2d}{\wurzel{1+2x0}}|[/mm]
>
> dies wurde nun gleich [mm]\varepsilon[/mm] gesetzt und die |-1|
> weggestrichen(hätte man das nicht davor schon können?)
>
> [mm]|\bruch{2d}{\wurzel{1+2x0}}[/mm] = [mm]\varepsilon[/mm]
>
> und nach d umgeformt
>
> [mm]1/2*(\wurzel{1-x0^{2}}*\varepsilon)[/mm] = d
Auch hier haben wir u.U. wieder ein Problem, die Wurzel ist nicht für alle [mm] $x_0$ [/mm] definiert.
>
> Wäre nett wenn mir jemand sagen könnte welches Verfahren
> stimmt(falls überhaupt eins stimmt)
>
> mfg Syny
So weit ich das sehe sind beide "Methoden" evtl. in Spezialfällen zu gebrauchen, nicht aber allgemeinen Fällen.
Ein [mm] $\epsilon$-$\delta$ [/mm] sollte grob so aussehen:
Sei [mm] $\epsilon [/mm] >0$ (das deckt den Allquantor in der Def. ab),
Wähle [mm] $\delta [/mm] = ...$ (Das deckt den Existenzquantor ab. Die konkrete Wahl erfolgt hier erst am Ende des Beweises).
Dann gilt für alle x im Def.bereich von f mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta [/mm] $:
$|f(x)-L|...$ (L ist der Grenzwert)
Jetzt schätzt man diesen Term geeignet nach oben ab um einen Ausdruck in [mm] $\delta$ [/mm] zu erhalten.
Damit kann man dann die oben offengelassene Wahl von [mm] $\delta$ [/mm] machen um im letzten Schritt ein $< [mm] \epsilon$ [/mm] zu setzen.
Schreib das mal hier hin, dann ergibt sich eine relativ einfache Wahl von [mm] $\delta$. [/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 Fr 01.08.2014 | | Autor: | Syny |
hm okay bin mir jetzt nicht sicher wie du das meinst.
habe das jetzt so gedacht wenn ich jetzt |f(x)-L| < [mm] \varepsilon [/mm] und dann nach x umforme habe ich
[mm] x<1/2(\varepsilon^{2}-1) [/mm]
dann setzte ich das x in die |x-x0| < d Formel ein und habe
[mm] |1/2(\varepsilon^{2}-1)-xo| [/mm] < d, dann kann man das noch nach oben abschätzen indem man das 1/2 weglässt und damit wäre
[mm] |(\varepsilon^{2}-1)-xo| [/mm] = d
Das stimmt nicht oder ?
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> hm okay bin mir jetzt nicht sicher wie du das meinst.
>
> habe das jetzt so gedacht wenn ich jetzt |f(x)-L| <
> [mm]\varepsilon[/mm] und dann nach x umforme habe ich
>
> [mm]x<1/2(\varepsilon^{2}-1)[/mm]
Für [mm] $\epsilon [/mm] <1$ ist [mm] $\delta$ [/mm] gibt es hier keine solchen x, das sollte ein Problem sein.
> dann setzte ich das x in die |x-x0| < d Formel ein und
> habe
Diese Formel wird eingesetzt, nicht andersrum.
> [mm]|1/2(\varepsilon^{2}-1)-xo|[/mm] < d, dann kann man das noch
> nach oben abschätzen indem man das 1/2 weglässt und damit
> wäre
>
> [mm]|(\varepsilon^{2}-1)-xo|[/mm] = d
>
> Das stimmt nicht oder ?
Bitte gehe meine Anleitung Schritt für Schritt durch und mich nicht irgendwas anderes. Insbesondere setze bitte die konkreten Ausdrücke für f(x), L und [mm] $x_0$ [/mm] in dieser Aufgabe ein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Fr 01.08.2014 | | Autor: | Syny |
Ich komm nicht drauf wie du das meinst. Ich ende immer wieder bei dem selben. Wie schätze ich denn [mm] \wurzel{1+2x} [/mm] so ab das es in die delta Ungleichung passt?
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> Ich komm nicht drauf wie du das meinst.
Du würde es helfen konkrete Fragen zu stellen, zu dem was ich geschrieben hab. So was ich nicht was unklar ist.
Was erwartest du als Antwort auf "ich komm nicht drauf", ich "versteh's nicht" o.ä ?
> Ich ende immer
> wieder bei dem selben. Wie schätze ich denn [mm]\wurzel{1+2x}[/mm]
> so ab das es in die delta Ungleichung passt?
Darum geht es gar nicht. Was ist hier denn $|f(x)-L|$? er obige Term ist es nicht.
Und auch hier wäre es sehr nützlich um dir helfen zu können wie auf diese Endde kommst.
Vom Endergebnis auf den Fehler in Vorgehensweise zu schließen ist praktisch unmöglich.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 Fr 01.08.2014 | | Autor: | Syny |
okay noch ein Versuch.
du meintest ja L sei der Grenzwert also die 1
[mm] \wurzel(1+2x)-1<\varepsilon
[/mm]
|x-0| < d
|2x| <2d
2x+1 < 2d+1
[mm] \wurzel(2x+1)-1 [/mm] < [mm] \wurzel(2d+1)-1
[/mm]
[mm] \wurzel(2d+1)-1 [/mm] = [mm] \varepsilon
[/mm]
und nach oben abgeschätzt wäre dann
2d = [mm] \varepsilon
[/mm]
d = [mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm]
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> okay noch ein Versuch.
> du meintest ja L sei der Grenzwert also die 1
>
> [mm]\wurzel(1+2x)-1<\varepsilon[/mm]
Besser. Warum darf man die Wurzel weglassen?
> |x-0| < d
> |2x| <2d
> 2x+1 < 2d+1
> [mm]\wurzel(2x+1)-1[/mm] < [mm]\wurzel(2d+1)-1[/mm]
>
> [mm]\wurzel(2d+1)-1[/mm] = [mm]\varepsilon[/mm]
Woher kommt denn diese Gleichheit? In der Def. steht nur ein < weit und breit kein =.
> und nach oben abgeschätzt wäre dann
Auch hier wieder, wie kommst du zu dieser Abschätzung?
> 2d = [mm]\varepsilon[/mm]
> d = [mm]\bruch{\varepsilon}{2}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Fr 01.08.2014 | | Autor: | Syny |
Man darf die Wurzel weglassen? Wird das dadurch nicht größer und garantiert nichtmehr das < [mm] \varepsilon [/mm] ?
[mm] \wurzel{2d+1}-1 [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
dann forme ich das ganze noch nach d um und habe
d< [mm] \bruch{((\varepsilon+1)^{2}-1}{2}
[/mm]
würde man allerdings die Wurzel weglassen hätte man ja
2d< [mm] \varepsilon
[/mm]
d< [mm] \bruch{\varepsilon}{2}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:21 Sa 02.08.2014 | | Autor: | hippias |
Das ist schon richtig, aber die Wurzel kann man natuerlich nicht einfach so weglassen. Worauf MaslanyFanclub Dich hoechstwahrscheinlich aufmerksam machen wollte, war vermutlich dies: Du moechtest ja wissen fuer welches $d$ der Term [mm] $\sqrt{1+2d}-1$ [/mm] kleiner als [mm] $\varepsilon$ [/mm] ist. Nun ist der Radikand [mm] $\geq [/mm] 1$, sodass [mm] $\sqrt{1+2d}\leq [/mm] 1+2d$ ist. Damit kann man sagen, wenn Du - ohne Wurzel - $1+2d-1= 2d$ kleiner als [mm] $\varepsilon$ [/mm] machen kannst, dann gilt das erst recht fuer den Term mit Wurzel.
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Änderst du bitte noch die Aufgabenstellung:
Es muss [mm] \wurzel{1+2x} [/mm] heißen.
ich ging nämlich von Aufgabenstellung wie sie da stand aus: f(x)=1+2x.
(Ändert aber nichts am grundsätzlichen Vorgehen)
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