epsilon delta kr. stetig? < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:14 So 27.04.2008 | | Autor: | torax |
| Aufgabe | f:[0,1] --> R sei eine beschränkte, aber nicht notwendig stetige Funktion. Zeigen sie mit Hilfe des epsilon-delta Kriteriums, dass die Funktion g:[0,1] --> R mit g(x):=x*f(x) in 0 stetig ist.
(R steht für reele Zahlen)
[Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo,
ich bin zwar gerade erst neu angemeldet, aber ich lese hier schon eine ganze Weile in eurem Forum. Es hat mir sehr viel weitergeholfen in den Beiträgen zu stöbern, dafür möchte ich euch an dieser Stelle erstmal danken.
Nun zu meinem Problem: Zu der Aufgabe komme ich nur auf folgenden Ansatz, habe dann allerdings das Problem, dass ich nicht weiß wie ich zeigen kann, dass das gilt:
zu Zeigen:
|g(x)-0| < [mm] \varepsilon [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] D |x-0| < [mm] \delta
[/mm]
|x*f(x)| < [mm] \varepsilon [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] D |x| < [mm] \delta
[/mm]
Das Einzige was mir noch einfällt ist, dass das |x*f(x)| beschränkt ist und man das Problem damit vielleicht angehen könnte.
Ich hoffe es hat jemand einen guten Tipp für mich.
Vielen Dank schonmal für die Hilfe und noch einen schönen Tag!
Viele Grüße
torax
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:23 So 27.04.2008 | | Autor: | klaras |
Hallo,
Das hast du bis hierher alles richtig erkannt.
Aus der Beschränktheit von f(x) kannst du also folgern,
dass es ein c [mm] \in \IR [/mm] gibt, sodass |f(x)| [mm] \le [/mm] c [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [0,1]$ (1)
Es ist also zu zeigen, dass es $ [mm] \forall \varepsilon [/mm] >0 $ ein beliebiges $ [mm] \delta [/mm] >0 $ gibt mit:
[mm] $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D $ und $ [mm] \delta [/mm] >|x| => |f(x)*x| < [mm] \varepsilon [/mm] $
mit(1) folgt also $|f(x)*x| =|f(x)|*|x| [mm] \le [/mm] c*|x| $
Nun setzen wir $ [mm] \delta [/mm] = [mm] \bruch{\varepsilon}{c} [/mm] >0$
Sei nun $ [mm] \epsilon [/mm] >0 $ gegeben und $ [mm] \delta [/mm] $ wie eben definiert.
Dann gilt $ [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [0,1]$ mit $ [mm] \delta [/mm] > |x| $:
$|f(x)*x| [mm] \le [/mm] c*|x| < [mm] c*\delta [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm] $ [mm] \Box
[/mm]
Gruß
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