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Forum "Uni-Analysis" - erste Ableitung
erste Ableitung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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erste Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:46 Do 19.01.2006
Autor: Franzie

Hallöchen!
Hab grad ein bisschen rumgerechnet und bin hängen geblieben bei der Bestimmung der Ableitung von [mm] f(x)=x^{x}. [/mm] Ich weiß zwar, was rauskommen muss, aber wie komme ich auf das Ergebnis [mm] (ln(x)+1)*x^{x} [/mm]
Wäre für Hilfe dankbar.

liebe Grüße

        
Bezug
erste Ableitung: erst umformen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:52 Do 19.01.2006
Autor: Loddar

Hallo Franzie!


Du musst diese Funktion zunächst umschreiben, bevor Du mit den bekannten Ableitungsregeln vorgehen kannst:

$f(x) \ = \ [mm] x^x [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ e^{\ln(x)} \ \right]^x [/mm] \ = \ [mm] e^{x*\ln(x)}$ [/mm]

Nun MBKettenregel in Verbindung mit der MBProduktregel anwenden ...


Gruß
Loddar


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Bezug
erste Ableitung: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:42 Do 19.01.2006
Autor: Franzie

Danke schon mal. Also das mit der Umformung ist einleuchtend. Auch wie ich mittels Produktregel auf ln(x)+1 komme. Ich komm nur noch nicht auf den zweiten Faktor der Ableitung [mm] x^{x}. [/mm] Dazu muss ich sicher die Kettenregel anwenden. Die äußere Ableitung hab ich ja schon bestimmt mit ln(x)+1, aber an der inneren mangelts.

liebe Grüße

Bezug
                        
Bezug
erste Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:52 Do 19.01.2006
Autor: mathmetzsch

Hallo,

wir leiten zunächst mit der Kettenregel ab:

[mm] (e^{x*ln(x)})'=e^{x*ln(x)}* [/mm] innere Ableitung

Die innere Ableitung ist nun x*ln(x) abgeleitet, also mit der Produktregel

[mm] (x*ln(x))'=1*ln(x)+x*\bruch{1}{x}=ln(x)+1 [/mm]

Also ist die Ableitung
[mm] (e^{x*ln(x)})' [/mm]
[mm] =e^{x*ln(x)}*(ln(x)+1) [/mm]
[mm] =e^{x*ln(x)}*ln(x)+e^{x*ln(x)} [/mm]
[mm] =x^{x}*ln(x)+x^{x} [/mm]
[mm] =(1+ln(x))x^{x} [/mm]

Das war's!

Viele Grüße
Daniel

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erste Ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:55 Do 19.01.2006
Autor: Franzie

Klar, danke dir.

Bezug
        
Bezug
erste Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:56 Do 19.01.2006
Autor: wulfen

Hallo Franzi. Also, die innere Ableitung hast du ja richtig. Die Kettenregel besagt doch innere Ableitung mal die Äußere. Du mußt also jetzt noch die e-Funktion an sich ableiten. Und die e-Funktion abgeleitet ist wieder die e-Funktion. du hast also dann das hier raus:

   (ln(x) + 1) * [mm] e^{xln(x)} [/mm]

   und [mm] e^{xln(x)} [/mm] ist ja [mm] x^{x} [/mm]

Hoffe du kannst das so verstehen. Ansonsten nochmal melden.

Gruß

Tobias

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