erwartungstreuer Schätzer < Statistik (Anwend.) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] (X_{i}), [/mm] i in N, eine Folge u.i.v. Zva, die jeweils einer Gleichverteilung auf dem Intervall [0, [mm] \delta] [/mm] mit [mm] \delta [/mm] > 0 genügen.
zeigen sie, dass für jedes n in N:
[mm] T_{n}(X_{1}, [/mm] ..., [mm] X_{n}) [/mm] = 2/n [mm] (X_{1}, [/mm] ..., [mm] X_{n})
[/mm]
ein erwartungstreuer Schätzer für [mm] \delta [/mm] ist. |
Hallo Leute,
wir haben gerade die Schätzfunktion eingeführt, nur leider kann ich mit dem Begriff so gar nichts anfangen...ja, ich hab bei Wikipedia und so schon gelesen, aber iwie werde ich daraus trotzdem nicht schlau...
Wie kann ich denn bei dieser Funktion den Erwartungswert bestimmen, so dass ich dann hinterher die Funktion da wieder einsetzen kann?!?
Sorry, aber ich hoffe, ihr könnt mir iwie weiterhelfen - ich bin total am Verzweifeln...
Liebe Grüße
Sabine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:39 Fr 29.04.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin,
nicht verzweifeln, Hilfe naht (Vielleicht).
> Es sei [mm](X_{i}),[/mm] i in N, eine Folge u.i.v. Zva, die jeweils
> einer Gleichverteilung auf dem Intervall [0, [mm]\delta][/mm] mit
> [mm]\delta[/mm] > 0 genügen.
> zeigen sie, dass für jedes n in N:
> [mm]T_{n}(X_{1},[/mm] ..., [mm]X_{n})[/mm] = 2/n [mm](X_{1},[/mm] ..., [mm]X_{n})[/mm]
> ein erwartungstreuer Schätzer für [mm]\delta[/mm] ist.
Steht da vielleicht
[mm]T_{n}(X_{1},...,X_{n})= 2/n (X_{1}\red{+\dots+}X_{n})[/mm] ?
> Hallo Leute,
> wir haben gerade die Schätzfunktion eingeführt, nur
> leider kann ich mit dem Begriff so gar nichts
> anfangen...ja, ich hab bei Wikipedia und so schon gelesen,
> aber iwie werde ich daraus trotzdem nicht schlau...
> Wie kann ich denn bei dieser Funktion den Erwartungswert
> bestimmen, so dass ich dann hinterher die Funktion da
> wieder einsetzen kann?!?
Tipp:
[mm] $T_{n}(X_{1},...,X_{n})=2\bar [/mm] X$ mit [mm] $\bar X=\sum X_i/n$ [/mm] ...
vg Luis
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Hallo Louis,
danke für deine schnelle Antwort. Zunächst: ja, du hast rest, da steht tatsächlich:
$ [mm] T_{n}(X_{1},...,X_{n})= [/mm] 2/n [mm] (X_{1}\red{+\dots+}X_{n}) [/mm] $
Aber abgesehen davon komme ich trotzdem kein Stück weiter. Was sagt mir denn dein Tipp?
$ [mm] T_{n}(X_{1},...,X_{n})=2\bar [/mm] X $ mit $ [mm] \bar X=\sum X_i/n [/mm] $ ...
Also mit der Summe bestimme ich das arithmetische Mittel...aber was bringt mir das??? und wie kommst du auf [mm] T_{n}(X_{1},...,X_{n})=2/X("Dach") [/mm] ???
Tut mir wirklich Leid, aber bis jetzt verstehe ich nur Bahnhof...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:25 Fr 29.04.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
$ [mm] T_{n}(X_{1},...,X_{n})= \frac [/mm] 2n [mm] (X_{1}\red{+\dots+}X_{n}) [/mm] = [mm] 2*\frac [/mm] 1n [mm] (X_{1}\red{+\dots+}X_{n}) [/mm] = [mm] 2*\bar [/mm] X $
Was ist jetzt
[mm] $E(X_i)$ [/mm] für [mm] $i=1,2,\ldots, [/mm] n$?
[mm] $X_i$ [/mm] ist gleichverteilt auf [mm] $[0,\delta]$, [/mm] also ist der EW?
ciao
Stefan
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hmm, ja - der EW ist ja:
[mm] \sum X_i/n
[/mm]
Das bedeutet also, dass der Tipp von Luis Sinn macht (immerhin hab ich das verstanden ^^)
$ [mm] T_{n}(X_{1},...,X_{n})=2 [/mm] * [mm] \sum X_i/n [/mm] = 2 * [mm] EW(X_{i})
[/mm]
so - aber was hilft mir das jetzt im Bezug auf die Überprüfung der Schätzfunktion? Also was muss denn jetzt gelten, damit die Funtkion erwartungstreu ist? Den Teil verstehe ich nach-wie-von nicht :-(
Liebe Grüße
Sabine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:24 Sa 30.04.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
Du musst zuerst den Erwartungswert von [mm] X_i [/mm] ausrechnen. Da [mm] X_i [/mm] gleichverteilt auf [0, [mm] \delta] [/mm] ist, ist die Dichte
[mm] \phi(x)=\begin{cases} \bruch{1}{\delta} & \mbox{wenn } x\in[0, \delta] \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
Der Erwartungswert ist also
[mm] E(X_i)=\integral_{-\infty}^{\infty}{x*\phi(x) dx} [/mm] (das muss ausgerechnet werden)
Der Erwartungswert von [mm] E\left[T_n(X_1, ..., X_n)\right]= [/mm] ist
[mm] E\left[T_n(X_1, ..., X_n)\right]=\bruch{2}{N}*E\left(\summe_{i=1}^{N} X_i\right)=\bruch{2}{N}*\summe_{i=1}^{N} E\left(X_i\right)
[/mm]
Das musst Du jetzt ausrechnen. Und wenn alles stimmt muss rauskommen [mm] E\left[T_n(X_1, ..., X_n)\right]=\delta
[/mm]
Dann ist der Erwartungswert von [mm] T_n(X_1, [/mm] ..., [mm] X_n) [/mm] gleich [mm] \delta [/mm] und [mm] T_n(X_1, [/mm] ..., [mm] X_n) [/mm] ist ein erwartungstreuer Schätzer.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:07 Sa 30.04.2011 | | Autor: | Sabine_B. |
ja, bei mir kommt das jetzt auch raus. ich glaube, ich habs jetzt auch rechnerisch verstanden! - Danke für deine/eure Hilfe!!!!
Liebe Grüße
Sabine
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